4.1.3幂函数（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.1.3幂函数 题型一 幂函数的定义 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 2．已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数在第一象限内单调递减，可得，则，所以. 故选：. 3．“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的性质分析判断 【详解】因为为幂函数，且在上是减函数， 所以，解得， 因为当或时，不一定等于，而当时，或成立， 所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B 4（多选题）．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 【答案】AB 【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误. 【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错； B：根据幂函数定义也是幂函数，错； C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对； D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对. 故选：AB 5．已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实数 . 【答案】 【分析】则幂函数的定义与性质求解． 【详解】解：由题意得，，解得， 故答案为：-1 6．若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称 【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称． 故答案为：y轴成轴对称 7．若幂函数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，根据条件列方程，然后通过整体代换可得. 【详解】设，则，所以． 故答案为： 8．已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可； （2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则． （2）证明：由（1）可知，， 设，可得，所以， 即，所以在区间上是严格增函数． 9．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由幂函数的单调性求得,由，通过检验即可求解； （2）由已知得，两边平方，即可求解实数的取值范围． 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知, ,解得, 又,则. 当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去. 当时，，图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增， 因为,所以,两边平方，得, 化简得，解得或，故实数的取值范围为. 题型二 幂函数的图象及应用 1．函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的特点即可求解. 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC选项为偶函数，B选项满足要求，D选项不满足单调性. 【详解】A选项，的定义域为， 故，故为偶函数，A错误； B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在上单调递减，B正确； C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，C错误；D选项，在上单调递增，D错误. 故选：B 3．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断选项. 【详解】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 故选：A 4．幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，作出该函数的图象，即可得出合适的选项. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，则，解得， 所以，，该函数的定义域为， 当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象只经过第一象限，不经过第三象限，且该函数是非奇非偶函数. 故选：B. 5（多选题）．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 6．如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由简单幂函数的图象与性质可直接得到答案. 【详解】如图： 结合幂函数在第一象限的图象特征可知：幂函数图象恒过， 若，则时满足条件；若，则满足条件．综上，． 故答案为：． 7．已知函数与，的图像是由的图像通过 平移得到的． 【答案】向右 【分析】由平移变换（左加右减）求解即可. 【详解】函数的图像向左平移1个单位就得到的图像， 所以的图像是由的图像通过向右平移1个单位得到． 故答案为：向右 8．幂函数的图像一定经过 象限． 【答案】第一象限 【分析】由，得出结论. 【详解】当时，，即函数的图像一定经过第一象限. 故答案为：第一象限 9．已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式；(2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)或． 【分析】（1）由幂函数所过的点求幂函数解析式； （2）画出幂函数图象； （3）数形结合求不等式解集. 【详解】（1）设，由题设解得， 所以； （2）图象如图所示 （3）由图象知：当时，或． 10．已知幂函数． (1)求的解析式；(2)若图象不经过坐标原点，判断奇偶性并证明； (3)若图象经过坐标原点，解不等式． 【答案】(1)或；(2)为奇函数，证明见解析；(3). 【分析】（1）根据幂函数的定义列式计算，即可得答案； （2）结合幂函数的图象性质即可确定答案； （3）由题意确定幂函数的解析式，由此列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 故或. （2）当时，的图象经过坐标原点，不满足要求， 当时，的图象不经过坐标原点，所以， 为奇函数. 证明：定义域为，关于原点对称， ， （3）若图象经过坐标原点，则，由可得，解得， 所以原不等式的解集为. 题型三 幂函数性质的综合应用 3．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性可求出函数的单调递增区间. 【详解】设，则，所以，可得， 所以，，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 所以，函数的减区间为，增区间为. 故选：B. 2．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数，所以. 故选：A. 3．若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得､的大小关系，进而可得正确选项. 【详解】和在上单调递增，所以，， 当时，图象在上方，所以，当时，图象在下方，所以， 所以，故选：A. 4．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故 ，故可取， 故答案为：（答案不唯一） 5．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题目幂函数的图象过可设出的解析式，将点代入解出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质，求解出在上的最大值． 【详解】设，因为的图象过， ，解得， 在上是单调递增的在上的最大值为，故答案为． 【点睛】本题主要考查了幂函数图像的性质的应用． 6．函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减，可得. 故答案为： 7．已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上是减函数． （1）求m的值； （2）求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，得到或2， （2）结合第一问中求出的函数奇偶性和单调性，得到，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在上是减函数， 所以，所以. 因为，所以或2. 又函数图象关y轴对称，所以是偶数，所以. （2）不等式等价于，解得． 所以实数a的取值范围是. 8．已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 9．已知幂函数. (1)求的值；(2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)2或3；(2)；(3). 【分析】（1）根据幂函数的定义建立方程，解方程，验证即可； （2）由（1），结合奇偶函数的定义即可求解； （3）由（2）可得，对称轴为，结合二次函数的单调性建立不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或3. 当时，，符合题意，当时，，符合题意， 所以或3； （2）由（1）知，当时，，则，为奇函数； 当时，，则，为偶函数， 所以的解析式为； （3）由（2）知，，则，对称轴为， 又函数在上不是单调函数，所以，解得， 即实数a的取值范围为. 1（多选题）．函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定的正负，再观察幂函数图象判断即得. 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，A可能； 对于B，二次函数开口向下，则，此时存在与图中符合，如，B可能； 对于C，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，C可能； 对于D，二次函数开口向上，则，此时在为增函数，不符合，D不可能. 故选：ABC 2．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 【答案】2、、、 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以、、、相对应的依次为2、、、. 故答案为：2、、、. 3．函数在区间上的最大值是 ． 【答案】4 【详解】试题分析：令， 则， ，，，． 所以函数在上单调递减．所以函数在上的最大值为． 考点：用函数的单调性求最值． 【思路点晴】本题主要考查函数的最值问题，难度稍大．本题属于用函数的单调性求最值问题，故应先根据函数单调性的定义判断函数的单调性，再根据函数单调性求其最值． 4．已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据函数为幂函数得到方程，结合函数的奇偶性得到，得到，，换元法得到的解析式； （2）变形得到，，换元后，利用基本不等式求出最小值，得到，求出答案. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或. 因为为偶函数，所以，则. 由，可得，令，则， 所以. （2）由，可得，故，， 令，则， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以，即，所以的取值范围为. 5．已知点在函数的图象上. (1)求实数的值； (2)作出此函数的大致图象，并写出对称中心以及判断它的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析． 【分析】（1）将点代入计算，即可得到的值； （2）由题意可得，再由反比例函数的平移变换，即可得到函数的图象，结合函数图象，即可求解. 【详解】（1）将点代入，可得，解得； （2）因为， 将函数向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到的图象， 作出函数的图象如图所示，其对称中心为， 结合图象可知，该函数在区间和区间上是严格减函数. 6．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或；(2). 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值. （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或，解得或或， 故实数a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1.3幂函数 题型一 幂函数的定义 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（多选题）．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 5．已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实数 . 6．若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 7．若幂函数满足，则的值为 ． 8．已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 9．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 题型二 幂函数的图象及应用 1．函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 3．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 4．幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（   ） A．经过第一象限和第三象限 B．只经过第一象限 C．是奇函数 D．是偶函数 5（多选题）．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 6．如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是 ． 7．已知函数与，的图像是由的图像通过 平移得到的． 8．幂函数的图像一定经过 象限． 9．已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式；(2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 10．已知幂函数． (1)求的解析式；(2)若图象不经过坐标原点，判断奇偶性并证明； (3)若图象经过坐标原点，解不等式． 题型三 幂函数性质的综合应用 3．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 3．若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则 ． 5．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 ． 6．函数的值域为 . 7．已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上是减函数． （1）求m的值； （2）求满足不等式的实数a的取值范围． 8．已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 9．已知幂函数. (1)求的值；(2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 1（多选题）．函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 3．函数在区间上的最大值是 ． 4．已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 5．已知点在函数的图象上. (1)求实数的值； (2)作出此函数的大致图象，并写出对称中心以及判断它的单调性. 6．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$