精品解析：2024年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟数学试题

2024年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟 数学试题 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2. 在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：万用科学记数法可表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定与值是关键． 3. 下列各组角中，互为余角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，掌握定义是解题的关键．如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．依此定义即可求解． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法中错误的是(　 　) A. 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B. 关于某条直线对称的两个图形全等 C. 两个全等三角形的对应高相等 D. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和定义，对选项进行逐一分析，选择正确答案即可. 【详解】成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故A选项不符合题意， 关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故B选项不符合题意， 两个全等三角形的对应高相等正确，故C选项不符合题意， 两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，故D选项错误，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 5. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中的情况有4，5，6共3种情况， 所以的概率是． 故选：． 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 6. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解． 【详解】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0<b＜1， 所以a<b，故A选项错误； |a|>|b|，故B选项错误； a+b<0，故C选项错误； ，故D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等，根据数轴的特点判断两个数的取值范围是解题的关键. 7. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（） A. 1.6，1.5 B. 1.7，1.6 C. 1.7，1.7 D. 1.7，1.55 【答案】B 【解析】 【分析】对于中位数由于图中是按从小到大的顺序排列的，找出最中间的两个数求平均数即可；对于众数可由条形统计图中出现天数最多的数据写出． 【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.7（万步），故众数是1.7（万步）； 因图中是按从小到大的顺序排列的，第15天和第16天的步数都是1.6（万步），故中位数是1.6（万步）． 故选：B． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 8. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 二、填空题 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 10. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 11. 若n为整数，且，则n的值为________________． 【答案】4 【解析】 【分析】依据夹逼法确定出的大致范围，从而可得到n的值． 【详解】解：∵16＜21＜25， ∴4＜＜5． ∴n＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 12. 分式方程的解__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 13. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积． 【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等， ∴的面积的面积， ∵的面积为4， ∴的面积是6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质． 15. 如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角求出底角，再根据，求出，问题即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵以点B为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 16. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要______________分钟． 用时 种类 准备时间（分钟） 加工时间（分钟） 米饭 3 30 炒菜1 5 6 炒菜2 5 8 汤 5 6 【答案】33 【解析】 【分析】节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决问题． 【详解】解：根据题意，可以这样安排： 先准备米饭（3分钟），然后使用电饭煲加工米饭（30分钟）. 在加工米饭的同时，准备汤菜（5分钟），然后使用煲汤锅加工汤（6分钟） 煲汤的同时摘菜（5+5=10分钟），炒菜（6+8=14分钟），即炒菜和汤共需29分钟， ∴妈妈做好这顿饭，最少需要30+3=33分钟. 故答案为：33． 【点睛】本题属于合理安排时间问题，要抓住既节约时间又不使工序矛盾来进行分析设计． 三、解答题：本大题有12个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案． 【详解】解：原式 ＝1﹣1+2+2 ＝4． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键． 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， ∴不等式组的所有整数解为0，1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 19. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP；作OP的垂直平分线与OP交于点M； ②以OM为半径作⊙M，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB； 所以直线PA，PB为⊙O的切线． 请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为⊙M的直径， ∴∠OAP=∠ = （ ）（填推理的依据）． ， ． ∵OA，OB为⊙O半径， ∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）． 【答案】补全作图如图， OBP，90，直径所对圆周角为直角，OB，经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空． 【详解】略 【点睛】本题考查作图—过圆外一点作圆的切线，圆周角定理的推论，切线的判定．掌握基本的作图方法和熟记直径所对圆周角为直角是解题关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵对于一元二次方程， 其根的判别式， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可证明； （2）把方程的根代入原方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得：． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入x=0得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． 21. 已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x12+x22＝10，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0，根据x12+x22＝10，利用根与系数的关系构建方程求出k即可； 【详解】解：由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0， 由题意：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣， ∵x12+x22＝10， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10， ∴， 解得k＝， 经检验k＝是分式方程的解． ∴k＝． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题. 22. 在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC． （1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线； （3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 【答案】（1）如图1，所示⊙O为所求作的圆； （2）连结AE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°， ∵AB=AC，∴∠1=∠CAB， ∵∠BAF=2∠CBF，∴∠CBF=CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°， ∵即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线； （3）BC=2，BF=． 【解析】 【详解】试题分析：（1）作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求； （2）根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠CAB，等量代换得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根据切线的判定即可得到结论； （3）根据已知条件得到sin∠1=，求出BE=AB•sin∠1=，根据勾股定理得到BC=2BE=2，由勾股定理得AE= =2，于是得到sin∠2=，cos∠2=，根据三角函数的定义得到AG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解析：（1）略 （2）略 （3）过点C作CG⊥AB于点G， ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=， ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2，∴sin∠2=，cos∠2=， 在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2×=4，GB=BCcos∠2=2，∴AG=3， ∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴ ，∴BF==． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于点． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数（）的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段的中点时，求b的值； ②当时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出的值即可； （2）①根据平行得到点纵坐标为2，直线与轴的交点，得到的纵坐标为0，中点，得到点纵坐标为1，代入反比例函数解析式，求出点坐标，再把点坐标代入一次函数解析式求解即可；②求出时的坐标，求出此时的值，即可得出结论． 【小问1详解】 把代入函数，得：． ∴； 【小问2详解】 ①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E． 由题意，得：轴， ∴点纵坐标为2， ∵直线与x轴交于点D， ∴点纵坐标为0， 当点C是线段的中点时，则：点C的纵坐标为1， 由（1）知：反比例函数的解析式为， 把代入函数中， 得． ∴点C的坐标为， 把C代入函数中得：， 解得； ②∵， ∴点在点的上方， 当时，此时点为的中点， 同①法可得：点的纵坐标为， 当时：， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， ∵， ∴． 24. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0 1 2 3 4 … （米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 【答案】（1） 如图所示，建立平面直角坐标系并画图： （2）7.0 （3）游船没有被喷泉淋到的危险 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可； （3）把代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 根据图象设二次函数的解析式为， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（舍去）， 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米； 【小问3详解】 解：当时，， ∴游船没有被喷泉淋到的危险． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 25. 如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整 （1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 （2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 【答案】（1）8.5，6.5 （2） 函数的图象如下： （3）①、之间（含、两点）；②点处 【解析】 【分析】（1）时，；时，，将相关线段的长代入即可得答案； （2）根据表格数据画出函数图象即可； （3）①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于，从而可得答案； ②结合①的结论及图③分析可得答案． 【小问1详解】 、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的距离为千米，沿公路到、两个城镇的距离之和为千米， 当时，位于中点处， 此时（千米）； 当时，位于D处， （千米） 故答案为：8.5，6.5． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于， 故若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点）． 故答案为：、之间（含、两点）． ②由①可知，若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点）， 由图3可知，、段上离点、的距离相等，再往点以下距离之和一定变大；再往点以上，到、的距离之和会变大， 故答案为：点处． 【点睛】本题考查了函数图象在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，为图形G上任意两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） ①． 理由：当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴， ∴图形G大致图象如下， ∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大． ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①由题意可得出二次函数解析式是，对称轴为y轴，即可画出图形G，如图1，得出图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大，即可得出结论；②通过计算可知，，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵该抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①略 ②对于，令，则， 令，则， ∴该抛物线上两点，为抛物线上关于对称轴对称的两点． 分类讨论：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，点P，Q位置不动， ∴，不符题意； 如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点P，Q经翻折之后的对应点为点M，N， ∴，不符题意； 如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点M在下方，点M，Q重合，在上方， ∴，符合题意， 此时有，即， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键． 27. 如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F． （1）求的度数； （2）以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 【答案】（1） （2） ①依题意补全图形如图1所示； ②k的值为2 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结果； （2）①根据题意画出图形即可；②首先先作辅助线，得到，然后再作辅助线得到，证明出来，再作出辅助线得到，最后推出是等边三角形，即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， 在中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②如图2中，由（1）知， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到P，使得，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到全等三角形． 28. 在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” （1）点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； （2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； （3）的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当或者点O与点P或者点A重合时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可； （2）先求出，则，解直角三角形得到，；根据定义得到，解直角三角形得到，则；设直线与y轴交于点G，先证明，再证明，得到，则，可得，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案； （3）根据等腰得到或点M与点P重合，再由为等腰三角形，得到，；当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，证明，得到，设，则，进而得到，则点P在直线上；设直线与y轴交于点S，则，依题意可知，P在上，则直线与要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，证明是等腰直角三角形，得到，由切线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得，则；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，故当时，直线与有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据新定义可知，当点O在以为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络点”， ∴或者点O与点P或者点A重合； ∵点A的坐标为，点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴是O关于点A的“联络点”； 同理可得是O关于点A的“联络点”； ∵，， ， ∴， ∴， ∴不是O关于点A的“联络点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵点P是点C关于点D的“联络点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，设直线与y轴交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点P是M关于N的“联络点”， ∴或点M与点P重合， ∵为等腰三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线上， 设直线与y轴交于点S，则， 依题意可知，P在上， ∴直线与要有交点， 如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为， ∴当时，直线与有交点，即此时符合题意； 如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当时，符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，直径所对的圆周角是直角，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确理解新定义，根据直径所对的圆周角是直角得到对应的角是直角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年北京市海淀区中国人民大学附属中学本部中考模拟 数学试题 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（ ） A. B. C. D. 2. 在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组角中，互为余角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列说法中错误的是(　 　) A. 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B. 关于某条直线对称的两个图形全等 C. 两个全等三角形的对应高相等 D. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 5. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 7. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（） A. 1.6，1.5 B. 1.7，1.6 C. 1.7，1.7 D. 1.7，1.55 8. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 10. 把多项式分解因式的结果是______． 11. 若n为整数，且，则n的值为________________． 12. 分式方程的解__________________． 13. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______． 15. 如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则_________． 16. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要______________分钟． 用时 种类 准备时间（分钟） 加工时间（分钟） 米饭 3 30 炒菜1 5 6 炒菜2 5 8 汤 5 6 三、解答题：本大题有12个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19. 下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP；作OP的垂直平分线与OP交于点M； ②以OM为半径作⊙M，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB； 所以直线PA，PB为⊙O的切线． 请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为⊙M的直径， ∴∠OAP=∠ = （ ）（填推理的依据）． ， ． ∵OA，OB为⊙O半径， ∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 21. 已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x12+x22＝10，求k的值． 22. 在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC． （1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线； （3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于点． （1）求m的值； （2）过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数（）的图象交于点C，与x轴交于点D． ①当点C是线段的中点时，求b的值； ②当时，直接写出b的取值范围． 24. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0 1 2 3 4 … （米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 25. 如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整 （1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 （2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，为图形G上任意两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 27. 如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F． （1）求的度数； （2）以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 28. 在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” （1）点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； （2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； （3）的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $