精品解析：四川省广安市华蓥市阳和初级中学2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟测试题

四川省广安市华蓥市阳和初级中学2022-2023学年八年级下学期 期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是　　 A. 3，2 B. 2，3 C. 2，2 D. 2，4 3. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥1 B. x＜1 C. x≤1 D. x≠1 5. 顺次连接四边形ABCD的四边中点所得的四边形是矩形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形ABCD一定是正方形 B. 四边形ABCD一定是菱形 C. 四边形ABCD一定是矩形 D. 四边形ABCD的对角线一定垂直 6. 一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系．据此可以判断下表中记录错误的数据是（ ） 实验次数 一 二 三 四 铁块质量 25 50 75 100 高度 40 30 15 10 A. 第一次的数据 B. 第二次的数据 C. 第三次的数据 D. 第四次的数据 8. 对于一次函数的描述不正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象与轴的交点是 C. 图象经过点 D. 图象不经过第二象限 9. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 35° 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ） A. 无法确定 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简：_______． 12. 某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，7个班级参加该活动的人数统计结果为：52、60、62、54、58、62、59，则这组统计数据的中位数是________． 13. 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m． 14. 如图，已知直线与直线相交于点，那么关于的不等式的解集为______． 15. 将直线向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是___________ 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，D是边AB上一点．连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是____________． 17. 甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是__________（填写序号）． 18. 如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少? 21. 某校为调查学生对科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题． （1）从全校学生中随机抽取的学生数______，扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）已知“”这组的数据如下：、、、、、、、，求这组数据的方差． （3）若成绩达到分以上（含分），则对科普知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数． 22. 已知，在菱形中，，，、分别为、上一点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，． ①求与之间的函数关系式； ②若，则 ． 23. 某中学计划租用客车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示．设租车总费用为元，租用甲型客车辆． 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 （1）共需租_________辆客车； （2）若学校计划租车总费用在3200元的限额内，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）因燃油价格上涨，甲型客车每辆租金上调元，乙型客车每辆租金上调元（），若租车的最低费用是3200元，求的值． 24. （1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于A、B两点，点P为线段AB的中点． （1）直接写出点P的坐标： （2）如图1，点C是x轴正半轴上的一动点，过点P作交y轴正半轴于点D，连接CD，点M、N分别是CD、OB的中点，连接MN．求的度数； （3）如图2．点Q是x轴上的一个动点．连接PQ．把线段PQ绕点Q逆时针旋转90°至线段QT，连接PT、OT．当的值最小时，求此时点T的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安市华蓥市阳和初级中学2022-2023学年八年级下学期 期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是　　 A. 3，2 B. 2，3 C. 2，2 D. 2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可． 【详解】解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，5，6， 出现次数最多的数是2，故众数是2； 处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3， 故选． 【点睛】考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于之中间位置的数． 3. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 4. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥1 B. x＜1 C. x≤1 D. x≠1 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解不等式即可. 【详解】解：根据被开方数大于等于0，列式得，x﹣1≥0，解得x≥1． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是本题的解题关键. 5. 顺次连接四边形ABCD的四边中点所得的四边形是矩形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形ABCD一定是正方形 B. 四边形ABCD一定是菱形 C. 四边形ABCD一定是矩形 D. 四边形ABCD的对角线一定垂直 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，再由矩形的性质可得，而、是、中点，易知是的中位线，于是，，利用平行线性质可得，即，从而可证四边形的对角线互相垂直且相等． 【详解】解：如右图所示，四边形的各边中点分别是、、、，且四边形是矩形， 四边形是矩形， ， 又、是、中点， 是的中位线， ，， ， 即， 故四边形的对角线互相垂直． 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形，矩形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接、，构造平行线． 6. 一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性即可判断出答案． 【详解】解：， ， y随x的增大而增大， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是关键． 7. 物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系．据此可以判断下表中记录错误的数据是（ ） 实验次数 一 二 三 四 铁块质量 25 50 75 100 高度 40 30 15 10 A. 第一次的数据 B. 第二次的数据 C. 第三次的数据 D. 第四次的数据 【答案】C 【解析】 【分析】先假设第一次和第二数据都是正确的，求出函数解析式，把第三次和第四次数据代入解析式，判断是否与表格中的数据相符即可． 【详解】解：设h=kx+b（k≠0）， 由表格中数据可得，当x=25时，y=40，当x=50时，y=30， 假设第1次和第2次数据都是正确的， 则， 解得， ∴h=-0.4x+50， 当x=75时，h=-0.4×75+50=20， 这与表格中的数据不符， 当x=100时，h=-0.4×100+50=100 这与表格中的数据相符， 假设成立， 故第3次数据是错误的． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析，关键是对函数解析式中x，h的对应值的判定． 8. 对于一次函数的描述不正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象与轴的交点是 C. 图象经过点 D. 图象不经过第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点进行分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当时，， ∴图象与轴的交点是，故本选项正确，不符合题意； C、当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误，符合题意； D、∵， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 9. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 35° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FG＝CD，FG∥CD，根据平行线的性质求出∠EGD、∠DGF，进而求出∠EGF，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG是△ADB的中位线， ∴EG＝AB，EG∥AB， ∴∠EGD＝∠ABD＝20°， 同理可得：FG＝CD，FG∥CD， ∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°， ∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝×（180°﹣130°）＝25°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，四边形、、、…都是正方形．如果点，那么点的纵坐标是（ ） A. 无法确定 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A1（1，1）可以确定直线y=x+b的关系式，再根据正方形的性质以及一次函数图像上点的坐标特征可求出点A2、A3、A4、A5的纵坐标，根据所呈现的规律得出点A2022的纵坐标． 【详解】解：∵点A1（1，1），点A1在直线y=x+b的图像上， ∴1=+b， 即：b=， ∴一次函数的关系式为y=x+， 设B1B2=A2B2=a， ∴点A2（1+a，a）， ∵点A2（1+a，a）在一次函数y=x+的图像上， ∴（1+a）+=a， 解得a=2， ∴点A2的纵坐标为2=21， 设B2B3=A3B3=c， ∴点A3（3+c，c）， ∵点A3（3+c，c）在一次函数y=x+的图像上， ∴（3+c）+=c， 解得c=4， ∴点A3的纵坐标为4=22， 同理：点A4的纵坐标为8=23， 点A5的纵坐标为16=24， 点A6的纵坐标为32=25， …… ∴点An的纵坐标为2n-1， ∴点A2022的纵坐标为22021， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及正方形的性质，点坐标规律探究，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解决问题的前提，分别求出点A1，A2，A3，…的纵坐标，根据所呈现的规律得出答案是正确解答的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，7个班级参加该活动的人数统计结果为：52、60、62、54、58、62、59，则这组统计数据的中位数是________． 【答案】59 【解析】 【分析】根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：把这组数据从大到小排列为62、62、60、59、58、54、52，位于正中间的数为59， ∴这组统计数据的中位数是59． 故答案为：59 【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握中位数是把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是解题的关键． 13. 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理即可完成． 【详解】在Rt△ABC 中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得： (m) 即A、B两点间的距离为m． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理． 14. 如图，已知直线与直线相交于点，那么关于的不等式的解集为______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】即，根据图象，找出直线在直线下方部分的x的取值范围即可得到不等式的解集． 【详解】即， ∵直线与直线相交于点， ∴结合图象可得，不等式的解集为x＞-1． 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大是解题关键． 15. 将直线向上平移两个单位长度后，得到的直线解析式是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知， 将直线y=3x-1向上平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为y=3x-1+2，即y=3x+1． 故答案为y=3x+1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，D是边AB上一点．连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理，分别求出当E点落在AB上时和当E点落在BC上时，AD的长，即可求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴利用勾股定理得斜边AB=， ∴，， 即，， 当E点落在AB上时，如图， 根据对折的性质，AC=EC，AD=ED， ∴CD为等腰△AEC底边的中线，则DC⊥AE， ∴∠ADC＝90°， ∵，， ∴Rt△ADC中，AC＝1，， 当E点落在BC上时，过D点作DF⊥BC于F点，如图， 根据对折的性质有∠A=∠DEF，∠ACD=∠ECD，AC=EC，AD=DE， ∴∠ACD=∠ECD=45°， ∴∠CDF=45°， ∴在Rt△DFC中，有DF=FC， ∵，， ∴2EF=FC， ∴EC=3EF=AC=1，即EF=， ∴=AD， 不含边界，则综上AD的取值范围为：， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点A落在AC和BC上时AD的值是本题的关键． 17. 甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是__________（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量 【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确； 由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确； 当乙在B休息1h时，甲前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），③正确； 乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 18. 如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）首先把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式加减法则计算； （2）利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键． 20. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少? 【答案】101寸 【解析】 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA=OB=AD=BC， 设OA=OB=AD=BC=r寸， 则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸， ∴AE=（r1）寸， 在Rt△ADE中， AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2， 解得：r=50.5， ∴2r=101（寸）， ∴AB=101寸． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 21. 某校为调查学生对科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题． （1）从全校学生中随机抽取的学生数______，扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）已知“”这组的数据如下：、、、、、、、，求这组数据的方差． （3）若成绩达到分以上（含分），则对科普知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）50；72° （2）这组数据的方差为5.25 （3）估计全校1500名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数为840名 【解析】 【分析】（1）根据的人数和所占的百分比，我们可以求得调查的学生人数，然后计算出所对应的扇形圆心角的度数； （2）根据“”这组的数据以及方差的计算公式，先算出平均数，再计算出这组数据的方差； （4）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查共抽测了学生人数为：（名， 扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：平均数为：， 方差为：； 【小问3详解】 解：的学生人数有：（名， （名， 答：估计全校1500名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数为840名． 【点点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 已知，在菱形中，，，、分别为、上一点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，． ①求与之间的函数关系式； ②若，则 ． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： 四边形为菱形，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形的性质得出，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）①过点作，交于点，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，得出，同理，由（1）得，得出，则可得出答案；②过点作于点，过点作于点，由题意求出，，得出，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点作，交于点，如图2所示： ，， 四边形为平行四边形， ， ， 同理， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ； ②过点作于点，过点作于点，如图3所示： 由①知， 又， ，， ，， ，， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 23. 某中学计划租用客车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示．设租车总费用为元，租用甲型客车辆． 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 （1）共需租_________辆客车； （2）若学校计划租车总费用在3200元的限额内，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）因燃油价格上涨，甲型客车每辆租金上调元，乙型客车每辆租金上调元（），若租车的最低费用是3200元，求的值． 【答案】（1）8 （2）y＝120x+2240，自变量x的取值范围是x＝6或7或8 （3）m的值为24或40或56 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆客车，本题得以解决； （2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围； （3）根据租车的最低费用是3200元，列出不等式可求m的值． 【小问1详解】 解：如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝7（辆）， 如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝10（辆）， ∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师， ∴共需租8辆汽车． 故答案为：8； 【小问2详解】 解：设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆， 则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240， ∵ ， 解得， ∵x为整数， ∴x＝6或7或8． 故y关于x的函数解析式是y＝120x+2240，自变量x的取值范围是x＝6或7或8． 【小问3详解】 解：依题意有：（400+m）x+（280+2m）（8﹣x）＝3200， 解得x＝8﹣ ， ∵x为整数， ∴m＝24或40或56． 故m的值为24或40或56． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 24. （1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°， ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴∠BAE=∠DAF； ②证明：∵△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∵M为AF的中点， ∴DM=AF， ∴AE=AF=2DM； （2）①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，CD=CB， ∵BE⊥DF， ∴∠BGD=∠BCD=90°， ∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE=∠CDF， 又∵BE=DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)， ∴∠BCE=∠DCF， ∵∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°， ∴CE⊥CF； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN， ∵M为AF的中点， ∴AM=MF， ∵MD=MN，∠AMN=∠FMD， ∴△AMN≌△FMD(SAS)， ∴AN=DF， ∵△CBE≌△CDF， ∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM， ∴ANDF， ∴∠DAN+∠ADF=180°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∵∠BGD=90°， ∴∠ABE+∠ADF=180°， ∴∠ABE=∠DAN， ∴△ABE≌△DAN(SAS)， ∴AE=DN=2DM； （3） 【解析】 【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论； （2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM； （3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案． 【详解】解：（1）问题情景：略． （2）变式关联：略． （3）拓展应用： 过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q， ∴△ABE≌△PDF(SAS)， ∴AE=PF， ∵∠ADB=45°， ∴∠PDQ=45°，DQ=PQ， ∴AF+AE=AF+PF≥AP， 即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP， ∵AD=AB=DP=2， ∴PQ=DQ=， ∴， ∴的最小值为8+4． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于A、B两点，点P为线段AB的中点． （1）直接写出点P的坐标： （2）如图1，点C是x轴正半轴上的一动点，过点P作交y轴正半轴于点D，连接CD，点M、N分别是CD、OB的中点，连接MN．求的度数； （3）如图2．点Q是x轴上的一个动点．连接PQ．把线段PQ绕点Q逆时针旋转90°至线段QT，连接PT、OT．当的值最小时，求此时点T的坐标． 【答案】（1） （2）135° （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求解； （2）连接PO、PN、PM，过M作于Q，先证明≌，可得．可得，再由，P是AB的中点，可得，可证得，从而得到，进而得到，即可求解； （3）作轴于点Q，于点G，于点H，可证得≌，可得到PQ=QT，PG=HQ，再证得点T在直线上，设直线与y轴交于点K，则，然后过点K作轴，过点A作轴交于点，连接，可证得四边形为正方形，从而得到，可得到当点P、T、三点共线时，最小，即最小，最小值为，再求出直线的解析式，然后与直线的解析式联立，即可求解． 【小问1详解】 解：当x=0时，y=4， 当y=0时，x=-4， ∴点A（-4，0），B（0，4）， ∵点P为线段AB的中点． ∴点P的坐标为，即（-2，2）； 【小问2详解】 解：连接PO、PN、PM，过M作于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，P是AB的中点， ∴，， ∴， ∴≌， ∴． ∵M是CD的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵P、N分别是AB、BO的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：作轴于点Q，于点G，于点H， 根据题意得：PQ=TQ，∠PQT=90°， ∴∠TQH+∠PQG=90°， ∵，， ∴∠PGQ=∠THQ=90°， ∴∠TQH+∠QTH=90°， ∴∠PQG=∠QTH， ∴≌， ∴PQ=QT，PG=HQ， 设， ∵P（-2，2）， ∴点G（a，2）， ∴QG=2， 当时，，， ∴，即； 当时，，， ∴，即； ∴点T在直线上， 当y=0时，x=-4， ∴直线与x轴交于点A， 设直线与y轴交于点K，则， ∴OK=OA=4， ∵∠AOK=90°， ∴， 过点K作轴，过点A作轴交于点，连接， ∴四边形为矩形， ∵OA=OK， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 根据正方形的轴对称性得：， ∴， 当点P、T、三点共线时，最小，即最小，最小值为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得，解得：， ∴点T的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $