第二章 实数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 实数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的大小比较，先判断，从而可得答案； 【详解】解：， ， 而点在，这两个数之间， ∴在数轴上表示实数的可能是， 故选：B． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据实数a和b在数轴上的位置，确定出a和b取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质，将原式化简，求出答案即可． 【详解】由数轴得，， ，，， ； 故选：B． 5．下列结论中，正确的是（    ） A．的平方根是 B． C． D．的算术平方根是a 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根，掌握其定义是关键；根据平方根、算术平方根及立方根逐项计算即可． 【详解】解：，即3的平方根是，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 的算术平方根是，而不是a，故D错误； 故选：C． 6．下列实数，是无理数的是（　　） A． B．﹣π C． D． 【答案】B 【详解】∵ 实数 ， 而A. 是无限循环小数，为有理数， B.﹣π 为无限不循环小数， C. =-2为整数， D. 为分数，为有理数. ∴故选B. 点睛：常常错选答案D，认为这个分数除不尽，为无限不循环小数，实际上所有的分数都可化为有限小数或无限循环小数，所以分数必然是有理数. 7．下列二次根式计算正确的是（　　） A．－＝1 B．＋＝ C．×＝ D．÷＝ 【答案】C 【分析】本题需根据二次根式的乘除法和加减法分别进行判断，即可求出正确答案． 【详解】A、∵－≠，故本选项错误； B、∵＋≠，故本选项错误； C、∵×＝．故本选项正确； D、÷＝≠，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法和加减法，在解题时要注意知识的综合应用是本题的关键． 8．若实数x、y满足x2=++4，则x+y的值是（ ） A．3或-3 B．3或-1 C．-3或-1 D．3或1 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意可得：y－≥0，3－3y≥0，解得：y=1，则x=±2，则x+y=3或－1． 考点：二次根式的性质． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．比较大小： （填写“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】， ， ， 故答案为＜ 【点睛】此题考查无理数大小的比较，解题关键在于掌握运算法则. 10．计算：＝ ，（﹣）2＝ ，＝ ． 【答案】 2 a 7 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：＝2、（﹣）2＝a、＝7， 故答案为：2、a、7． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，即，熟练掌握性质是解题的关键． 11．若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】∵的算术平方根为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∵是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题可将b3拆成b×b2，再将b2开方，根据b的取值，可知=-b，由此可解出本题． 【详解】解：∵b＜0， ∴= =|b|=-b． 故答案为. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意开方的数的符号． 13．已知＝1.311，＝4.147，那么0.17201的平方根是 ． 【答案】±0.417 【分析】根据被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题． 【详解】∵＝4.147， ∴＝0.4147， ∴0.17201的平方根是±0.417． 故答案为：±0.417． 【点睛】此题考查平方根的性质，解题关键在于掌握如果被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其平方根也在扩大（或缩小），但只扩大（或缩小）为原来的10倍． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴，． （2）∵． ∴16的平方根是． 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，再运算加减即可； （2）先计算乘方、立方根、化简绝对值，再运算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由． (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3)90焦耳，严禁高空抛物 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可， （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知，， （2）不正确， 理由如下：当时，， ∵， ∴不正确； （3）当时，， 鸡蛋产生的动能． 17．如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)杆子底端B外移的距离大于顶端下滑距离，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，无理数大小估算，实数大小比较，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据勾股定理求出的长度，进而得出结果； （2）利用无理数大小估算得出，进而得出结果即可． 【详解】（1）解：，， ， 梯子的顶端A沿墙下滑至C点，， ， ， 由勾股定理得：， ， 即杆子底端B外移； （2）解：由（1）可知杆子底端B外移的距离为， 杆子顶端下滑距离为， ，，，， 杆子底端B外移的距离小于顶端下滑距离． 18．已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，数轴，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）根据数轴上的点平移的变化规律即可解答； （3）分两种情况讨论：点C是的美好点或点D是的美好点．根据“美好点”的定义列出方程，求解后结合进行取舍，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵点B表示的数是，向右平移个单位得到点C， ∴点C表示的数是，即， ∵点C向右平移个单位得到点D， ∴点D表示的数是，即． 故答案为：， （3）解：若点C是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，不合题意，舍去； 若点D是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，符合题意． 综上所述，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，利用勾股定理求出圆的半径是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，所以其对角线的长度为，即圆的半径为，点A可以看作表示2的点向左平移个单位长度得到的，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为1，则正方形的对角线的长度是， ∴圆的半径为， ∴点A可以看作表示2的点向左平移个单位长度得到的，即点A表示的数是， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 20．若m表示的小数部分，则m2的值为 ．（结果可以带根号） 【答案】/ 【分析】由实数估算，可知，据此进行计算即可求得结果． 【详解】∵若m为的小数部分， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，这一类题的关键是根据已知求出m表示的小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力． 21．设n为正整数，且，则n的值为 ． 【答案】7 【分析】根据49＜50＜64，可得78，即可求解． 【详解】解：∵49＜50＜64， ∴78， ∴n＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 22．若a1，则代数式a2+2a﹣4的值为 ． 【答案】2 【分析】此题可先把代数式a2+2a﹣4变形为（a+1）2﹣5，再把a1代入变形的式子计算即可． 【详解】∵a²+2a﹣4＝（a+1）2﹣5． ∴当a1时， 原式＝（1+1）2﹣5 ＝7﹣5 ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用、二次根式的化简求值，解答本题的关键是一定要先化简到最简二次根式，再代入求值． 23．如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察题中图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出 ．    【答案】 【分析】根据题中给出的规律即可得出结论． 【详解】解：，； ，； ，； …… ，； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、图形的变化规律等知识点，根据所给式子、正确找出图形的变化规律是解题解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算二次根式，整式的混合运算． （1）估算，得到，，再代入计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式展开化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴． （2）原式 把，代入，得原式． 25．阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 26．先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【答案】(1)3，(2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 5．下列结论中，正确的是（    ） A．的平方根是 B． C． D．的算术平方根是a 6．下列实数，是无理数的是（　　） A． B．﹣π C． D． 7．下列二次根式计算正确的是（　　） A．－＝1 B．＋＝ C．×＝ D．÷＝ 8．若实数x、y满足x2=++4，则x+y的值是（ ） A．3或-3 B．3或-1 C．-3或-1 D．3或1 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．比较大小： （填写“＞”或“＜”）． 10．计算：＝ ，（﹣）2＝ ，＝ ． 11．若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 12．若，化简的结果是 ． 13．已知＝1.311，＝4.147，那么0.17201的平方根是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 15．计算： (1) (2) 16．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由． (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 17．如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 18．已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ． 20．若m表示的小数部分，则m2的值为 ．（结果可以带根号） 21．设n为正整数，且，则n的值为 ． 22．若a1，则代数式a2+2a﹣4的值为 ． 23．如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察题中图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 25．阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 26．先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$