第11讲 整式的加减（5考点14题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第11讲 整式的加减 课程标准 学习目标 1 理解整式、单项式、多项式的概念； 2 掌握合并同类项和去括号法则； 3 能运用整式的加减解决简单的实际问题。 1. 理解单项式的系数和次数，多项式的项数和次数； 2. 熟练进行整式的加减运算； 3. 能够进行整式的化简求值。 知识点一、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点二、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点三、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点四、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点五、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型01 单项式的系数与次数 1．单项式x2y3z的系数和次数分别为（　　） A．﹣3，5 B．，5 C．﹣3，6 D．，6 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．据此解答即可． 【解答】解：单项式x2y3z的系数、次数分别为、6． 故选：D． 【点评】此题考查了单项式的知识，掌握单项式的系数、次数的定义是解答本题的关键． 2．单项式的系数是 　　． 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，由此即可得到答案． 【解答】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数的概念． 3．若单项式﹣3x2y的系数是m，次数是n，则mn的值为 　　． 【分析】根据单项式的定义进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ﹣3x2y的系数是﹣3，次数是3， 则m＝﹣3，n＝3， 故mn＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 4．已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是 　　． 【分析】根据“所有字母的指数之和是单项式的次数”，即可求解． 【解答】解：∵单项式5xayb+2的次数是3次， ∴a+b+2＝3， ∴a+b＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 题型02 多项式的项数与次数 1．多项式m3n4﹣5m3n5+3的项数和次数分别为（　　） A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，7 【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定． 【解答】解：m3n4﹣5m3n5+3是八次三项式，故项数是3，次数是8． 故选：B． 【点评】此题考查了多项式的定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 2．关于多项式2x2y2﹣3x3﹣1，下列说法正确的是（　　） A．这个多项式是七次三项式 B．常数项是1 C．三次项系数是3 D．次数最高的项为2x2y2 【分析】根据多项式、次数与系数的定义解决此题． 【解答】解：A．根据多项式的定义，2x2y2﹣3x3﹣1是四次三项式，那么A错误，故A不符合题意． B．2x2y2﹣3x3﹣1中的常数项是﹣1，那么B错误，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，2x2y2﹣3x3﹣1中的三次项是﹣3x3，该项的系数是﹣3，那么C错误，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，2x2y2﹣3x3﹣1的最高次项为2x2y2，那么D正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查多项式，熟练掌握多项式、系数与次数的定义是解决本题的关键． 3．多项式3x3y2﹣4x5y+27的次数是 　　． 【分析】根据多项式中次数最高项的次数作为多项式的次数，即可求解． 【解答】解：∵3x3y2的次数为5，﹣4x5y的次数为6，27的次数为0， ∴这个多项式的次数为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了多项式的次数，熟记多项式中次数最高项的次数作为多项式的次数是解题关键． 题型03 通过多项式的项数与次数求字母的值 1．多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．4或﹣4 【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值． 【解答】解：∵多项式是关于x的四次三项式， ∴|m|＝4且﹣（m﹣4）≠0， ∴m＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 2．如果整式xn﹣5x+4是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】直接利用多项式的定义得出n＝3即可． 【解答】解：∵整式xn﹣5x+4是关于x的三次三项式， ∴n＝3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的定义是解题的关键． 3．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是 　　． 【分析】直接利用多项式的次数与项数的定义得出m的值． 【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴|m|＝2，m﹣2≠0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了多项式，正确利用多项式的次数与项数的定义得出m的值是解题的关键． 题型04 整式的判断 1．在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据整式的定义进行解答． 【解答】解：和分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式． 故选：B． 【点评】本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式． 2．下列式子中：0，﹣a，，，8x3﹣7x2+2，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由数或字母的积组成的代数式即为单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和即为多项式；单项式和多项式统称为整式；据此即可求得答案． 【解答】解：0，﹣a，abc，x﹣y，8x3﹣7x2+2都是整式，共5个， 故选：C． 【点评】本题考查整式，熟练掌握相关定义是解题的关键． 3．下列代数式，其中整式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用整式的定义判断得出答案． 【解答】解：整式有，m2+3m，，﹣8，共有4个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题的关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 4．代数式，2x+y，，，，0.5中，整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】直接利用整式的定义得出答案． 【解答】解：根据整式的定义，可知整式有： 2x+y，，，0.5，共有4个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式． 题型05 同类项的判断 1．在下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2 C．﹣3和99 D．﹣abc和9abc 【分析】根据同类项的定义判断即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，几个常数项也是同类项． 【解答】解：A．5x2y和﹣7x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意； B．m2n和2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项，故本选项符合题意； C．﹣3和99是同类项，故本选项不合题意； D．﹣abc和9abc所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同类项的定义，理解同类项的定义是正确解答的前提． 2．下列单项式中，与3xy2是同类项的是（　　） A．﹣3xy B．xy2 C．﹣3x2y D．2x2y2 【分析】根据同类项的概念求解． 【解答】解：xy2与3xy2字母相同，且相同字母的指数相同，是同类项． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 3．下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．3x2y与3xy2 B．3xy与﹣5yx C．5x2与5x D．xy与yz 【分析】根据同类项的定义进行解题即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、3x2y与3xy2字母相同，但是相同字母的指数不一样，故不是同类项，故本选项不符合题意； B、3xy与﹣5yx字母相同，相同字母的指数也一样，是同类项，故本选项符合题意； C、5x2与5x字母相同，但是相同字母的指数不一样，故不是同类项，故本选项不符合题意； B、xy与yz，所含字母不尽相同，故不是同类项，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 题型06 利用同类项的概念求字母的值 1．若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3 【分析】根据同类项的意义，列方程求解即可． 【解答】解：因为﹣2x6y与5x2myn是同类项， 所以2m＝6，n＝1， 解得m＝3，n＝1， 故选：B． 【点评】本题考查同类项，掌握“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是解决问题的关键． 2．如果2x3nym+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝﹣2，n＝3 B．m＝2，n＝3 C．m＝﹣3，n＝2 D．m＝3，n＝4 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：∵2x3nym+1与﹣3x12y4是同类项， ∴3n＝12，m+1＝4， 解得m＝3，n＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 3．若单项式﹣x1﹣ay4与2x3y2b是同类项，则ab＝　　． 【分析】根据同类项的定义：含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．据此进行解答即可． 【解答】解：∵单项式﹣x1﹣ay4与2x3y2b是同类项， ∴1﹣a＝3，2b＝4， 解得：a＝﹣2，b＝2， ∴ab＝（﹣2）2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解题关键． 4．若a2x+1b3与﹣2a3b3y+1是同类项，则代数式2x+6y的值是 　　． 【分析】根据同类项的定义可得：2x+1＝3，3y+1＝3，从而可得：x＝1，y，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a2x+1b3与﹣2a3b3y+1是同类项， ∴2x+1＝3，3y+1＝3， 解得：x＝1，y， ∴2x+6y＝2×1+62+4＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了同类项，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型07 合并同类项的运算 1．下列计算正确的是（　　） A．3ab﹣2ab＝ab B．6y2﹣2y2＝4 C．5a+a＝5a2 D．m2n﹣3mn2＝﹣2mn2 【分析】根据合并同类项运算法则逐个进行计算即可． 【解答】解：A、3ab﹣2ab＝ab，故A正确，符合题意； B、6y2﹣2y2＝4y2，故B不正确，不符合题意； C、5a+a＝6a，故C不正确，不符合题意； D、m2n和3mn2不是同类项，不能合并，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项；合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减． 2．合并同类项：8m2﹣5m2＝　　． 【分析】根据合并同类项法则：系数相减，字母和字母的指数不变，进行合并即可． 【解答】解：原式＝（8﹣5）m2 ＝3m2， 故答案为：3m2． 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 3．合并同类项： （1）3x﹣2y+5x﹣y； （2）0.8a2b﹣6ab﹣3.2a2b+5ab+a2b． 【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果； （2）原式合并同类项即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（3x+5x）+（﹣2y﹣y） ＝8x﹣3y； （2）原式＝（0.8a2b﹣3.2a2b+a2b）+（﹣6ab+5ab） ＝﹣1.4a2b﹣ab． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 题型08 去（添）括号 1．﹣（a﹣b+c）变形后的结果是（　　） A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c 【分析】本题考查了去括号法则． 【解答】解：﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c 故选：B． 【点评】此题考查去括号法则：括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号，括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号； 2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣z B．x+2（y﹣z）＝x+2y﹣z C．x﹣y﹣z＝x+（y﹣z） D．x﹣2y+2z＝x﹣2（y﹣z） 【分析】选项A、B根据去括号法则判断即可，选项C、D根据添括号法则判断即可． 【解答】解：A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y+z，故本选项不符合题意； B．x+2（y﹣z）＝x+2y﹣2z，故本选项不符合题意； C．x﹣y﹣z＝x﹣（y+z），故本选项不符合题意； D．x﹣2y+2z＝x﹣2（y﹣z），故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了去括号和添括号，则相关运算法则是解答本题的关键． 3．下列添括号正确的是（　　） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） B．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c） D．a﹣b+c＝a+（b﹣c） 【分析】根据去括号法则和添括号法则即可判断． 【解答】解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确； B、a+b﹣c＝a﹣（﹣b+c），错误； C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），错误； D、a﹣b+c＝a+（﹣b+c），错误； 故选：A． 【点评】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 4．已知（a﹣b）﹣（c﹣d）＝5，a﹣c＝3，则b﹣d＝　　． 【分析】将已知代数式去括号后得到（a﹣c）﹣（b﹣d）＝5，然后代入求值即可． 【解答】解：∵（a﹣b）﹣（c﹣d）＝5， ∴a﹣b﹣c+d＝5， ∴（a﹣c）﹣（b﹣d）＝5． ∵a﹣c＝3， ∴3﹣（b﹣d）＝5． ∴b﹣d＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了去括号与添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验． 题型09 整式的化简求值（直接代入） 1．先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将x，y的值代入即可求解． 【解答】解： x﹣2x ＝（2）x+（）y2 ＝y2﹣3x， ∵x＝﹣2，， ∴原式＝（）2﹣3×（﹣2） 6 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 2．先化简，再求值：2（ab﹣a2）﹣（3ab﹣2a2﹣1），其中． 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将a，b的值代入即可求解． 【解答】解：2（ab﹣a2）﹣（3ab﹣2a2﹣1） ＝2ab﹣2a2﹣3ab+2a2+1 ＝（2﹣3）ab+（﹣2+2）a2+1 ＝1﹣ab， ∵， ∴原式＝1﹣（﹣2） ＝1﹣（﹣1） ＝2． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 3．先化简再求值：，其中x＝3，． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后代入求值． 【解答】解： ＝3x2y+6xy﹣2xy﹣3x2y+2 ＝4xy+2， 当x＝3，时， 原式4+2＝﹣2． 【点评】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 题型10 整式的化简求值（整体代入） 1．若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 　　． 【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案． 【解答】解：2（2a+b）﹣4b ＝4a+2b﹣4b ＝4a﹣2b ＝2（2a﹣b）， ∵2a﹣b+3＝0， ∴2a﹣b＝﹣3， ∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键． 2．已知x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是 　　． 【分析】根据整式的加减﹣化简求值方法进行解答． 【解答】解：（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5） ＝3x+y﹣2x+y+5 ＝x+2y+5， ∵x+2y＝1， ∴x+2y+5＝1+5＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值方法是关键． 3．如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代数式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值为 　　． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a2﹣3a＝7代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2 ＝a2﹣2a+1+a2﹣4a﹣2 ＝2a2﹣6a﹣1， ∵a2﹣3a﹣7＝0， ∴a2﹣3a＝7， ∴当a2﹣3a＝7时， 原式＝2（a2﹣3a）﹣1 ＝2×7﹣1 ＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了整式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型11 利用整式加减比较大小 1．若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．P≤Q 【分析】把两式相减，从而可判断． 【解答】解：∵，， ∴P﹣Q 0， ∴P﹣Q＞0， 即P＞Q． 故选：A． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．若M＝a2+a+4，N＝a﹣1，则M，N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N 【分析】利用求差法比较大小． 【解答】解：∵M﹣N＝a2+a+4﹣（a﹣1） ＝a2+a+4﹣a+1 ＝a2+5＞0， ∴M＞N． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握求差法比较大小． 3．已知p＝4a+2b，m＝4a﹣2b，q＝16a+4b．若p＞0，试比较m，q的大小关系． 【分析】先计算p﹣m，再判断结果的正负，最后得结论． 【解答】解：q﹣m＝16a+4b﹣（4a﹣2b） ＝16a+4b﹣4a+2b ＝12a+6b ＝3（4a+2b）． ∵p＝4a+2b＞0， ∴3（4a+2b）＞0． ∴q﹣m＞0 ∴q＞m． 【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则及实数比较大小的方法是解决本题的关键． 4．若A＝3x2﹣2xy﹣1，B＝4x2﹣2xy+3． （1）试判断A、B的大小关系并说明理由； （2）当|x+1|+（y﹣1）2＝0时，求2A﹣（3B﹣2A）的值． 【分析】（1）判断A﹣B与0的大小关系即可求出答案； （2）由非负数的性质得出x＝﹣1，y＝1，根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x＝﹣1，y＝1代入即可求出答案． 【解答】解：（1）B＞A， 理由：∵B﹣A ＝（4x2﹣2xy+3）﹣（3x2﹣2xy﹣1） ＝x2+4＞0， ∴B＞A； （2）∵|x+1|+（y﹣1）2＝0， ∴x+1＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣1，y＝1， ∵A＝3x2﹣2xy﹣1，B＝4x2﹣2xy+3 ∴2A﹣（3B﹣2A） ＝4A﹣3B ＝4（3x2﹣2xy﹣1）﹣3（4x2﹣2xy+3） ＝﹣2xy﹣13， 当x＝1，y＝﹣1 时， 原式＝﹣2×1×（﹣1）﹣13＝﹣11． 【点评】本题考查整式的加减—化简求值，非负数的性质，掌握合并同类项和去括号的运算法则是解题关键． 题型12 利用整式加减化简后“不含”某项类问题 1．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）化简后不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【分析】直接去括号合并同类项，再利用不含x2项，得出6﹣3a＝0，求出答案即可． 【解答】解：﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3） ＝﹣2x3+6x2+9x+1﹣3ax2+5x﹣3 ＝﹣2x3+（6﹣3a）x2+14x﹣2， ∵关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）的取值不含x2项， ∴6﹣3a＝0， 解得：a＝2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确合并同类项是解题关键． 2．若多项式2（x2﹣xy﹣3y2）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a＝　　． 【分析】直接去括号进而合并同类项，再利用xy项的系数为零得出答案． 【解答】解：∵2（x2﹣xy﹣3y2）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项， ∴2x2﹣2xy﹣6y2﹣3x2+axy﹣y2 ＝﹣x2﹣7y2+（a﹣2）xy， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 3．当m的值为 　 时，5x3﹣2x﹣1与4mx+3的和不含x的一次项． 【分析】根据不含x的一次项得出相应系数为0，即可求解． 【解答】解：5x3﹣2x﹣1+4mx+3 ＝5x3+（4m﹣2）x+2， ∵和不含x的一次项， ∴4m﹣2＝0， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是先合并同类项． 题型13 代数式的值与某个字母“无关”类问题 1．已知M，N为两个整式，其中M＝﹣3a2+7ab﹣6a﹣1，N＝3a2﹣4ab+2，若M+N的值与a的取值无关，则b＝　　． 【分析】先把已知条件中的M，N代入M+N进行化简，然后根据M+N的值与a的取值无关，列出关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：∵M＝﹣3a2+7ab﹣6a﹣1，N＝3a2﹣4ab+2， ∴M+N ＝（﹣3a2+7ab﹣6a﹣1）+（3a2﹣4ab+2） ＝﹣3a2+7ab﹣6a﹣1+3a2﹣4ab+2 ＝3a2﹣3a2+7ab﹣4ab﹣6a+2﹣1 ＝3ab﹣6a+1 ＝3a（b﹣2）+1， ∵M+N的值与a的取值无关， ∴b﹣2＝0，b＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 2．已知关于x，y的式子的值与字母x的取值无关，则代数式（m+2n）﹣（2m﹣n）的值为 　　． 【分析】将关于x，y的式子转化为（n+2）x2+（m﹣3）x2，则可得，即．将所求代数式去括号，再合并同类项得到最简结果，将m，n的值代入计算即可． 【解答】解： ＝2x2+mx3﹣3x+2y﹣1+nx2 ＝（n+2）x2+（m﹣3）x2． ∵关于x，y的式子的值与字母x的取值无关， ∴， 解得． （m+2n）﹣（2m﹣n） ＝m+2n﹣2m+n ＝﹣m+3n， 当m＝3，n＝﹣2时，﹣m+3n＝﹣3﹣6＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b． （1）计算：5A﹣2B； （2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值． 【分析】（1）先将A和B代入，然后去括号，合并同类项进行化简； （2）根据结果与b的取值无关，则含b的项的系数和为0，从而列出方程求解． 【解答】解：（1）原式＝5（2ab﹣a）﹣2（﹣ab+2a+b） ＝10ab﹣5a+2ab﹣4a﹣2b ＝12ab﹣9a﹣2b， （2）∵5A﹣2B的值与字母b的取值无关， ∴12a﹣2＝0， 解得：a， 即a的值为． 【点评】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 题型14 新定义、规律探究类问题 1．定义一种新运算： 例如：1☆3＝1×2+3＝5 3☆（﹣1）＝3×2﹣1＝5 5☆4＝5×2+4＝14 4☆（﹣2）＝4×2﹣2＝6 （1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝　　； （2）若a≠b，那么a☆b　　b☆a（填“＝”或“≠”）； （3）若（3a）☆（﹣2b）＝﹣6，则3a﹣b＝　　；并求（3a﹣2b）☆（3a+b）的值． 【分析】（1）根据已知的等式归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）利用题中的新定义计算得到结果，判断即可； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：a☆b＝2a+b； （2）根据题中的新定义得：a☆b＝2a+b，b☆a＝2b+a， 则a☆b≠b☆a； （3）已知等式整理得：6a﹣2b＝﹣6， 即3a﹣b＝﹣3； 原式＝2（3a﹣2b）+3a+b＝6a﹣4b+3a+b＝9a﹣3b＝3（3a﹣b）＝﹣9． 故答案为：（1）2a+b；（2）≠；（3）﹣3 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m，n，p，总满足p＝m2﹣n，则称这个数列为理想数列． （1）若数列2，﹣1，a，﹣4，b，…，是理想数列，则a＝　　，b＝　　； （2）请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列：　 　； （3）若数列…，m，n，p，q，…是理想数列，且q﹣3p＝1，求代数式n（n2﹣4m2﹣1）+16（m2﹣n）+2022的值． 【分析】（1）根据题中的新定义确定出a与b的值即可； （2）根据理想数列的定义，先任意写出前两个数，再依次写出其他3个数即可； （3）根据理想数列的定义，先用m、n表示出p、q，再根据q﹣2p＝1得到m、n间关系，然后整体代入求值即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：a＝22﹣（﹣1）＝4+1＝5， b＝a2﹣（﹣4）＝25+4＝29； 故答案为：5；29； （2）当前两个数分别为3，4时， 则第3个数为：32﹣4＝5， 第4个数为：42﹣5＝11， 第5个数为：52﹣11＝14， 故一个由五个不同正整数组成的理想数列为：3，4，5，11，14； 故答案为：3，4，5，11，14（答案不唯一）； （3）根据题意得：p＝m2﹣n，q＝n2﹣p， ∴q＝n2﹣m2+n， ∵q﹣3p＝1， ∴n2﹣m2+n﹣3（m2﹣n）＝1， 即n2﹣4m2﹣1＝﹣4n或n2﹣4m2+4n＝1， ∴n（n2﹣4m2﹣1）+16（m2﹣n）+2022 ＝n（﹣4n）+16（m2﹣n）+2022 ＝﹣4n2+16m2﹣16n+2022 ＝﹣4（n2﹣4m2+4n）+2022 ＝﹣4×1+2022 ＝﹣4+2022 ＝2018． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值．解决（1）（2）需理解理想数列的意义，题目（3）比较复杂，解决本题（3）的关键是找到m、n间关系，整体代入求值． 3．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、P，总满足p＝m2﹣n，则称这个数列为理想数列． （1）若数列2，﹣1，a，﹣4，b，…，是理想数列，则a＝　　，b＝　　； （2）若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式x2﹣2x+3的值． （3）若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且pq＝2，求代数式n（n2﹣3m2+4）+9（m2﹣n）+2022的值． 【分析】（1）根据题中的新定义确定出a与b的值即可； （2）根据理想数列的定义，得出4＝x2﹣3x，再整体代入计算即可； （3）根据理想数列的定义，先用m、n表示出p、q，再根据pq＝2得到m、n间关系，然后整体代入求值即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：a＝22﹣（﹣1）＝4+1＝5， b＝a2﹣（﹣4）＝25+4＝29； 故答案为：5，29； （2）根据题中的新定义得：4＝x2﹣3x，即x2﹣3x＝4， ∴x2﹣2x+3 （x2﹣3x）+3 4+3 3 ； （3）根据题意得：p＝m2﹣n，q＝n2﹣p， ∴q＝n2﹣m2+n， ∵pq＝2， ∴m2﹣n（n2﹣m2+n）＝2， 即n2﹣3m2+4＝﹣3n或n2﹣3m2+3n＝﹣4， ∴n（n2﹣3m2+4）+9（m2﹣n）+2022 ＝n（﹣3n）+9（m2﹣n）+2022 ＝﹣3n2+9m2﹣9n+2022 ＝﹣3（n2﹣3m2+3n）+2022 ＝﹣3×（﹣4）+2022 ＝12+2022 ＝2034． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值．解决（1）（2）需理解理想数列的意义，题目（3）比较复杂，解决本题（3）的关键是找到m、n间关系，整体代入求值． 1．已知﹣x3y2与3y2xn是同类项，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．2或3 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出n的值． 【解答】解：∵﹣x3y2与3y2xn是同类项， ∴n＝3， 故选：B． 【点评】本题考查同类项的定义．熟练掌握同类项这一概念是解题的关键． 2．下列结论中，正确的是（　　） A．代数式 πx2+4x﹣3 是三次三项式 B．3x2y与﹣2xy2是同类项 C．代数式x2+4x﹣3的常数项是3 D．单项式系数是，次数是3 【分析】根据同类项、单项式、多项式的相关定义解答即可． 【解答】解：A．代数式πx2+4x﹣3是二次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B．3x2y与﹣2xy2不是同类项，原说法错误，故此选项不符合题意； C．代数式x2+4x﹣3的常数项是﹣3，原说法错误，故此选项不符合题意； D．单项式系数是，次数是3，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式，单项式以及同类项，掌握相关定义是解答本题的关键． 3．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　） A．48 B．56 C．63 D．74 【分析】方法一：首先根据上面的数值变化规律求出m的值为7，然后根据每隔方格中数的规律求n即可，规律为：每个方格中的上面的数乘以下面左侧的数再加上上面的数得下面右侧的数；方法二：n等于左边一个数的平方减1即可． 【解答】解：方法一： 从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m＝7， 第一个方格中：3＝1×2+1， 第二个方格中：15＝3×4+3， 第三个方格中：35＝5×6+5， ∴第四个方格中：n＝7×8+7＝63． 故选：C． 方法二：从数字的特点看，n等于左边一个数的平方减1即可， 即n＝82﹣1＝63， 故选：C． 【点评】本题主要考查了通过数值的变化总结规律，解题的关键在于通过每个方格上面的数的变化规律． 4．当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x＝﹣2时，这个代数式的值是（　　） A．1 B．﹣4 C．6 D．﹣5 【分析】根据已知把x＝2代入得：8a+2b+1＝6，变形得：﹣8a﹣2b＝﹣5，再将x＝﹣2代入这个代数式中，最后整体代入即可． 【解答】解：当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为6， 则8a+2b+1＝6， ∴8a+2b＝5， ∴﹣8a﹣2b＝﹣5， 则当x＝﹣2时，ax3+bx+1＝（﹣2）3a﹣2b+1＝﹣8a﹣2b+1＝﹣5+1＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 5．对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：m▲n＝m2﹣n2，根据这个定义，代数式（m﹣n）▲m可以化简为（　　） A．n2﹣2mn B．2mn﹣n2 C．m2﹣2mn D．2mn﹣m2 【分析】根据新运算，可以对代数式（m﹣n）▲m化简，本题得以解决． 【解答】解：∵m▲n＝m2﹣n2， ∴（m﹣n）▲m＝（m﹣n）2﹣m2＝m2﹣2mn+n2﹣m2＝n2﹣2mn， 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是理解新定义，正确计算． 6．若单项式﹣2ax2yn+1与﹣3axmy4的差是ax2y4，则2m+3n＝　13　． 【分析】利用同类项的概念得出m＝2，n+1＝4，进而求出即可； 【解答】解：∵单项式﹣2ax2yn+1与﹣3axmy4的差是ax2y4， ∴m＝2，n+1＝4 解得：m＝2，n＝3， 把m＝2，n＝3代入2m+3n＝13， 故答案为：13 【点评】此题主要考查了同类项以及合并同类项法则，利用同类项法则求出是解题关键． 7．要使多项式2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是 　4　． 【分析】先化简整式，根据化简后不含x的二次项得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：2（7+3x﹣2x2）+mx2 ＝mx2﹣4x2+6x+14 ＝（m﹣4）x2+6x+14． ∵多项式2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项， ∴m﹣4＝0． ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了整式的加减﹣﹣﹣无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 8．去括号：4x3﹣（﹣3x2+2x﹣1）＝　4x3+3x2﹣2x+1　 【分析】根据去括号法则解答即可． 【解答】解：根据去括号法则可得： 4x3﹣（﹣3x2+2x﹣1）＝4x3+3x2﹣2x+1． 故答案为：4x3+3x2﹣2x+1． 【点评】本题主要考查去括号，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键． 9．若单项式与的差仍是单项式，则m﹣2n＝　﹣4　． 【分析】根据单项式与的差，可以得到m＝2，n+1＝4，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵单项式与的差仍是单项式， ∴m＝2，n+1＝4， 解得m＝2，n＝3， ∴m﹣2n＝2﹣2×3＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确单项式与的差仍是单项式，也就是单项式与是同类项． 10．给出依次排列的一列数：﹣1，，，，，，…，按照此规律，第n个数为 　（﹣1）n　． 【分析】分别从符号、分子、分母三个方面找规律求解． 【解答】解：第n个数为：（﹣1）n， 故答案为：（﹣1）n． 【点评】本题考查了数字的变换类，找到数字的变化规律是解题的关键． 11．化简： （1）2a2+3ab﹣a2﹣4ab； （2）（3m2﹣n2）﹣2（m2﹣2n2）． 【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号，合并同类项即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣ab； （2）原式＝（3m2﹣n2）﹣（2m2﹣4n2） ＝3m2﹣n2﹣2m2+4n2 ＝m2+3n2． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．先化简，再求值：3（2x2y﹣3xy）﹣（xy+6x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将x，y的值代入即可求解． 【解答】解：3（2x2y﹣3xy）﹣（xy+6x2y） ＝6x2y﹣9xy﹣xy﹣6x2y ＝﹣10xy， 当x＝2，y＝﹣1时， 原式＝﹣10×2×（﹣1） ＝20． 【点评】本题主要考查了整式化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 13．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可解答； （2）根据已知可得含a项的系数和为0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， ∴A﹣3B ＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1+3a2+6ab﹣3， ＝7ab﹣3a﹣4； （2）∵A﹣3B ＝7ab﹣3a﹣4 ＝（7b﹣3）a﹣4， ∵A﹣3B的值与a的值无关， ∴7b﹣3＝0， ∴b． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．已知A、B是两个整式，A＝4a2﹣5a+2，B＝3a2﹣5a﹣3． （1）尝试计算 当a＝0时，A＝　2　，B＝　﹣3　．当a＝2时，A＝　8　，B＝　﹣1　． （2）大胆猜测 小军猜测：无论a为何值，A 　＞　B始终成立． （3）小心验证 请证明小军猜测的结论． 【分析】（1）将a＝0，a＝2代入即可得A、B的值； （2）（3）作差法由A﹣B的符号，可以判定A＞B． 【解答】（1）解：当a＝0时，A＝2，B＝﹣3； 当a＝2时，A＝4×22﹣2×5+2＝8，B＝3×22﹣5×2﹣3＝﹣1， 故答案为：2，﹣3；8，﹣1； （2）解：A＞B； 故答案为：＞； （3）证明：A﹣B ＝4a2﹣5a+2﹣（3a2﹣5a﹣3） ＝4a2﹣5a+2﹣3a2+5a+3 ＝a2+5， ∵a2≥0， ∴a2+5＞0，即A﹣B＞0， ∴A＞B． 【点评】本题考查整式求值及整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则． 15．王明在准备化简代数式3（3x2+4xy）﹣■（2x2+3xy﹣1）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（2x2+3xy﹣1）前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题： （1）■的值为 　4　； （2）求出该题的标准答案． 【分析】（1）设■的值为a，代入准备化简的代数式，根据李老师的话得到关于a的方程，求解即可． （2）把a的值代入准备化简的代数式，计算得标准答案． 【解答】解：（1）设■的值为a． 则3（3x2+4xy）﹣a（2x2+3xy﹣1） ＝9x2+12xy﹣2ax2﹣3axy+a ＝（9﹣2a）x2+（12﹣3a）xy+a． 由于结果不含有y， 所以12﹣3a＝0． 所以a＝4． 故答案为：4． （2）3（3x2+4xy）﹣4（2x2+3xy﹣1） ＝9x2+12xy﹣8x2﹣12xy+4 ＝x2+4． 所以该题的标准答案为：x2+4． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则与合并同类项法则是解决本题的关键． 16．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：7＝1， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　9＝1　； （2）写出第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【分析】（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第n个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【解答】解：（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． ∴， 故答案为：9＝1． （2）依据（1）中找出的规律得到第n个式子为： ． 证明：∵左边， 右边， ∴左边＝右边． ∴等式成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． 17．已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得出a+2＝0，2﹣b＝0，求出即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．） 【解答】解：（1）（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） ＝2x2+ax﹣y+6﹣bx2+2x﹣5y+1 ＝（2﹣b）x2+（a+2）x﹣6y+7， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴a+2＝0，2﹣b＝0， ∴a＝﹣2； b＝2； （2）2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2） ＝2a2﹣2ab+2b2﹣a2﹣ab﹣2b2 ＝a2﹣3ab， 当a＝﹣2，b＝2时，原式＝4+12＝16． 【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 18．当x＝5，y＝4.5时，求kx﹣2（xy2）+（xy2）﹣2（x﹣y2+1）的值．一名同学做题时，错把x＝5看成x＝﹣5，但结果也正确，且计算过程无误，求k的值． 【分析】原式去括号合并后，由错把x＝5看成x＝﹣5，但结果也正确，且计算过程无误，得到x系数为0，求出k的值即可． 【解答】解：原式＝kx﹣2xy2xy2﹣2x+2y2﹣2＝（k﹣4）x+3y2﹣2， 由错把x＝5看成x＝﹣5，但结果也正确，且计算过程无误，得到k＝4． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 整式的加减 课程标准 学习目标 1 理解整式、单项式、多项式的概念； 2 掌握合并同类项和去括号法则； 3 能运用整式的加减解决简单的实际问题。 1. 理解单项式的系数和次数，多项式的项数和次数； 2. 熟练进行整式的加减运算； 3. 能够进行整式的化简求值。 知识点一、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点二、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点三、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点四、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点五、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型01 单项式的系数与次数 1．单项式x2y3z的系数和次数分别为（　　） A．﹣3，5 B．，5 C．﹣3，6 D．，6 2．单项式的系数是 　　． 3．若单项式﹣3x2y的系数是m，次数是n，则mn的值为 　　． 4．已知单项式5xayb+2的次数是3次，则a+b的值是 　　． 题型02 多项式的项数与次数 1．多项式m3n4﹣5m3n5+3的项数和次数分别为（　　） A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，7 2．关于多项式2x2y2﹣3x3﹣1，下列说法正确的是（　　） A．这个多项式是七次三项式 B．常数项是1 C．三次项系数是3 D．次数最高的项为2x2y2 3．多项式3x3y2﹣4x5y+27的次数是 　　． 题型03 通过多项式的项数与次数求字母的值 1．多项式是关于x的四次三项式，则m的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．4或﹣4 2．如果整式xn﹣5x+4是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是 　　． 题型04 整式的判断 1．在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列式子中：0，﹣a，，，8x3﹣7x2+2，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列代数式，其中整式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．代数式，2x+y，，，，0.5中，整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型05 同类项的判断 1．在下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2 C．﹣3和99 D．﹣abc和9abc 2．下列单项式中，与3xy2是同类项的是（　　） A．﹣3xy B．xy2 C．﹣3x2y D．2x2y2 3．下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．3x2y与3xy2 B．3xy与﹣5yx C．5x2与5x D．xy与yz 题型06 利用同类项的概念求字母的值 1．若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3 2．如果2x3nym+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝﹣2，n＝3 B．m＝2，n＝3 C．m＝﹣3，n＝2 D．m＝3，n＝4 3．若单项式﹣x1﹣ay4与2x3y2b是同类项，则ab＝　　． 4．若a2x+1b3与﹣2a3b3y+1是同类项，则代数式2x+6y的值是 　　． 题型07 合并同类项的运算 1．下列计算正确的是（　　） A．3ab﹣2ab＝ab B．6y2﹣2y2＝4 C．5a+a＝5a2 D．m2n﹣3mn2＝﹣2mn2 2．合并同类项：8m2﹣5m2＝　　． 3．合并同类项： （1）3x﹣2y+5x﹣y； （2）0.8a2b﹣6ab﹣3.2a2b+5ab+a2b． 题型08 去（添）括号 1．﹣（a﹣b+c）变形后的结果是（　　） A．﹣a+b+c B．﹣a+b﹣c C．﹣a﹣b+c D．﹣a﹣b﹣c 2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣z B．x+2（y﹣z）＝x+2y﹣z C．x﹣y﹣z＝x+（y﹣z） D．x﹣2y+2z＝x﹣2（y﹣z） 3．下列添括号正确的是（　　） A．a+b﹣c＝a+（b﹣c） B．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c） C．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c） D．a﹣b+c＝a+（b﹣c） 4．已知（a﹣b）﹣（c﹣d）＝5，a﹣c＝3，则b﹣d＝　　． 题型09 整式的化简求值（直接代入） 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：2（ab﹣a2）﹣（3ab﹣2a2﹣1），其中． 3．先化简再求值：，其中x＝3，． 题型10 整式的化简求值（整体代入） 1．若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 　　． 2．已知x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是 　　． 3．如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代数式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值为 　　． 题型11 利用整式加减比较大小 1．若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．P≤Q 2．若M＝a2+a+4，N＝a﹣1，则M，N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N 3．已知p＝4a+2b，m＝4a﹣2b，q＝16a+4b．若p＞0，试比较m，q的大小关系． 4．若A＝3x2﹣2xy﹣1，B＝4x2﹣2xy+3． （1）试判断A、B的大小关系并说明理由； （2）当|x+1|+（y﹣1）2＝0时，求2A﹣（3B﹣2A）的值． 题型12 利用整式加减化简后“不含”某项类问题 1．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）化简后不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 2．若多项式2（x2﹣xy﹣3y2）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a＝　　． 3．当m的值为 　 时，5x3﹣2x﹣1与4mx+3的和不含x的一次项． 题型13 代数式的值与某个字母“无关”类问题 1．已知M，N为两个整式，其中M＝﹣3a2+7ab﹣6a﹣1，N＝3a2﹣4ab+2，若M+N的值与a的取值无关，则b＝　　． 2．已知关于x，y的式子的值与字母x的取值无关，则代数式（m+2n）﹣（2m﹣n）的值为 　　． 3．已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b． （1）计算：5A﹣2B； （2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值． 题型14 新定义、规律探究类问题 1．定义一种新运算： 例如：1☆3＝1×2+3＝5 3☆（﹣1）＝3×2﹣1＝5 5☆4＝5×2+4＝14 4☆（﹣2）＝4×2﹣2＝6 （1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝　　； （2）若a≠b，那么a☆b　　b☆a（填“＝”或“≠”）； （3）若（3a）☆（﹣2b）＝﹣6，则3a﹣b＝　　；并求（3a﹣2b）☆（3a+b）的值． 2．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m，n，p，总满足p＝m2﹣n，则称这个数列为理想数列． （1）若数列2，﹣1，a，﹣4，b，…，是理想数列，则a＝　　，b＝　　； （2）请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列：　 　； （3）若数列…，m，n，p，q，…是理想数列，且q﹣3p＝1，求代数式n（n2﹣4m2﹣1）+16（m2﹣n）+2022的值． 3．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、P，总满足p＝m2﹣n，则称这个数列为理想数列． （1）若数列2，﹣1，a，﹣4，b，…，是理想数列，则a＝　　，b＝　　； （2）若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式x2﹣2x+3的值． （3）若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且pq＝2，求代数式n（n2﹣3m2+4）+9（m2﹣n）+2022的值． 1．已知﹣x3y2与3y2xn是同类项，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．2或3 2．下列结论中，正确的是（　　） A．代数式 πx2+4x﹣3 是三次三项式 B．3x2y与﹣2xy2是同类项 C．代数式x2+4x﹣3的常数项是3 D．单项式系数是，次数是3 3．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　） A．48 B．56 C．63 D．74 4．当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x＝﹣2时，这个代数式的值是（　　） A．1 B．﹣4 C．6 D．﹣5 5．对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：m▲n＝m2﹣n2，根据这个定义，代数式（m﹣n）▲m可以化简为（　　） A．n2﹣2mn B．2mn﹣n2 C．m2﹣2mn D．2mn﹣m2 6．若单项式﹣2ax2yn+1与﹣3axmy4的差是ax2y4，则2m+3n＝　 　． 7．要使多项式2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是 　 　． 8．去括号：4x3﹣（﹣3x2+2x﹣1）＝　 　 9．若单项式与的差仍是单项式，则m﹣2n＝　 　． 10．给出依次排列的一列数：﹣1，，，，，，…，按照此规律，第n个数为 　 　． 11．化简： （1）2a2+3ab﹣a2﹣4ab； （2）（3m2﹣n2）﹣2（m2﹣2n2）． 12．先化简，再求值：3（2x2y﹣3xy）﹣（xy+6x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 13．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 14．已知A、B是两个整式，A＝4a2﹣5a+2，B＝3a2﹣5a﹣3． （1）尝试计算 当a＝0时，A＝　 　，B＝　 　．当a＝2时，A＝　 　，B＝　 　． （2）大胆猜测 小军猜测：无论a为何值，A 　 　B始终成立． （3）小心验证 请证明小军猜测的结论． 15．王明在准备化简代数式3（3x2+4xy）﹣■（2x2+3xy﹣1）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（2x2+3xy﹣1）前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题： （1）■的值为 　 　； （2）求出该题的标准答案． 16．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：7＝1， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　 　； （2）写出第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 17．已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1） （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值． 18．当x＝5，y＝4.5时，求kx﹣2（xy2）+（xy2）﹣2（x﹣y2+1）的值．一名同学做题时，错把x＝5看成x＝﹣5，但结果也正确，且计算过程无误，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$