第二十四章圆 单元提升测试卷2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学上册第二十四章圆 单元提升测试卷 一、单选题 1.如图,A,B,C为上的三个点.,,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,弦BD平分∠ABC,则下列结论错误的是 A.AD=DC B. C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA 3.如图,在中,,,,以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,则的长为( ) A. B. C. D. 4.正n边形每一个内角都等于120 ,则n=( ) A.9 B.8 C.7 D.6 5.在半径为 的圆中, 的圆心角所对的弧长为( ) A. B. C. D. 6.已知两圆外切,圆心距为5cm,若其中一个圆的半径是3cm,则另一个圆的半径是( ) A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 7.如图,与的两边分别相切,其中OA边与相切于点P.若,,则OC的长为( ) A.8 B. C. D. 8.如图,AB是⊙D的直径,AD切⊙D于点A,EC=CB.则下列结论:①BA⊥DA; ②OC∥AE;③∠COE=2∠CAE;④OD⊥AC.一定正确的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.用反证法证明“若 ,则 ”时应假设( ) A. B. C. D. 10.以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=﹣x+b与⊙O相交,则b的取值范围是( ) A.0≤b<2 B.﹣2 C.﹣2 2 D.﹣2 <b<2 二、填空题 11.如图,圆内接四边形ABCD中,∠ADC=60 ,则∠ABC的度数是 . 12.如图,在直角坐标系中, 的圆心A的坐标为 ,半径为1,点P为直线 上的动点,过点P作 的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是 . 13.如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70 ,则∠C的大小为 (度). 14.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,BD平分∠ABC.若AB=3,BC=4,则BD的长为 . 三、解答题 15.如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)、B(,0),与y轴的正半轴交于点C. (1)求二次函数的表达式; (2)点D是线段OB上一动点,过点D作y轴的平行线,与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF,探究是否存在点D使得 CEF为直角三角形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点P在二次函数图象上,是否存在以P为圆心,为半径的圆与直线BC相切,若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 16.如图,在A地往北60m的B处有一幢房,西80m的C处有一变电设施,在BC的中点D处有古建筑.因施工需要在A处进行一次爆破,为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏,问爆破影响面的半径应控制在什么范围内? 17.已知:如图,在 中, ,以 为边向形外作等边三角形 ,把 绕着点D按顺时针方向旋转 后得到 ,若 , ,求 的度数与 的长. 18.如图,AB是半圆的直径,0是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC的中点,0D交弦AC于E,连接BE.若AC=8,DE=2,求BE的长度. 四、综合题 19. (1)学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.例如:已知,如图1,在ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,D是ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC= .(直接写答案) (2)问题解决:如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,∠BDC=25 ,求∠BAC的度数; (3)问题拓展:如图3,在ABC中,∠BAC=45 ,AD是BC边上的高,且BD=4,CD=2,求AD的长. 20.在 ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过点D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F. (1)如图①,求证直线DE是⊙O的切线; (2)如图②,作DG⊥AB于H,交⊙O于G,若AB=5,AC=8,求DG的长. 21.数学活动﹣旋转变换 (1)如图①,在 ABC中,∠ABC=130 ,将 ABC绕点C逆时针旋转50 ,得到 A′B′C,连接BB′,求∠A′B′B的大小; (2)如图②,在 ABC中,∠ABC=150 ,AB=3,BC=5,将 ABC绕点C逆时针旋转60 得到 A′B′C,连接BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆. ( )猜想:直线BB′与⊙A′的位置关系,并证明你的结论; ( )连接A′B,求线段A′B的长度. 22.如图,点D是半径为R的⊙O上一点. (1)若∠A=∠C=30 ,求证:直线CD与⊙O相切; (2)已知直线CD与⊙O相切,下列条件:①AD=CD;②∠A=30 ;③∠ADC=120 ;④DC= R.其中能得出BC=R的是哪几个?并给出你认为能得出的第一个(按编号顺序)的说理过程. 23.如图, 为 的直径,点 是 上一动点,过点 作 的切线,连接 并延长,交过点 的切线于点 ,点 是 的中点,连接 , . (1)求证: 是 切线; (2)当 度时,四边形 为正方形; (3)连接 交 于点 ,连接 ,若 , 时,四边形 为菱形. 答案解析部分 1.【答案】B 2.【答案】D 【解析】【解答】∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∴ ,AD=DC,故A、B正确; ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90 ,故C正确; ∵ ,∴∠DAB>∠CBA,故D错误。 故答案为:D。 【分析】根据角的平分线定理得出∠DBC=∠ABD,根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等得出 ,AD=DC,故A、B正确;根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=∠ACB=90 ,故C正确,从而得出答案。 3.【答案】C 4.【答案】D 【解析】【解答】解:由题意得这个正多边形的外角为180 -120 =60 , ∴, 故答案为:D 【分析】根据正多边形的外角结合题意进行计算即可求解。 5.【答案】D 【解析】【解答】解:90 的圆心角所对的弧长 , 故答案为:D. 【分析】利用弧长公式代入计算即可。 6.【答案】D 【解析】【解答】解:另一个圆的半径=5﹣3=2cm. 故选D. 【分析】根据两圆外切时圆心距等于两圆的半径的和,即可求解. 7.【答案】C 【解析】【解答】解:如图所示,连接CP, ∵OA,OB都是圆C的切线,∠AOB=90 ,P为切点, ∴∠CPO=90 ,∠COP=45 , ∴∠PCO=∠COP=45 , ∴CP=OP=4, ∴, 故答案为:C. 【分析】连接CP,根据且切线长定理可得∠PCO=∠COP=45 ,再利用勾股定理可得。 8.【答案】B 【解析】【解答】解:①∵AB是⊙D的直径,AD切⊙D于点A, ∴AD⊥AB; 故①正确; ②∵EC=CB, ∴ = , ∴ = , ∴∠COB=∠EAB, ∴OC∥AE; 故②正确; ③∵O是圆心, ∴∠COE=2∠CAE; 故③正确; ④∵点E不一定是AC的中点, ∴OE与AC不一定垂直, 故④不正确; 正确的有①②③, 故选B. 【分析】①根据切线的性质得出AD⊥AB;②由弦相等可知所对的弧相等,则 = ,所以∠COB=∠EAB,OC∥AE;③在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍;④因为E不是弧AC的中点,所以OD与AC不垂直. 9.【答案】A 【解析】【解答】用反证法证明“若 ,则 ”时应假设结论不成立 即 故答案为:A. 【分析】根据反证法的一般步骤:先假设结论不成立即可得. 10.【答案】D 【解析】【解答】解: 当直线y=﹣x+b与圆相切,且函数经过一、二、四象限时,如图. 在y=﹣x+b中,令x=0时,y=b,则与y轴的交点是(0,b), 当y=0时,x=b,则A的交点是(b,0), 则OA=OB,即 OAB是等腰直角三角形. 连接圆心O和切点C.则OC=2. 则OB= OC=2 .即b=2 ; 同理,当直线y=﹣x+b与圆相切,且函数经过二、三、四象限时,b=﹣2 . 则若直线y=﹣x+b与⊙O相交,则b的取值范围是﹣2 <b<2 . 故答案为:D. 【分析】求出直线y=-x+b与圆相切,且函数经过的象限分别求出此时b的值,则相交时b的值在相切时的两个b的值之间. 11.【答案】 【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180 , ∵∠ADC=60 , ∴∠ABC=180 -∠ADC=180 -60 =120 . 故答案为:120 . 【分析】根据圆内接四边形对角互补进行解答即可. 12.【答案】2 【解析】【解答】解:如图,作 直线 ,垂足为P,作 的切线PQ,切点为Q,此时切线长PQ最小, 的坐标为 , 设直线与x轴,y轴分别交于C,B, , , , , , , 在 与 中, , ≌ , , . ,此时PA最小,所以此时切线长PQ也最小,最小值为 . 【分析】如图,作 直线 ,垂足为P,作 的切线PQ,切点为Q,在图中根据沟谷定理计算得到BC的长度,根据三角形全等的判定定理得到AP和OB的长度,根据勾股定理得到PQ的值,得到答案。 13.【答案】55. 【解析】【解答】解:连接OA,OB, ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B, ∴OA⊥PA,OB⊥PB, 即∠PAO=∠PBO=90 , ∴∠AOB=360 ﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360 ﹣90 ﹣70 ﹣90 =110 , ∴∠C= ∠AOB=55 . 故答案为:55. 【分析】根据切线的性质求出∠AOB的度数,根据圆周角和圆心角的关系求出∠C的度数. 14.【答案】 【解析】【解答】解:过点C作CH⊥BD交BD于点H,如图, ∵ AC是 ⊙O的直径 , ∴ ∠ABC=∠ADC=90 , ∵ AB=3,BC=4, ∴ AC==5, ∵ BD平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD=45 , ∴ AD=CD, ∴ AD2+CD2=AC2, 则AD=CD=, ∵ CH⊥BD, ∴ ∠CHB=90 , ∵ ∠CBD=45 , ∴ BH=CH, ∴ 在Rt BCH中,由勾股定理得, BH2+CH2=BC2, ∴ BH=CH=, ∴ 在Rt CDH中,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2, ∴ DH=, ∴ BD=BH+DH=+=. 故答案为:. 【分析】根据圆周角定理得 ∠ABC=∠ADC=90 ,根据勾股定理得圆的直径AC=5,根据角平分线的定义得 ∠ABD=∠CBD=45 ,再利用垂径定理的推论得 AD=CD,根据勾股定理得CD,BH,DH,最终求得BD=BH+DH. 15.【答案】(1) (2)存在,点D坐标为(-2,0)或(-1,0) (3)存在,点P坐标为(-1,4)或(-2,3)或()或() 16.【答案】解:连接AD, ∵AB=60,AC=80, ∴BC= = =100. ∵D是BC的中点, ∴AD=50. 为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏,半径必须比AB、AC、AD的长都小,所以半径应控制在50m内. 【解析】【分析】先用勾股定理求出BC的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半,得到AD的长,为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏,半径必须比AB、AC、AD的长都小. 17.【答案】解:∵ 的 ,以 为边向形外作等边 , ∴ . ∴A,B,D,C四点共圆, ∴ , , 又∵ , ∴ , ∴ ,即A,C,E共线. ∵把 绕D点按顺时针方向旋转 到 位置且 , ∴ , ∴ . 【解析】【分析】只要证明A、B、D、C四点共圆,即可推出∠BAD=∠BCD =60 ,然后证明A、C、E三点共线,根据旋转的性质,推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5. 18.【答案】解:如图,连接BC D是弧AC的中点 OD垂直平分AC EA=EC= 设OD=OA=x,则OE=x-2, 即 ,解得x=5 AB=2OA=10 答:BE的长度为 【解析】【分析】连接BC,由垂径定理得EA=EC=AC,且OD 垂直AC;在直角三角形AOE中,用勾股定理可求得OA的长,在直角三角形ABC中,用勾股定理可求得BC的长,同理可求得BE的长。 19.【答案】(1)45 (2)解:如图,取的中点O,连接、. ,点O为的中点, ∴ 点A、B、C、D在以点O为圆心,长为半径的圆上, ∵ , , ; (3)解:如图,作的外接圆,过圆心O作于点E,作于点F,连接、、. , , ∵,, ∴, 在中,, 又∵, . ∵,,, , ,, ∵在中,,, , . 【解析】【解答】解:(1)如图,,, 点B、C、D在以点A为圆心,长为半径的圆上, 是所对的圆心角,而是所对的圆周角, 故答案为:; 【分析】 学习心得: 由题意可得点B、C、D在以点A为圆心,AB长为半径的圆上,根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC,据此计算; 问题解决:取BD的中点O,连接AO、CO,则OA=OB=OC=OD=BD,根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC,据此解答; 问题拓展:作 ABC的外接圆,过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA、OB、OC,根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=90 ,易得BC=BD+CD=6,在Rt BOC,根据勾股定理可得BO,根据等腰三角形的性质可得OE=BE=BC=3,则OF=DE=BD-BE=1,DF=OE=3,在Rt AOF中,根据勾股定理求出AF,然后根据AD=DF+AF进行计算. 20.【答案】(1)证明:连接OD,如图, ∵AB=BC, ∴∠A=∠C. ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO. ∴∠C=∠ADO. ∴OD∥BC. ∵DF⊥BC, ∴∠ODE=90 . ∴直线DE是⊙O的切线; (2)解:连接DB, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 . ∵AB=BC, ∴AD=DC. ∵AC=8, ∴AD=4. 在Rt ADB中,BD= = =3, ∵DG⊥AB于H, 由三角形面积公式,得AB•DH=AD•DB. ∴DH= = , ∵AB⊥DG, ∴DG=2DH= 【解析】【分析】( )连接OD,由AB=BC,OA=OD,得到∠A=∠C,∠A=∠ADO,则∠C=∠ADO,得到OD∥BC;而DF⊥BC,则∠ODE=90 ,根据切线的判定定理即可得到结论;( )连接BD,AB是⊙O的直径,根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90 .而AB=BC,则AD=DC=4.在Rt ADB中,利用勾股定理可计算出BD=3,再利用等积法得到AB•DH=AD•DB,可计算出DH,然后根据垂径定理得到DG=2DH. 21.【答案】(1)解:由旋转变换的性质可知,∠A′B′C=∠ABC=130 ,∠BCB′=50 ,CB=CB′, ∴∠CB′B=65 , ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=65 (2)解:( )直线BB′与⊙A′相切, ∵∠A′B′C=∠ABC=150 ,∠BCB′=60 ,CB=CB′, ∴∠CB′B=60 , ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠CB′B=90 , ∴直线BB′与⊙A′相切; ( )在Rt A′B′B中,∠A′B′B=90 ,BB′=BC=5,AB′=AB=3, 由勾股定理得,A′B= = 【解析】【分析】(1)根据旋转变换的性质得到∠A′B′C=∠ABC=130 ,∠BCB′=50 ,CB=CB′,根据等腰三角形的性质求出∠A′B′B的大小;(2)( )根据旋转变换的性质求出∠A′B′B=90 ,根据切线的判定定理证明;( )根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可. 22.【答案】(1)证明:连接OD;如图所示: ∵∠A=∠C=30 , ∴∠ADC=120 , ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A=30 , ∴∠ODC=120 ﹣30 =90 , ∴直线CD与⊙O相切; (2)解:能得出BC=R的是①②③④; ∵AD=CD,OA=OD, ∴∠A=∠C,∠A=∠ODA, ∴∠A=∠C=∠ODA, ∴∠DOC=∠A+∠ODA=2∠C, ∵CD是⊙O的切线, ∴∠ODC=90 , ∴∠DOC+∠C=90 , ∴3∠C=90 , ∴∠C=30 , ∴OC=2OD, ∴BC=OD=R 【解析】【分析】 (1)连接OD;由∠A=∠C=30 ,证出∠ODC=90 ,即可证明直线CD与 O相切; (2)由AD=CD,OA=OD,得出∠A=∠C=∠ODA,再由CD是 O的切线,得出∠ODC=90 ,即可证出∠C=30 ,得出BC=OD=R. 23.【答案】(1)证明:连接 , ∵ 是 的直径, ∴ , ∵在 中,点 是 的中点, ∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , 即 . 又∵ 是 的切线, ∴ , ∵点 在 上, ∴ 是 的切线 (2)45 (3)4 【解析】【解答】(2)当 45度时, OA=OD, 四边形 为矩形; 四边形 为正方形; ( 3 )若四边形 为菱形,则 是等边三角形, 【分析】(1)根据圆周角定理可得 ,根据直角三角形的性质得到 , ,根据 ,得到 , 证明 .即可证明.(2)当 45度时,首先证明四边形 为矩形,根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可证明.(3)若四边形 为菱形,则 是等边三角形,根据三角函数即可求解. 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $$