第一章 勾股定理章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第一章 勾股定理章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 2．一个直角三角形的两条直角边相差1，面积是1，则斜边的长是 ． 3．如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 4．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为 ． 5．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 6．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 7．如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 8．如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ． 9．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ． 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”，运用“数形结合”的思想方法计算的最小值为 ． 11．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 12．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 13．如图，在四边形中，，则 ． 14．如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 15．直角三角形和的直角顶点重合在点A，，，，M、N分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 二、解答题 16．请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； (3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 17．已知：如图1，四边形中，为对角线，． (1)求证： (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的面积． 18．如图，在中，，，点是边所在直线上的一个动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时，求证：． (2)如图2，若点从点运动到点A． ①的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． ②如图3，过点作的垂线，与直线交于点，作点关于直线的对称点，直线交直线于点，若，求的长． 19．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，． (1)用数学的眼光观察． 如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)用数学的思维思考． 如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)用数学的语言表达． 如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长． 20．【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． 21．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 22．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是，∴点表示的实数是， 故答案为：． 2．一个直角三角形的两条直角边相差1，面积是1，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，设出直角边长，由已知条件列出方程中求解出直角边长后，结合完全平方差公式的运用，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，令，则， ，故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理及完全平方差公式的运用，读懂题意，由已知得到方程组是解决问题的关键． 3．如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：；∴； 故答案为：． 4．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为 ． 【答案】49 【分析】设直角三角形中较长的直角边的长为a，利用勾股定理求得直角边的较长边，进一步求得阴影部分的面积即可． 【详解】解：设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得 a2+52=169 解得：a=12， 则中间小正方形面积(阴影部分)为(12−5)2=49. 故答案为49. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用. 5．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到，，即可得到，然后根据三线合一得到，然后分别在和中，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作于点F，连， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， 解得， ∴． 6．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 7．如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于，过点作，证明和全等，得，则，由得，则，进而得当面积的最大值，则的面积为最大，即为最大，根据“垂线段最短”得，即，由此得的最大值为5，此时与重合，即，然后由勾股定理求出，据此可得的长． 【详解】解：延长交于，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴当面积的最大值，则的面积为最大， ， 根据“垂线段最短”得：，即， ∴的最大值为5， ∴的最大值为5， ∴面积最大为， 当面积的取最大值时，与重合，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，垂线的性质，角平分线，熟练掌握三角形的面积，垂线的性质，角平分线是解决问题的关键，理解垂线段最短，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 8．如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．延长交于点，延长，使，连接，根据题意可得，，进而可求出，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长，使，连接， ， ， ， ， ，是中边上的中线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是边上的中线，， 在和中，， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ． 【答案】（,） 【详解】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB， ∵AB=AE，∠BAC=∠EAC， ∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG=GB，EB=2EG， BG==， 设E（x，y），则有：AE2-AF2=BE2-BF2即：82-x2=（）2-（8-x）2， 解得：x=，y=EF=，∴E点的坐标为：（,）． 10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”，运用“数形结合”的思想方法计算的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，原式变形为，在线段上取一点P，作，，，，当C，P，D三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论 【详解】解： 设，原式变形为， 在线段上取一点P，作，，，，    设，则， ∴，， ∴， 当C，P，D三点共线时，最小，即为的长度， 过点C作，，， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 所以，的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 11．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，三角形三边关系，勾股定理，过点作得平行四边形，知，，作点关于对称点，连接，则，连接，当，，三点共线时，的值最小为，得到最小为，在中由勾股定理可得，从而可求出结论，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，为， ∴的最小值为， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：. 13．如图，在四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了构造全等三角形解决问题，解题关键在于辅助线的添加． 作，连接，延长交于点F，构造旋转全等，再结合勾股定理求解． 【详解】解：作，连接，延长交于点F ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，中，有， 解得：，∴， ， ∴在中，， 故答案为：． 14．如图，在等腰中，两点分别是边上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，，先证明，得到，，根据当、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求出长，即可求出长度的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点，连接，， ，， ， ， ， ，， ∵ ∴， ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， ∵点B与点的关于对称， ，， ， 当B、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点． 15．直角三角形和的直角顶点重合在点A，，，，M、N分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，设，则通过勾股定理得，则的最小值转化为在平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值，过点F作x轴的对称点，当点D与与x轴的交点G重合时，取得最小值． 【详解】解：过点A作于点F，设， 在中，， ∵等腰直角中，， ∴， ∴在中， 则 则的最小值转化为在平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如图，过点F作x轴的对称点，此时，则， 当点D与与x轴的交点G重合时，取得最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 二、解答题 16．请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； (3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1) (2)不变，见解析 (3)， 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式； （2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； 故答案为：； （2）关系式仍然成立． 证明：将沿直线对折，得，连接 ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴在中，， 即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得． ∴． ∴． 若使为等腰三角形，只需， 即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 17．已知：如图1，四边形中，为对角线，． (1)求证： (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，结合已知条件即可得证； （2）过点作于点，在上取，连接，证明，得出，设，则，，在中，，在中，，进而得出，在中，，在中，，进而即可得证； （3）在上取，连接，由（2）可知，，过点作交于点，过点作于点，,继而得出，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，进而得出，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，     即； （2）证明：如图所示，过点作于点，在上取，连接， 在中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵； 设，则，， ∴， 在中，， 在中，，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 即； （3）如图所示，在上取，连接， 由（2）可知，， 过点作交于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴ ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，在中，，，点是边所在直线上的一个动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时，求证：． (2)如图2，若点从点运动到点A． ①的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． ②如图3，过点作的垂线，与直线交于点，作点关于直线的对称点，直线交直线于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①存在；；②或 【分析】（1）利用旋转的性质证明，得到由等腰三角形的性质即可得到结论； （2）①由勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据，推出，在从运动到的过程中，当时，最小，此时，即可求出结果； ②证明，易得，推出，根据点，关于对称，得到，由，得到，过点作于点，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在等腰中，， ∴， 由旋转可得是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 在从运动到的过程中，当时，最小，此时， ∴周长的最小值为； ②如图，同（1）可证， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴，负值舍去， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，． (1)用数学的眼光观察． 如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)用数学的思维思考． 如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)用数学的语言表达． 如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用三角形的判定来判定三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，从而得解； （2）点B作交的延长线于点Q，证明得到，再证明，得到，即得证； （3）分①当点在直线下方时，②当点在直线上方时两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：，理由： ∵，，， ∴， ∴； （2），理由： 点B作交的延长线于点Q， ∴，， ∵F是中点，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）旋转得到三点共线， ①当点在直线下方时，如图所示，过点A作于M， ∵是等腰三角形，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即旋转得到三点共线时，； ②当点在直线上方时，如图所示，过点A作于N， 同理，， 即旋转得到三点共线时，， 综上所述，线段的长为：或． 20．【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的判定方法可得答案； （2）根据证明即可证明结论成立； （3）连接．根据证明得，进而可证点B，D，M在的垂直平分线上，然后根据勾股定理求出，．根据证明得，然后根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）， ∴点C、D分别在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 故答案为：是； （2）∵与都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）连接． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴，∴ 点D、B在的垂直平分线上． ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点B，D，M共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ， 即四边形的四周搭建围栏长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定雨性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 ． 21．本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键是利用运用这些知识． （1）利用梯形面积公式和图形由三个直角三角形拼成表示出面积，再简单计算即可； （2）先证明，进而可得，由可证明，在中，求即可解答； （3）由是边的中线，可得，设，则，，由勾股定理得：，，即，可得，进而得到，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点作于点， 是边的中线， ， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即， 得：， ， ， ， ， 即， ． 22．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长是定值，为16，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）解：的长为定值16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等，， ，， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ．， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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