山东省临沂市兰陵县第十中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度上学期兰陵十中高三数学开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，则 A． B． C． D． 4．已知函数满足：，则；当时，则（    ） A． B． C． D． 5．若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 6．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 10．已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（    ） A． B． C． D． 11．根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（    ） A． B． C．若声音强度由降到，需降为原来的 D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数为奇函数，则 ． 13．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 14．若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 16．（15分）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若的最小值为3，求的值． 17．（15分）已知函数的图象与函数的图象关于点对称． （1）求的解析式； （2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，. 19．（17分）设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． (1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由； (2)若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图像上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由； (3)若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年度上学期兰陵十中高三数学开学考试 数学试题参考答案 1．D【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2．C【详解】因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 3．B【详解】. ,即 又即故选：B. 4．A【详解】因为，所以， 而，时，， 所以.故选：A. 5．B【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6。故选：B 6．C【详解】解：由题意得： 是上的减函数解得： 故 a的取值范围是故选：C 7．C【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D. 又“心形”函数的最大值为1，且，排除A.故选：C. 8．D【详解】因为函数的图象和函数的图象有唯一交点，所以方程有唯一解，即有唯一解， 令，则在上有唯一零点， 因为， 所以为偶函数，因为在上有唯一零点，所以唯一的零点为， 所以，即，得，解得或， 故选：D 9．BC【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误. 选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确， 选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确， 选项D：令，即， 令，则令，则 当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，当时同样切线方程不为，故选项D错误.故选：BC. 10．BC【详解】因为是方程的实根，令，当时，，当时，，可得 对于A，因为，所以，则，A错误； 对于B，因为，所以，则，B正确； 对于C，. 因为，所以，C正确； 对于D，因为，所以，则，D错误；故选：BC. 11．AD【详解】由题意可知，，即，得，，即，得， ，即，得， 则，所以，与大小关系不确定，由此可知A正确，B错误； 因为，，所以，C错误； 当声音强度的等级为60dB时，有，即，得， 此时对应的强度. 当声音强度的等级为40dB时，有， 即，得，此时对应的强度， 所以60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确.故选：AD 12．【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，，此时， 故，所以.故答案为：. 13．3【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，其中，则，解得， 将代入切线方程，得，则，解得；故答案为：3 14．【详解】关于原点对称的解析式为. 的图像与的交点个数即为方程根的个数，即.设，于是 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值. 于是作出的图像如图所示. ，即时与有两个交点，原函数有两对“友情对点”.故实数的取值范围是 故答案为： 15．【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得，又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 16．【详解】（1）由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 故的定义域为． （2）因为和在定义域内单调递增，所以在定义域内单调递增， 当时，由（1）得的定义域为， ，即，满足条件； 当时，由得，的定义域为， ，即，满足条件． 综上，或． 17．【详解】（1）设图象上任一点坐标为， 点关于点的对称点在图象上． ．，即，． （2）， ，在上递减，在时恒成立， 即在时恒成立．时，， ，即 18．【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2=， 由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1 ∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． (2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4， ∴g′(x)＝2x-2--3=， ∵当x>2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4, 即当x>2时.. 19．【详解】（1），在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”；，，，，故不是上的“一阶有界函数”； （2）若函数为上的“一阶有界函数”，则，在上单调递增， ，，令，，在上单调递减， 设，，其中 ，故； 在上单调递增，，，故； （3）函数， 若为区间上的“一阶有界函数”，则， 其中，，，，，， 则．令，， 其中，，在区间上单调递增， 故在区间上单调递增， ，，所以存在， 使，，，，， 在区间单调递增，在区间单调递减， 即， 对称轴为， 在区间上单调递减，恒成立， ，故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$