11.2 锥体（第2课时）（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

11.2锥体（第2课时） 题型1：圆锥的表面积 1．圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以 为半径的扇形，扇形的弧长就等于 ，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角 （弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积 ，表面积 ．    2．一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． 4．平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ． 5．半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面积为 ． 6．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 题型2：圆锥的体积 7．已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是 . 8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 9．已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 10．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为 . 题型3：棱锥的表面积 11．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 . 12．正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是 ，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积 ，表面积 ． 13．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 14．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 15．在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为 ． 16．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 题型4：棱锥的体积 17．正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 18．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此三棱锥的体积是 ． 19．正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为a，则它的体积为 ． 20．以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ． 21．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 题型5：台体的表面积和体积 22．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 23．底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 24．已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 25．已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知圆台为上底面圆的一条直径，且是下底面圆的一条弦，，矩形的面积等于，则该圆台的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 27．如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 题型6：比值问题 28．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 29．设为正四棱台下底面的中心，且．记四棱锥和的体积分别为，则 ． 30．过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为 . 31．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 题型7：生活情景、传统文化等的应用 32．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（    ）. A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 33．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛. 34．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 题型8：最值、取值范围问题 35．如图，在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为 . 36．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 37．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝ ，此时三棱锥的体积为 ． 38．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 ． 一、填空题 1．正方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积的水，已知，若将该密封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则的取值范围为 . 2．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 3．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围 . 4．如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    5．如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：    ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有 . 二、单选题 6．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 7．已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 三、解答题 8．在菱形中，已知，.是对角线上一点，沿把菱形折成二面角，将折成二面角后的点记作，设，点在平面上的射影记为.    (1)当是的中点时，如图1，求证平面； (2)当落在菱形的边上时，如图2，求二面角的取值范围； (3)设折痕与菱形的边交于点，求四棱锥体积的最大值（说明：可以用到必修一探究实践活动中得到的不等式）. 9．如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2锥体（第2课时） 题型1：圆锥的表面积 1．圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以 为半径的扇形，扇形的弧长就等于 ，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角 （弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积 ，表面积 ．    【答案】 圆锥母线l 圆锥底面的圆周长 【分析】略 【解析】略 2．一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得和，即可由圆锥的侧面积公式即可求解. 【解析】设圆锥的底面圆半径和母线分别为， 则，故， 又圆锥的母线与底面所成的角的大小为，故, 所以， 故侧面积为， 故答案为： 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解. 【解析】设圆锥的母线长为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故答案为：. 4．平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ． 【答案】 【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比. 【解析】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L， 被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l， 因为 ，即有， 又因为，所以，即有，且， 而， 故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为. 故答案为： 5．半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积可得圆锥底面半径，进而确定底面积. 【解析】由圆锥的侧面为半径为，圆心角为的扇形， 则圆锥的底面周长即为侧面展开图扇形的弧长为， 即，底面半径， 所以底面积， 故答案为：. 6．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合图形及圆锥的性质可表示出的面积，进而可得底面圆的半径及圆锥的母线，然后根据圆锥的侧面积公式即得. 【解析】∵与圆锥底面所成角为，如图设为圆锥的底面圆的圆心，则垂直底面， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，，则， ∴，解得， ∴，即母线长， ∴该圆锥的侧面积为． 故答案为：. 题型2：圆锥的体积 7．已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是 . 【答案】 【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案. 【解析】记圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，， 故答案为：. 8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积. 【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：， 设圆锥的底面半径是r，高为， 则得到，解得：， 这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 9．已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意求出底面的半径和圆锥的高，再用圆锥的体积公式即可得解. 【解析】 如图，图为圆锥的轴截面示意图，由题意可得，， 所以底面半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 故答案为：. 10．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据轴截面可得，即可由体积公式求解. 【解析】如图：由于圆锥的轴截面顶角为120°，故, 又,所以, 故圆锥的体积为, 故答案为： 题型3：棱锥的表面积 11．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径，由圆锥的底面周长等于扇形的弧长可求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解即可. 【解析】设圆锥的底面半径为r，则，所以， 设圆锥的高为h，则， 所以该圆锥的体积为 故答案为：. 12．正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是 ，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积 ，表面积 ． 【答案】 全等的等腰三角形 【分析】略 【解析】略 13．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 【答案】 【分析】利用正四棱锥的性质，结合条件，求出斜高，即可求出结果.. 【解析】如图，，取的中点，连接，易知， 因为正四棱锥的底面边长为，高为，则，， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：. 14．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【解析】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 15．在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】由平面，可证得平面，从而，可知三棱锥的四个面均为直角三角形，从而可求表面积． 【解析】 因为平面，平面， 所以，，, 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以三棱锥的表面积为． 故答案为：. 16．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合正方体的几何特征，分别求得四棱锥的各个面的面积，即可求解. 【解析】由正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 可得矩形的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为， 中，因为，则边上的高为， 其面积为， 所以四棱锥的表面积为. 故答案为：. 题型4：棱锥的体积 17．正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】根据几何关系求四棱锥的高，再代入体积公式，即可求解. 【解析】作平面，点是底面正方形的中心， ，，则， 所以四棱锥的体积. 故答案为： 18．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此三棱锥的体积是 ． 【答案】 【分析】过做垂直平面，求出，代入三棱锥公式即可求解. 【解析】由题意知侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9， 所以，因为是等边三角形， 所以可得，，所以， . 故答案为： 【点睛】 19．正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为a，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件求出四棱锥的高，然后求解几何体的体积． 【解析】解：正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，底面边长为， 可得底面正方形的对角线的长度为：， 所以正四棱锥的高为：， 四棱锥的体积：． 故答案为：． 20．以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积. 【解析】根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥， 取底面中心，中点， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，则， 所以， 从而该多面体的体积为， 考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为. 故答案为：；. 21．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 【答案】/ 【分析】从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，最短路程为.本来是空间最值问题，利用展开图，转化为平面两点连线最短问题，即两点之间线段最短，即，再利用的长计算出对应的弧长，因为因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，进而算圆锥底面圆的半径，再算出面积，圆锥的高；带入圆锥的体积公式求出体积. 【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，从点P绕圆锥爬行一周后回到点P处，根据两点之间线段最短，爬行的最短路程为展开图中线段,即，已知圆锥形物体的母线长为3，即,在中，由余弦定理得， 又因为，所以，所以, 因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，所以,即. 又勾股定理得, 所以圆锥体积. 故答案为：               题型5：台体的表面积和体积 22．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】由棱台体积公式计算即可求解. 【解析】该正四棱台的体积为. 故答案为：. 23．底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，则所得棱台的体积为 ． 【答案】104 【分析】由题意求出原正四棱锥的高，利用棱锥的体积公式或者棱台的体积公式，即可求得答案. 【解析】由题意知截去的正四棱锥与原正四棱锥的底面边长的比， 而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为9， 所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. （或棱台的体积为）， 故答案为：104 24．已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，直接利用圆台的体积公式求解即可. 【解析】因为圆台上下底面半径分别为2 cm和5 cm，高为3 cm， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 25．已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出高和母线，再利用圆台的表面积公式求解即可. 【解析】 如图所示，过点作垂直于点，则， 设圆台的高为，因为过轴的横截面的面积为， 所以，解得， 所以在直角中，， 所以. 故选：A. 26．如图，已知圆台为上底面圆的一条直径，且是下底面圆的一条弦，，矩形的面积等于，则该圆台的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，取的中点，求得，设圆台的下底面圆的半径为，得到，且，在直角中，求得，取的中点，在直角中，求得母线，结合侧面积公式，即可求解. 【解析】因为矩形的面积等于，且， 可得，解得， 取的中点，连接，则， 设圆台的下底面圆的半径为，因为，为等边三角形， 因为，且为的中点，所以， 在直角中，可得， 取的中点，可得且， 在直角中，，可得， 所以该圆台的侧面积为. 故选：D.    27．如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【解析】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 题型6：比值问题 28．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用棱锥平行于底面的截面性质，把分别用底面面积表示即可得解. 【解析】如图，平行于锥体底面的截面与锥体的高，棱分别交于点， 显然平面平面，令截面面积为，锥体底面面积为 有，且与方向相同，则， 同理，于是∽，有， 而，则，由比例的性质可得， 此时，截得的锥体的体积与原锥体的体积有：， 当截面平分棱锥的高时，，即， 当截面平分棱锥的体积时，，则， 所以. 故答案为：. 29．设为正四棱台下底面的中心，且．记四棱锥和的体积分别为，则 ． 【答案】 【分析】由棱锥的体积公式求出四棱锥的体积，设正四棱台的体积为，由正四棱台的对称性可得四棱锥的体积，即可求出结果. 【解析】设四棱台上、下底面的边长分别为，高为， 则四棱锥的体积， 四棱台的体积． 由对称性可知四个侧面与点构成的四个四棱锥大小和形状完全相同， 所以四棱锥的体积．所以． 故答案为：. 30．过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，为的中点，为的中点，设的边长为，，即可表示出图形的面积，从而得到的表面积，三棱台的表面积，由表面积之比得到，再求出高，最后由锐角三角函数求解即可. 【解析】依题意过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面， 则为中点，为中点，为中点，设的边长为，， 则，，， 所以，， 所以三棱锥的表面积， 三棱台的表面积， 依题意，所以，取BC的中点D，则， 因为为正三棱锥的高，所以平面ABC，且， 则与底面所成角为，所以， 所以，故直线与底面所成角的正切值为. 故答案为： 31．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为PA的中点，所在平面截四棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为 ． 【答案】/0.6 【分析】作出平面截四棱锥所得截面，连接，借助比例法求出下部几何体的体积即可得解. 【解析】由四棱锥的底面ABCD为平行四边形，得，而平面， 平面，则平面，令平面平面，则， 又E为PA的中点，则与交点于，且是的中点，连接， 设四棱锥的体积为，则下面部分几何体的体积为， 显然，， 则，于是上面部分几何体的体积为， 所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为. 故答案为： 题型7：生活情景、传统文化等的应用 32．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（    ）. A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 【答案】C 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解. 【解析】如图所示为该圆锥轴截面, 由题意,底面圆半径,母线, 所以侧面积. 故选：C. 33．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛. 【答案】10 【分析】求出圆锥的底面半径，得到圆锥的体积，根据体积计算即可求解. 【解析】设圆锥的底面半径为尺，则，解得， 所以圆锥的体积为立方尺， 所以堆放的米约有斛. 故答案为：10 34．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求长度. 【解析】由题意，半径为，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，, 由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 上坡路段长度为. 故答案为： 题型8：最值、取值范围问题 35．如图，在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥的底面面积及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求出三棱锥体积的最大值. 【解析】过作，交于，过作平面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面，则， 所以二面角的平面角为， 则，，，， 则三棱锥的高， 三棱锥的底面面积， 所以 ，(其中) ， 故当时，三棱锥体积的最大值为， 故答案为： 36．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【解析】解：如图所示，设， 由正方体性质可知平面， 由于平面，，又因为线段的中点， 所以， 即点在平面内， 又因为，所以与点在以点为球心，1为半径的球面上， 又因为平面， 到平面的距离为的一半，由正方体的边长为1，则， 又，， 在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 到平面的距离的最小值为， 四棱锥体积的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：借助空间关系可知到线段两端点距离相等的点M在线段的中垂面上，又由到定点距离为1的点M又在球面上，从而得到点M的轨迹是中垂面截平面的小圆. 37．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝ ，此时三棱锥的体积为 ． 【答案】 / 【分析】作于点，连接，结合余弦定理表示出，即可得到当最短时的度数，再结合锥体的体积公式即可得到结果. 【解析】作于点，连接，设，则， 所以，在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 则， 当最短时，，所以， 即此时为的角平分线，， 且由角平分线定理可得，， 即，所以， 所以. 故答案为:；. 38．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解. 【解析】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱中，，三棱柱的高为，则三棱锥的体积为. 引理的证明如下： ，引理得证. 事实上上述引理等价于，若三棱锥满足，，异面直线所成夹角为，且异面直线之间的距离为，则三棱锥的体积为. 从而由上述引理有 ． 若，则，从而的取值范围是， 的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解. 一、填空题 1．正方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积的水，已知，若将该密封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案. 【解析】水量较少，水面恰好为正方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为正方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为. 故答案为：. 2．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】作出图形，，，,平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要解决三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来即可求解. 【解析】 由题意，，,平面与平面所成的角为， 作，平面，则该二面角的平面角为， 由题意得：， 因为，， 所以，， ， ， ， 当时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解. 3．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围 . 【答案】 【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到以为圆心2为半径的圆面上，再根据得到当在边上时四面体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围. 【解析】连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， ∵，由，，则； 所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，， 所以当在边上时，四面体的体积的最大值是. 所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时， 所以四面体的体积的最小值是，所以， 故答案为：. 【点睛】思路点睛： 求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式， 通常会有以下两种： ①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解； ②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）. 4．如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论： （1）三棱锥的体积为定值； （2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2； （3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段； （4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】（1）（3）（4） 【分析】由三棱锥的性质可得（1）；先证面面平行，找到点的轨迹为，再求长度即可判断（2）；证明即可判断（3）；利用等体积法求出球心到截面的距离，再求交线长度即可判断（4）. 【解析】   对于（1），以相同顶点命名的三棱锥体积相同，故三棱锥的体积等于的体积，因为点到上底面的距离等于棱长，故（1）正确； 对于（2），取的中点分别为，连接， 由图像可知，， 又因为， ，当点在上时， 因为正方体棱长为，的中点分别为 所以， 故（2）错误； 对于（3），以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 且，且都在平面内， 所以， 所以点的轨迹是线段，故（3）正确； 对于（4），为正三角形，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由等体积法，可得 解得， 故以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 故（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4） 【点睛】本题为立体几何压轴题，（1）直接求即可；（2）面面平行得到线面平行，再用勾股定理求长度；（3）为线面垂直找轨迹，（4）等体积法求交线的长度；分析量比较大，属于较难题型. 5．如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：    ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有 . 【答案】①③ 【分析】构造面面平行，寻找线面平行，可以判断①的对错；通过特殊位置，可以判断②是错误的；分析三棱锥的高是确定的，求底面积最大值，可得三棱锥体积的最大值，判断③的对错；根据公理，两个平面的交点在一条直线上，可得④是错误的. 【解析】对①：过作，交于，连接，则平面，因为点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确；    对②：当与重合，为中点时，，所以长度取值范围是是错误的； 对③：    因为直线平面，所以到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确； 对④，当，位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误. 故答案为：①③ 二、单选题 6．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积不是定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 【答案】D 【分析】判断当时，点在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，利用线面垂直的判定定理即可判断选项C；当时，取的中点，的中点，则点在线的上，证明当点在点处时，平面，利用过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D. 【解析】不影响题意，将题目所给正三棱柱的点和交换位置并旋转图形如下图所示： 对于A，当时，，即，所以， 故点在线段上，此时的周长为， 当点为的中点时，的周长为， 当点在点处时，的周长为， 故周长不为定值，故选项A错误； 对于B，当时，，即，所以， 故点在线段上， 又，面，面，则面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项B错误； C：当时，取线段，的中点分别为，，连结， 由，即，所以，则在线段上， 当在处时，，，又，则平面， 又平面，所以，即， 同理，当在处，，故C错误； 对于D，当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上， 当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 故平面，又平面，所以， 在正方体形中，， 又，，平面，所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的解决关键是，利用等体积法，结合线面平行的判定定理即可得解. 7．已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 【答案】D 【分析】作出图形，由几何知识可证为定值，点到平面的距离也为定值，从而求解. 【解析】连接，如图，则由题意知到为点到的距离，又因为为定值，故为定值， 又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面， 又由是棱上动点，故点到平面的距离也为定值，即四面体的底面积和高均为定值， 故四面体的体积为定值，故D正确. 故选：D.    三、解答题 8．在菱形中，已知，.是对角线上一点，沿把菱形折成二面角，将折成二面角后的点记作，设，点在平面上的射影记为.    (1)当是的中点时，如图1，求证平面； (2)当落在菱形的边上时，如图2，求二面角的取值范围； (3)设折痕与菱形的边交于点，求四棱锥体积的最大值（说明：可以用到必修一探究实践活动中得到的不等式）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由菱形的结构特征，通过线线垂直，证明线面垂直； （2）连接交于，就是二面角的平面角，表示出，由求的取值范围； （3）就是二面角的平面角，记，用表示出四棱锥的体积，利用基本不等式和三角函数的性质求最大值. 【解析】（1）菱形中，当是的中点时，，所以， 又，平面，所以平面. （2）若折叠后与点重合，， 与点重合，， 当落在菱形的边上时，， 连接交于，连接，    于是，就是二面角的平面角，记， 由题设菱形得，则，， ，所以， 由，得，则； （3）连接交于，连接，于是，    所以就是二面角的平面角，记， ，， 在中，，得， 四边形的面积 四棱锥的体积， ， 当且仅当，即时等号成立， 得，所以当时， 四棱锥体积的最大值. 【点睛】方法点睛： 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 9．如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． (1)求线段的长度； (2)若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，求出，，利用余弦定理求出答案； （2）作出辅助线，证明线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，显然，从而求出答案； （3）先求出四边形的面积，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【解析】（1）延长BC，ED相交于点F， 因为，所以， 故为等边三角形，所以， 因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得：， 所以； （2）由（1）知：，，， 所以， 由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE， 所以BC⊥平面ABE， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ， 因为AQ平面ABE， 所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形， 由三线合一得：AQ⊥BE， 因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE， 所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为. （3）延长BC，ED相交于点F， 由（1）（2）得：BF⊥BE，且为等边三角形， 故，， 故四边形的面积为， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 因为，，故只需使△ABE的面积最大， 由余弦定理得：， 故， 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立， △ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为， 该四棱锥的体积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$