江苏省常州市北郊高级中学2023-2024学年高二下学期5月阶段调研数学试卷

2023~2024学年第二学期5月阶段调研 高二数学试卷 (时间:120分钟 满分150分) 2024年5月 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.命题“”的否定为( ) A. B. C. D. 3.已知,,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数为偶函数,当时,,则的值为( ) A.3 B. C. D. 5.关于的一元二次不等式的解集为空集,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.对于直线和平面,下列命题中正确的是( ) A.如果,,是异面直线,那么 B.如果,,是异面直线,那么与相交 C.如果,,共面,那么 D.如果,,共面,那么 7.已知函数的导函数满足:对任意的都有,若,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.设随机变量,记,,下列说法正确的是( ) A.当k由0增大到n时,先增后减,当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B.如果为正整数,当且仅当时,取最大值 C.如果为非整数,当且仅当k取的整数部分时,取最大值 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知随机变量服从正态分布,若,则( ) A. B. C. D. 10.已知,且,则下列说法正确的是( ) A.有最小值4 B.有最小值 C.有最小值 D.的最小值为 11.我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件,除去顶部的环可 以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体; 如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且底面 边长均为2,若该几何体的所有顶点都在球的表面上, 则( ) A.正四棱柱和正四棱锥的高均为 B.正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为 C.球的表面积为 D.正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为,,则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.袋中有2个白球,1个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现2次时停止,设停止时共取了次球,则 . 13.已知函数,若,则的范围是 . 14.如图,在长方体中,,,E,F分别为棱AB,BC上一点,且,P是线段上一动点,当三棱锥的体积最大时,直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)若函数在区间上为单调递增函数,求实数的取值范围. 16.(本小题满分15分) 甲乙两人用两颗质地均匀的骰子(各面依次标有数字1,2,3,4,5,6的正方体)做游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数,则由原投掷人继续投掷,否则由对方接着投掷第一次由甲投掷. (1)求第二次仍由甲投掷的概率; (2)设游戏的前3次中乙投掷的次数为X,求随机变量X的分布列与期望. 17.(本小题满分15分) 如图,在三棱柱中,平面,点,分别在棱和棱上,且为棱中点. (1)求证:平面; (2)若,求二面角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数. (1)求的单调区间和极值; (2)若是函数的极值点, ①证明:; ②讨论在区间上的零点个数. 19.(本小题满分17分) 根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为: X 1 2 3 0 概率 其中,.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为,且相互独立,事件表示一个家庭有个孩子,事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如:一个家庭恰有一个男孩,则该家庭男孩多.) (1)若,求,并根据全概率公式,求; (2)为了调控未来人口结构,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等). ①若希望增大,如何调控p的值? ②是否存在p的值使得,请说明理由. 试卷第4页,共4页