湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 均为正实数，且，，，则的大小顺序为 A. B. C. D. 7. 在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B是相互独立事件 B. 事件A与事件C是互斥事件 C. D. 10. 已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A. B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 函数在上为增函数 D. 函数在上有四个零点 11. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点个数为__________. 13. 二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为__________. 14. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. （1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? （2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 16. 一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}． （1）写出9的所有无序2拆分； （2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率. 17. 如图，在中，，， . （1）求的值； （2）设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】7 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为 【16题答案】 【答案】（1）{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}；（2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在，点在靠近的三等分点处 【19题答案】 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $