2.3.1抛物线及其标准方程（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

2.3.1抛物线及其标准方程 题型一：抛物线的定义 1．抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 2．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 3．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 4．已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 题型二：根据抛物线求焦点或准线 1．若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线焦点与准线方程的关系计算即可. 【详解】由题意知，抛物线的方程为，故其焦点坐标为. 故选：C. 2．已知抛物线C的方程为   则此抛物线的焦点坐标为（    ） A．(-4,0) B． C．(-2,0) D． 【答案】A 【分析】由抛物线的几何性质求解． 【详解】依题意得：，则此抛物线的焦点坐标为：， 故选：A 3．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 4．已知圆与抛物线的准线交于，两点，若，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线的准线方程，直线与圆相交弦长公式可得. 【详解】由抛物线的准线为， 圆的圆心为，半径， 则圆心到准线的距离， 则， 解得， 故答案为：. 题型三：抛物线方程的四种形式和位置关系 1．已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得. 故选：. 2．（多选）已知曲线，则下列说法错误的是（    ）. A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是椭圆 C．若，则曲线C是双曲线 D．曲线C可以是抛物线 【答案】ABD 【分析】，，则曲线C不存在，即可判断选项A，B；时，曲线C是双曲线，故C正确；无论为何值，曲线C不可能是抛物线即可判断选项D. 【详解】对于A，若，则曲线C不存在，错误； 对于B，若，，时，则曲线C不存在，错误； 对于C，若，，，或，，则曲线C是双曲线，正确； 对于D，抛物线的方程是或，与曲线C形式不一致，错误. 故选：ABD. 3．（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程. 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 4．已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为 ． 【答案】（任意一个均可以） 【分析】解题时写出切线方程，再求出抛物线方程即可． 【详解】与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有， 对应的抛物线方程有： 故答案为：（任意一个均可以） 题型四：抛物线的焦半径公式 1．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 2．（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意假设出抛物线方程，再利用点在抛物线上与焦半径公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 3．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】设，，根据抛物的定义表示出，，再根据三角形相似得到，即可求出. 【详解】设，，抛物线的焦点为，准线为， 因为，，根据抛物线的定义可得，， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则，所以， 所以，即，解得． 故答案为：． 4．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】代入焦半径公式，即可求解. 【详解】抛物线方程化为，焦点坐标为，准线方程为， 设点的纵坐标为 则，即. 故答案为： 题型五：求抛物线的轨迹方程 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 2．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【详解】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 4．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【分析】设动圆圆心，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程． 【详解】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得， 化简得， 所以曲线C的方程为． 题型六：抛物线上的点到定点的距离及最值 1．记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 3．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    4．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【答案】(1) (2)，最小距离为. 【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【详解】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 题型七：根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 2．（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D． 【详解】双曲线的焦点为，，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确； 对于D，抛物线的焦点为，点在上， 则，故或， 所以点到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 3．已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义即可求得的值，再代入点求解即可． 【详解】依题意可得抛物线的焦点为，准线为， 又点在上，则，解得， 则抛物线的方程为， 所以，解得 故答案为：． 4．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为， 因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得， 解得或（舍去），故实数的值为． 故答案为：. 题型八：求实际问题中抛物线的标准方程 1．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 2．一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】 建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 4．如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 【答案】４米 【分析】建立如图的平面直角坐标系，抛物线的方程是标准方程，由已知求得抛物线方程即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且， 由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，， ∴水面宽度为 故答案为：４米． 1．等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（    ） A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的性质分析即可. 【详解】为等腰三角形且为底边，点在的中垂线上． 又为的中点时不能构成三角形，点的轨迹应是一条直线去掉一点． 故选：B 2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解. 【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 3．己知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴于点，设点的横坐标为，利用抛物线的定义得到，在中，利用余弦和二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】解：过作轴于点，设点的横坐标为， 抛物线，则焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义得， 在中， ， ． 故选：D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的交点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可． 【详解】已知拋物线的方程为，可得． 所以焦点为，准线为：． 抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 即， 又∵A到x轴的距离为， 由已知得，解得． 故选：D． 5．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 6．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】B 【分析】利用坐标互换一一判定选项即可. 【详解】曲线的方程为， 将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称； 将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称； 将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称； 将换为换为，原方程变为， 所以曲线不关于直线对称． 故选:B． 7．已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 8．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，联立方程组求得点的坐标，结合抛物线的定义和余弦定理，即可求解. 【详解】由，可得，即， 联立方程组，解得或，所以A正确，B不正确； 又由抛物线的定义，可得，所以C正确； 在中，可得， 由余弦定理得，所以D错误． 故选：AC.    10．（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由焦点的坐标即可判断AB，结合抛物线的定义，即可判断C，由平面向量的坐标运算，结合韦达定理即可判断D 【详解】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则 ，故D错误； 故选：AC. 11．（多选）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】BD 【分析】联立方程组，结合根与系数关系应用求参. 【详解】设, 由题意得 , 得,, 解得或. 故选：BD. 12．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 13．已知双曲线的右支与焦点的抛物线交于，两点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，，由抛物线焦半径公式得到，故，联立抛物线与双曲线方程，由韦达定理得到，从而得到，进而求出离心率. 【详解】设，， 由抛物线得定义可得： ， 又由，所以. 联立方程组可得，可得. 所以，可得，解得 所以. 故答案为：. 14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 15．分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点平行于轴的直线上的点与方程之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于10的点与方程之间的关系． 【答案】(1)不是过点平行于轴的直线的方程 (2)与两坐标轴的距离的积等于10的点的轨迹方程不是 【分析】根据曲线上的点与方程的关系结合反例一一判定即可. 【详解】（1）易知过点平行于轴的直线为， 显然上的点的坐标都是方程的解； 而以方程的解为坐标的点满足方程，方程与不同， 比如满足，但不在过点平行于轴的直线上， 因此，不是过点平行于轴的直线的方程． （2）设到两坐标轴的距离的积等于10， 则P到两坐标轴的距离的积等于， 显然到两坐标轴的距离的积等于10的点的坐标不一定满足方程； 比如点与两坐标轴的距离的积等于10，不满足， 但以方程的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于10． 因此，与两坐标轴的距离的积等于10的点的轨迹方程不是． 16．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． ( 1 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(2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 题型二：根据抛物线求焦点或准线 1．若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线C的方程为   则此抛物线的焦点坐标为（    ） A．(-4,0) B． C．(-2,0) D． 3．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知圆与抛物线的准线交于，两点，若，则 . 题型三：抛物线方程的四种形式和位置关系 1．已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（多选）已知曲线，则下列说法错误的是（    ）. A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是椭圆 C．若，则曲线C是双曲线 D．曲线C可以是抛物线 3．（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为 ． 题型四：抛物线的焦半径公式 1．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 2．（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ． 4．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为 ． 题型五：求抛物线的轨迹方程 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 4．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 题型六：抛物线上的点到定点的距离及最值 1．记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 3．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 4．已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 题型七：根据抛物线的方程求参数 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 2．（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 3．已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 4．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 题型八：求实际问题中抛物线的标准方程 1．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 2．一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 1．等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（    ） A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．己知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 7．已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 8．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 13．已知双曲线的右支与焦点的抛物线交于，两点，若，则双曲线的离心率为 . 14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 15．分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点平行于轴的直线上的点与方程之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于10的点与方程之间的关系． 16．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$