精品解析：吉林省吉林市松花江中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

吉林松花江中学2023-2024学年度下学期高一月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的运算求出，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论． 【详解】， 则在复平面内对应的点为，在第一象限， 故选：A. 2. 下列说法正确的是 A. 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，原来x与轴平行的直线或线段仍与轴平行，原来与y轴平行的直线或线段仍与轴平行，且轴与轴夹角为或，平行于轴的线段长变为原来的一半，平行于轴的线段长不变． 【详解】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误．B项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误．C项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形．故C项错误．D项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形．故D项正确．选D 【点睛】本题主要考查斜二测画法的概念，属基础题． 3. 某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ） A. 84 B. 86 C. 89 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑，，时，计算平均数，排除不合题意情况，即可求得答案. 【详解】当时，，则不符合题意； 当时，，则不符合题意； 当时，，解得, 故选：C. 4. 已知矩形中，，，，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出向量的数量积. 【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系. 则, 由，则, 由，则 所以, 所以 故选：C 5. 要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________. 注：下面抽取了随机数表第1行至第5行. 03474373863696473661469863716233261680456011141095 97742467624281145720425332373227073607512451798973 16766227665650267107329079785313553858598897541410 12568599269696682731050372931557121014218826498176 55595635643854824622316243099006184432532383013030 【答案】227，665，650，267. 【解析】 【分析】找到第3行第6列的数2，每3个数组成一个数字，如果数字在001至850之间（包含001和850），即符合要求，从而找到前4个符合要求的数字即可. 【详解】从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，均符合题意. 故答案为：227，665，650，267. 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【详解】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以，故C正确； 故选：D. 7. 如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角, 取的中点O,连接,如图所示: 因为正三棱柱的所有棱长都为2, 所以所以, 同理可得:,所以, 又,所以, 所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角, 又,所以, 因为,所以, 故选:C． 8. 材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（    ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据材料一海伦公式写出面积，由二次函数性质求面积最大值即可. 【详解】令，则且，则，故， 而，所以面积， 当时，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算性质逐一检验即可. 【详解】A选项，，故，正确； B选项，即.故，正确； C选项，即z为纯虚数，故，不正确； D选项，∵，故，正确. 故选：ABD. 10. 某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，逐项判定即可求解． 【详解】对于A，因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，所以A正确； 对于B，个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，所以B错误； 对于C，因为，所以（辆），（辆），（辆），所以三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆，所以C正确； 对于D，分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故选项D正确． 故选：ACD． 11. 北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（ ） A. 中国队上场的10名球员存在都有得分的可能 B. 中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分 C. 中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数 D. 3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件，逐项推理，即可得到选项. 【详解】61-（19+18+14）=10，中国队除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球员存在都有得分的可能，A项正确； 中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17，则剩余7人最低得分为2分或最高得分为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，B项正确； 中国队上场的10名球员得分的平均数为，按照分数从小到大排序，则8到10位分数一定是14、18、19，要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13分，这与7人得到10分不符，显然不可能，故C项正确； 根据已知条件，上场的10名球员得分情况可能为：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数.D项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得试验的样本空间，结合““为整数”，即可求得所求事件中所包含的基本事件的个数，得到答案. 【详解】由题意，先后地掷两次正四面体，该试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件， 用事件A表示满足条件“为整数”的事件，则，，，，，，共8个基本事件． 故答案为：. 13. 已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，的平均数和方差均为4，得到，，从而求出的平均数和方差. 【详解】由题意得：， 解得：，， 且， 解得：， 故的平均数为， 故方差为. 故答案为：1 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为______，此时内角A的值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求角． 【详解】解：由，根据正弦定理，可得，再由余弦定理得，则， 所以， 又，当时，取得最大值1，则取得最大值． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值； （3）若，求证：∥. 【答案】(1)2 (2) 【解析】 【分析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力． 【详解】 （3）略 16. 某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表. （1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：按每人个月薪水的3%收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用. 参考数据：. 【答案】（1）平均数2；方差 （2）方案一 【解析】 【分析】（1）以每组的中点值代表该组的数据求解平均数，再根据公式计算方差即可； （2）根据题意分别计算两种方案的费用，再判断即可. 【小问1详解】 样本平均数（万元）， 样本方差（万元2）. 【小问2详解】 方案一：（万元），. 月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）. 因此这50人共收取费用约为（万元）. 方案二：这50人共收取费用约为（万元）. 故方案一能收到更多的费用. 17. 在中，角的对边分别为. （1）求角； （2）若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求解， （2）由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解 【小问1详解】 由正弦定理得，因为，所以，故. .因为.所以， 【小问2详解】 根据正弦定理得，解得 根据余弦定理得. 由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立， 此时，所以面积的最大值为. 18. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. （1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ （2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果； （2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果. 【详解】（1）设事件“电话响第声时被接”为， 那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件， 根据互斥事件概率加法公式， 得 . （2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为. 根据对立事件的概率公式，得. 【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率以及对立事件发生的概率的求解公式，属于简单题目. 19. 已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若三棱维的体积为，求a的值. 【答案】（1） 设中点为M，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面 所以， 因为 所以， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为M，连结，则由等边三角形的性质可得，再由面面垂直的性质可得平面，则，再由可得，则可得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论， （2）由（1）可知平面，则由三棱锥的体积公式列方程可求出a的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，为等边三角形， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学2023-2024学年度下学期高一月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法正确的是 A. 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 3. 某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ） A. 84 B. 86 C. 89 D. 98 4. 已知矩形中，，，，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 14 D. 38 5. 要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________. 注：下面抽取了随机数表第1行至第5行. 03474373863696473661469863716233261680456011141095 97742467624281145720425332373227073607512451798973 16766227665650267107329079785313553858598897541410 12568599269696682731050372931557121014218826498176 55595635643854824622316243099006184432532383013030 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 7. 如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（    ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 11. 北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（ ） A. 中国队上场的10名球员存在都有得分的可能 B. 中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分 C. 中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数 D. 3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为______． 13. 已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为______，此时内角A的值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值； （3）若，求证：∥. 16. 某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表. （1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：按每人个月薪水的3%收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用. 参考数据：. 17. 在中，角的对边分别为. （1）求角； （2）若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 18. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. （1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ （2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 19. 已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若三棱维的体积为，求a的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $