4.1.3幂函数课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.1实数指数幂和幂函数 4.1.3幂函数 新课导入 我们在前两节课学习了指数幂的相关知识,在第三章对函数有了初步的认识,从定义域、值域、单调性和奇偶性去研究函数。本节课我们将利用这些知识研究一类新的函数。 看这几个例子: (1)如果小周以1元/支的价格购买了某种铅笔x支,那么她所需要付的钱p=x元,p是x的函数; 新课导入 (2)如果正方形的边长为x,则面积s是x的函数; (3)如果 正方体的棱长为x,则体积 v是x的函数。 上面讨论涉及的变量x, ,都是自变量x的函数 新知讲授 一般来说,当x为自变量,而为非零实数时,函数叫作(次)幂函数。 (1)1,2,3次幂函数,都是正整数次幂函数 (2)正整数次幂函数的倒数是负整数次幂函数,一般写成,这里n是正整数,.() (3)自变量x的算术平方根或立方根是最常见的分数次幂函数。 正整数次幂函数,负整数次幂函数统称为整数次幂函数 新知讲授 由幂函数的定义知: (1)的系数为1; (2)底数是单个的自变量x; (3)项数为1,只有项。 判断 是否是幂函数? 解:由幂函数的定义知:是幂函数; 和不是幂函数。 新知讲授 下来我们一起研究以下幂函数的基本性质: 下图是我们熟悉的五个幂函数的图像,观察图像回答下面问题: 新知讲授 (1)哪几个是偶函数?哪几个是奇函数? (2)写出每一个函数的定义域和值域; (3)写出每个函数的单调区间; (4)从图中能发现什么? (1)奇函数关于原点对称;偶函数关于y轴对称,所以由图像可以得知:是偶函数; 是奇函数;是非奇非偶函数。 新知讲授 (2)(3)用表格呈现: 函数 定义域 R R R 值域 R R 单调性 在R上为增函数 上为单调递减;上为单调递增。 在R上为增函数 上为单调递增。 和)均单调递减 新知讲授 (4)观察图像可以得知: 当>0时,图像在第一象限都是递增的;当时,图像在第一象限都是递减的; 当0<x<1时,越小图像越高,即越靠近y轴,简称:“指小图高”; 当x>1时,图像越高,即越靠近y轴,简称:“指大图高”。 所有图像均过(1,1) 归纳总结 根据我们熟悉的幂函数总结一般幂函数性质: (1)当>0,它在 上有定义且递增,值域是函数图像过(0,0)(1,1); (2)当<0,它在 上有定义且递减,值域是函数图像过(1,1),向上与y轴正方向无限接近,向右与x轴正方向无限接近;