第11章 简单几何体（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第11章 简单几何体（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．已知球的表面积为，则该球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可. 【解析】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为： . 故答案为：. 2．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【解析】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 3．已知正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比是 ． 【答案】 【分析】作出图形，根据正四棱锥的特征可知为棱锥的高，根据条件计算可得结果． 【解析】如图：为正四棱锥，为，的交点，即底面正方形的中心，则为四棱锥的高， 设底面边长为，则， 在中，， ， 故 故答案为： 4．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 .    【答案】 【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长. 【解析】因为轴，所以的中，，又三角形的面积为16， 所以.∴，所以. 如图作于， 因为，所以. 故答案为：.    5．如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为 . 【答案】 【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积. 【解析】由题设，一个底面的面积为， 一个侧面矩形面积为， 所以茶叶盒的表面积为. 故答案为： 6．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 【答案】/ 【分析】从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，最短路程为.本来是空间最值问题，利用展开图，转化为平面两点连线最短问题，即两点之间线段最短，即，再利用的长计算出对应的弧长，因为因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，进而算圆锥底面圆的半径，再算出面积，圆锥的高；带入圆锥的体积公式求出体积. 【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，从点P绕圆锥爬行一周后回到点P处，根据两点之间线段最短，爬行的最短路程为展开图中线段,即，已知圆锥形物体的母线长为3，即,在中，由余弦定理得， 又因为，所以，所以, 因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，所以,即. 又勾股定理得, 所以圆锥体积. 故答案为：               7．已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，则球心O到平面ABC的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据球的体积公式可得球的半径，结合条件可得的外接圆的半径，然后根据球的性质即得. 【解析】设球的半径为R，则， 解得，    设的外接圆的半径为，因为， 所以，即， ∴球心到平面的距离. 故答案为：3. 8．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的 心. 【答案】外 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案. 【解析】因为，，所以， 故， 因为，所以， 故是的外心. 故答案为：外 9．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则四面体的体积的最大值是 . 【答案】/ 【分析】转换顶点，将问题转化为点到BC的距离问题. 【解析】记点到BC的距离为h， 由正方体性质可知，平面， 所以， 又， 所以，点P在底面内，且在以A为圆心，1为半径的四分之一圆内（包括圆上）， 如图，易知h的最大值为2，所以四面体的体积的最大值为. 故答案为：. 10．三棱锥中，，，，，若三角形和都是等腰直角三角形，则，，可能的不同取值有 种. 【答案】3 【分析】分情况讨论哪一个角是直角即可求解. 【解析】根据题意可画简图如下，为等边三角形，且，都是等腰直角三角形，分类讨论如下： ①时，， 此时中，，所以，， 此时，； ②时，，此时中，， 此时，此时； ③，时，，此时中，， 此时，此时； 所以，，的取值有3种不同情况． 故答案为：3. 11．如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .    【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用等体积法即可得解. 【解析】由题意，折叠后的四面体如图所示，    因为正方形边长为，分别是的中点， 所以，即， 又平面，所以平面， 同时由，得， 又， 所以， ， 设到平面的距离为， 则，即，解得. 故答案为：. 12．已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【分析】证明平面，从而得点的轨迹为平面与球的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球半径利用球的体积公式计算可得． 【解析】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面，得点的轨迹为平面与球的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解． 二、单选题 13．给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】D 【分析】 举例即可说明ABC项，根据棱柱的结构特征及概念，即可判断D项. 【解析】对于A，如图，在正方体中，    三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确. 对于B，如图，在三棱锥中，，，，    由，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 同理可得，平面平面，平面平面，故B正确. 对于C，如图，平面平面，平面平面，平面平面，    所以平面，易知，则平面，故C正确. 对于D，根据棱柱的定义可得，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，故D错误. 故选：D. 14．一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出球体的半径，可求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式可求得该正方体的体积. 【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则，可得， 因为，解得， 所以，这个正方体的体积为. 故选：C. 15．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 【答案】D 【分析】连接，则平面，利用线面垂直的定义可知A正确；，利用线面平行的判定定理可知B正确；进而得到C正确；点到直线的距离不相等，可知D不正确，得出答案． 【解析】 解：连接，在正方体中，平面， 又，平面， 平面，选项A正确； ，即，平面， 平面，平面，选项B正确； 由平面， 得； 三棱锥的体积为定值，选项C正确； 点到直线的距离不相等， 的面积与的面积不相等， 故D错误． 故选：D 16．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】假设平面，得到，假设不垂直，假设不成立，①错误，取中点，连接，，得到②正确，得到答案. 【解析】对①：假设平面，平面，则， 则，，故不垂直，假设不成立，①错误； 对②：取中点，连接，为线段的中点，则， 则在以为球心，半径为的球上，②正确； 故选：D 三、解答题 17．已知正四棱柱中，.    (1)求正四棱柱的表面积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接计算表面积即可. （2）根据，得到平面，得到证明. 【解析】（1）正四棱柱的表面积为. （2）为正方形，故， 正四棱柱，故平面，平面， 故， ，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解； （2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解. 【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，可得，且， 所以笼具的体积. （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 故笼具的表面积． 故制造50个这样的笼具总造价为：元， 答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元． 19．已知三棱锥，平面，PA=6，AC=4，，M，N分别在线段PB，PC上．    (1)若PB与平面所成角大小为，求三棱锥的体积V； (2)若平面，求证：平面 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面角求出，进而求出面积，再求出体积作答. （2）由线面垂直的判定证得平面，再利用线面垂直的性质、判定推理作答. 【解析】（1）在三棱锥中，平面，则是PB与平面所成角，即， 而，则，在中，，，有， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. （2）在三棱锥中，平面，平面，则，而， 平面，于是平面，平面，有， 因为平面，平面，则，又平面， 所以平面. 20．如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，答案见解析，证明见解析 【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论； （2）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱. 【解析】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 21．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【解析】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 简单几何体（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知球的表面积为，则该球的体积为 ． 2．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 3．已知正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比是 ． 4．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 .    5．如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为 . 6．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 7．已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，则球心O到平面ABC的距离为 ． 8．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的 心. 9．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则四面体的体积的最大值是 . 10．三棱锥中，，，，，若三角形和都是等腰直角三角形，则，，可能的不同取值有 种. 11．如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .    12．已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 14．一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 15．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 16．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．已知正四棱柱中，.    (1)求正四棱柱的表面积； (2)求证：平面平面． 18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 19．已知三棱锥，平面，PA=6，AC=4，，M，N分别在线段PB，PC上．    (1)若PB与平面所成角大小为，求三棱锥的体积V； (2)若平面，求证：平面 20．如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 21．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$