第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法(二类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（十一大题型） 学习目标 1、理解并掌握用因式分解法解方程的依据. 2、会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3、掌握因式分解法的应用 一、情境导入，初步认识 我们知道如果ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x-1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x+5）=0的解吗？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程 x2-3x=0 可用因式分解法求解 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 即x1=0， x2=3 与公式法相比，哪种更简单？ 【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解下列方程； (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1)； (3)(35-2x)2-900=0. 3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程. 【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程. 三、常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【方法规律】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【解析】（1）解：， ， ， ， ； （2） 原方程可化为， ， 或， ； （3）， ， ； （4） 原方程可化为， 或， ，． 【即学即练2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解析】（1）解：， ， 或， ∴； （2）解：， ， ∴或， ∴． 【即学即练3】用因式分解法解下列方程： (1) ； (2) ； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是银题的关键． （1）先将方程化简，再用因式分解法求解即可； （2）先将方程变形为，再用因式分解法求解； （3）用平方差公式分解，即可求解； 【解析】（1）解：原方程可化为． 移项，得． 因式分解，得． 于是得或， ∴，． （2）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即． 于是得或， ∴ ． （3）解：因式分解，得， 即． 于是得或， ∴， 【即学即练4】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 先移项，再提取公因式，求出的值即可． 【解析】解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 故选：D． 【即学即练5】方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 【即学即练6】三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定出第三边即可，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【解析】解：， ， 解得：，， ∴三边为，不能构成三角形，舍去； ，符合题意， 则此三角形的周长为， 故答案为：． 题型1：因式分解法解一元二次方程 【典例1】．方程的根为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程． 【解析】解： 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【典例2】．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可． 【解析】解： ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． 【典例3】．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解． 【解析】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， 整理得：， ∴， 解得： 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键． 【典例4】．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解： 解得， （2）解： 解得， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【典例5】．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【解析】（1）解：， ， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解： ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【典例6】．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 题型2：因式分解法解一元二次方程易错题 【典例7】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 【答案】A 【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的． 【解析】A：等式右边为0，分解正确，符合题意； B：等式右边≠0，不符合题意； C：等式右边≠0，不符合题意； D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0； 故答案为：A 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程． 题型3：分析解答过程 【典例9】．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【答案】二 【分析】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可． 【解析】解：不正确． 正确的解答过程如下：， ⋯第一步， ⋯第二步 则或， 解得，， ∴第二步出错， 故答案为：二． 【典例10】．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 题型4：解“看错题” 【典例11】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 题型5：因式分解法解一元二次方程的代数应用 【典例12】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【解析】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【典例13】．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【解析】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 【典例14】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（  ） A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2 【答案】A 【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根， ∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①， （a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②， ∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0， 解得a=2或﹣1， 当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣； ②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0. ∴方程的解是0或﹣. 故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义. 题型6：因式分解法解一元二次方程的几何应用 【典例15】．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【解析】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【典例16】．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系．根据题意解出方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴，解得：， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为时，不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去， 当第三边长为时，符合构成三角形三边关系，则周长为：， 故选：B． 【典例17】．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【解析】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 题型7：因式分解法解一元二次方程与二次根式问题 【典例18】．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【典例19】．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 题型8：换元法 【典例20】．已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值． 【解析】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意． 【典例21】．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016． 【答案】x1＝4029，x2＝-2 【分析】设x-2013 = t，则x-2014=t-1，可得t2-t-2015×2016=0，再利用因式分解法可得t1=2016，t2=-2015，再代入，即可求解． 【解析】解：设x-2013 = t，则x-2014=t-1， ∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0， ∴（t-2016）（t+2015）=0 解得：t1=2016，t2=-2015， ∴x－2013 =2016或x－2013 =-2015， 解得：x1＝4029或-2， ∴原方程的解为x1＝4029，x2＝-2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型9：分类讨论 【典例22】．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】D 【分析】求得和为，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数． 【解析】解：由；；；；；，…， 可得或或或或；或；或，…， 则p的个数无数个， 故选：D． 【点睛】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项． 【典例23】．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可． 【解析】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0， 因式分解得(x-2)(x+1)=0， 解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）； 当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0， 因式分解得(x+2)(x-1)=0， 解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）； 所以，原方程的根是x1=2，x2=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键． 题型10：程序流程图 【典例24】．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程． （1）根据题意运算法则计算即可求解； （2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可． 【解析】解：（1）把代入中，， 再把代入中，求得； 经检验是原方程的解， 故答案为：； （2）设这个数为，依题意得， 整理得， 解得（舍去），， 故答案为：． 题型11：新定义题 【典例25】．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【解析】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 【典例26】．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（    ） A．13 B．10 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由已知数列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入计算可得． 【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n， ∴a945、ai、a1166， 则a9+a11﹣ai＝83， 可得：45+6683， 解得：i＝7，（负根舍去） 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n， 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用因式分解法求解即可． 【解析】解： x(x+1)=0， 所以x=0或x+1=0， 解得：x1=0，x2=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键． 2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ） A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5 【答案】B 【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【解析】解：x（x﹣2）＝3x， x（x﹣2）﹣3x＝0， x（x﹣2﹣3）＝0， x＝0，x﹣2﹣3＝0， x1＝0，x2＝5， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键. 3．下列方程能用因式分解法求解的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【解析】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键． 4．一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ． 【解析】解：， ， 或， 所以，． 故选． 【点睛】本题考查了解一元二次方程---因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） ． 5．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（    ） A．0 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0． 【解析】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0， 解得：m=1或m=2， 又m-1≠0，即m≠1， ∴m=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件． 6．如果能分解成的形式，则方程的两根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】令，即可求出方程的解． 【解析】根据题意得：，得x1＝-1，x2＝-4， 故方程的解为，， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】把方程整理成，然后因式分解求解即可. 【解析】解：把方程整理成即 ∴或 解得：， 故选D. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，本题涉及的解法有分解因式法，此方法的步骤为：把方程右边通过移项化为0，方程左边利用提公因式法，式子相乘法，公式法以及分组分解法分解因式，然后根据两数积为0，两数中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的解． 8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（    ） A．19 B．11或19 C．13 D．11 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解析】解：∵x2-12x+20=0， ∴x=2或x=10， 当x=2时， ∵2+4＞5， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长为2+4+5=11， 当x=10时， ∵4+5＜10， ∴不能组成三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 9．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解析】解：①解方程 （x-2）（x+1）=0， ∴x-2=0或x+1=0， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵pq=2，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题 11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为 ． 【答案】x1=5，x2=1 【分析】先移项得到x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0， （x﹣5）（x﹣1）=0， x﹣5=0或x﹣1=0， 所以x1=5，x2=1． 故填x1=5，x2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： （1）4x2+16x=5，应选用 法； （2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用 法； （3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用 法． 【答案】 配方 因式分解 公式 【解析】（1）原方程可用配方法配成完全平方式来求解， 即4x2+16x=5 (x+2)2= x=﹣2± （2）有公因数可以提出，所以用因式分解法来求解； 即2(x+2)(x﹣1)=(x+2)(x+4) (x+2)(x﹣6)=0 x1=﹣2，x2=6 （3）不具备配方和因式分解的特点，用求根公式来求解， △＝9+24=33， x＝ 故答案为配方；因式分解；公式． 13．方程的根为 ． 【答案】或/x=4或x=2 【分析】将方程右边提出，之后整体移至左边，再将左边因式分解即可得． 【解析】解： ， 移项，得：， 将左边因式分解，得：， 即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法． 14．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ． 【答案】 【分析】根据因式分解法进行求解一元二次方程即可． 【解析】解：1+22x-3x2＝25 解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 15．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【解析】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 16．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】10或11 【解析】试题解析： （x-3）（x-4）=0， x-3=0或x-4=0， 所以x1=3，x2=4， 当3为腰时，底边为4，三角形的周长=3+3+4=10； 当腰为4，底边为3时，三角形的周长=4+4+3=11． 17．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【解析】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 18．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 ． 【答案】或1 【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可． 【解析】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0， ∴， 又由题意得：， ∴ 解得： ∴， ∴，， ∴由求根公式得：， 则原方程所有的解为： 或1， 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值． 三、解答题 19．用因式分解法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴． （2）解： ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20．解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【解析】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 21．用因式分解法解下列方程： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1);(2);(3);(4). 【分析】(1)原式用提取公因式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (2)原式用平方差公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (3)原式用完全平方公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (4) 原式用平方差公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答    . 【解析】解：(1)原方程可化为 ∴， ∴或， ∴. (2)原方程可化为， ∴， ∴， ∴或，∴. (3)原方程可化为，∴，∴. (4)原方程可变形为，∴， ∴， 即， ∴或， ∴. 【点睛】本题考查了用提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键, 22．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【解析】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 23．按要求解方程： (1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2； (2)配方法：2x2-7x-4=0； (3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0； (4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）； (5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ； (6)用配方法求最值：6x2-x-12． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)时，有最小值 【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可； （3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可； （4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）将原式进行配方变形即可得出答案． 【解析】（1）解：4（t-3）2=9（2t-3）2 开方得：， ∴或， ∴； （2）解：2x2-7x-4=0 方程两边同时除以2得： ， ， ， ， ， ∴； （3）解：3x2+5（2x+1）=0， 方程整理为一般式为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：3（x-5）2=2（5-x） 方程变形为：， ∴， ∴， ∴； （5）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0 ， ∵， ∴， ∴； （6）解：6x2-x-12， ∴当时，原式有最小值． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解此题的关键． 24．以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程. 【答案】错误，见解析 【分析】 利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误． 【解析】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为： 移项得，， 利用因式分解法整理：， 解得：或， 所以或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 25．已知，求的值． 【答案】3 【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可． 【解析】解：令，则原等式可化为： ， 解得：， ， ，即． 的值为3． 【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键． 26．阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 【答案】原方程的解是 ， 【分析】当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解． 【解析】解： ． （1）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． 故原方程的解是 ， ． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及绝对值的性质，分类讨论思想是本题的关键． 27．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； (2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 (2)或 (3)时，的最大值为9 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【解析】（1）解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②， ∴， ， 是“差1方程”； （2）解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； （3）解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型． 28．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【解析】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； （2）解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 29．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）设2x2+2y2=m，则原方程变为（m+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3； （2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x（x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y，则原方程变为y（y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x的值即可. 【解析】解：（1）设，则， ∴，即，∴， ∵，∴， ∴． （2）设最小数为x，则， 即：， 设，则， ∴，， ∵，∴， ∴，（舍去）， ∴这四个整数为2，3，4，5． 【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（十一大题型） 学习目标 1、理解并掌握用因式分解法解方程的依据. 2、会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3、掌握因式分解法的应用 一、情境导入，初步认识 我们知道如果ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x-1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x+5）=0的解吗？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程 x2-3x=0 可用因式分解法求解 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 即x1=0， x2=3 与公式法相比，哪种更简单？ 【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解下列方程； (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1)； (3)(35-2x)2-900=0. 3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程. 【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程. 三、常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【方法规律】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【即学即练3】用因式分解法解下列方程： (1) ； (2) ； (3)． 【即学即练4】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】方程的解是（　　） A． B． C． D． 【即学即练6】三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为 ． 题型1：因式分解法解一元二次方程 【典例1】．方程的根为(   ) A． B． C． D．或 【典例2】．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【典例3】．解下列方程 (1) (2) 【典例4】．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【典例5】．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【典例6】．一元二次方程的根是 ． 题型2：因式分解法解一元二次方程易错题 【典例7】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 题型3：分析解答过程 【典例9】．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【典例10】．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 题型4：解“看错题” 【典例11】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 题型5：因式分解法解一元二次方程的代数应用 【典例12】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【典例13】．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【典例14】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（  ） A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2 题型6：因式分解法解一元二次方程的几何应用 【典例15】．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（     ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【典例16】．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【典例17】．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 题型7：因式分解法解一元二次方程与二次根式问题 【典例18】．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【典例19】．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 题型8：换元法 【典例20】．已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【典例21】．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016． 题型9：分类讨论 【典例22】．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【典例23】．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型10：程序流程图 【典例24】．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 题型11：新定义题 【典例25】．对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【典例26】．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（    ） A．13 B．10 C．8 D．7 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ） A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5 3．下列方程能用因式分解法求解的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 5．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（    ） A．0 B．1或2 C．1 D．2 6．如果能分解成的形式，则方程的两根为（ ） A．， B．， C．， D．， 7．一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（    ） A．19 B．11或19 C．13 D．11 9．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为 ． 12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： （1）4x2+16x=5，应选用 法； （2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用 法； （3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用 法． 13．方程的根为 ． 14．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ． 15．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 16．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 17．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 18．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 ． 三、解答题 19．用因式分解法解下列方程． (1)； (2)． 20．解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 21．用因式分解法解下列方程： (1)； (2) ； (3)； (4). 22．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 23．按要求解方程： (1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2； (2)配方法：2x2-7x-4=0； (3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0； (4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）； (5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ； (6)用配方法求最值：6x2-x-12． 24．以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程. 25．已知，求的值． 26．阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 27．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； (2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 28．已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 29．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$