宁夏回族自治区银川一中、云南省昆明市第一中学2024届高三下学期联合考试（二模)理科数学试卷

2024年宁夏银川一中、云南省昆明一中高考数学二模试卷（理科） 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3.如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 4.四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，，高为），则四羊方尊的容积约为（ ） A. B. C. D. 5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1~5之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 6.设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ） A.4 B.2 C.1 D. 7.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ） 图一 图二 A.甲得分的极差是18 B.乙得分的中位数是16.5 C.甲得分更稳定 D.甲的单场平均得分比乙低 8.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是（ ） A.卫星向径的最小值为 B.卫星向径的最大值为 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 9.直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A.9 B.8 C.6 D.5 10.已知，，，则a，b，c的大关系为（ ） A. B. C. D. 11.已知可导函数的定义域为R，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 12.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有（ ） A.三棱锥的体积不变 B.与平面所成的角大小不变 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是__________平方厘米. 14.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角.若第n行中从左到右第3个数与第5个数的比为3∶5，则n的值为__________. 15.已知双曲线（，），、分别为左、右焦点.过的直线l交双曲线右支为A，以为直径的圆交右支另一点为B，且过，当，则双曲线离心率为__________. 16.在三角形中，，角A的平分线交于点D，若，则三角形面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题12分） 已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 18.（本小题12分） 亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评.亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值. （2）估计这600名学生成绩的中位数. （3）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y，求随机变量Y的期望. 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 19.（本小题12分） 如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，. （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在点M，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 20.（本小题12分） 已知抛物线上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线交y轴于点M且满足，直线交y轴于点N.记，，的面积分别为，，. （Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求的取值范围. 21.（本小题12分） 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.已知函数，. （1）试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； （2）若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，） 22.（本小题10分） 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程； （2）设直线l与x轴相交于点A，动点B在C上，点M满足，点M的轨迹为E，试判断曲线C与曲线E是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由. 23.（本小题12分） 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：令，x，， ，， 即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D. 设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解. 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 2.【答案】A 【解析】解：由题意可得：，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A. 根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解. 本题考查集合的运算，属于基础题. 3.【答案】C 【解析】【分析】 通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可. 本题考查向量的基本运算，考查计算能力. 【解答】解：如图，向量，，， 则向量，.故选：C. 4.【答案】A 【解析】解：根据台体的体积公式可得： 四羊方尊的容积约为.故选：A. 直接根据台体的体积公式求解即可. 本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题. 5.【答案】D 【解析】解：设事件“三天中至少有两天下雨”， 20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354， 即事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率近似为.故选：D. 根据已知条件，先求出两天下雨随机数的个数，再结合总随机个数，即可求解. 本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题. 6.【答案】B 【解析】解：若对于任意的，都有， 则是函数的最小值，是函数的最大值， 的最小值即为函数的半周期长， 而函数的最小正周期，因此.故选：B. 由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，可知的最小值就是函数的半周期长. 本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题. 7.【答案】B 【解析】解：对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误； 从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误； 乙的数据由小到大依次为：9，14，15，16，17，18，19，20，乙得分的中位数为，故B正确； 乙得分的平均数为， 从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m， 其中，故其平均数为，故D错误. 故选：B. 根据图一中甲的得分情况可判断ABC的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D的正误. 本题考查了茎叶图问题，考查中位数，平均数，极差的定义，是基础题. 8.【答案】C 【解析】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A，B正确； 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大，即D正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，而， 所以这时b越接近a，椭圆越圆，故C不正确.故选：C. 由题意可得卫星项径是椭圆上的点到焦点的距离，可得项径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由项径的意义可得最小值与最大值的比越小时椭圆越圆，进而可得所给命题的真假. 本题考查椭圆的性质，到焦点的最大值最小值的情况及椭圆的圆扁与向径的比值的关系，属于中档题. 9.【答案】A 【解析】解：因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称， 函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象， 所以的对称中心为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9.故选：A. 先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 10.【答案】B 【解析】解：，， 设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减， 因为，所以， 所以，即.故选：B. 根据a，b，c的特点，构造函数，判断其单调性，得到，从而求出结果. 本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题. 11.【答案】D 【解析】解：因为为奇函数，则， 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知8为的周期， 可知，，， 所以. 故选：D. 由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得 ，，，即可得结果. 本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题，属于中档题. 12.【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题. 对于A选项，可将三棱雉的体积转化为求的体积进行求证； 对于B选项，可通过证明面面，进而证明出平面； 对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明； 对于D选项，可通过证明面，进而证明出，面. 【解答】 解：对于A，如图， 由题意知，面，面， 面，故上任意一点到平面的距离均相等， 面积为定值，而， 所以，以动点在任何位置，三棱雉体积不变，故A正确； 对于B，如图， 连接，，由正方体性质可知，，面，面， 面，由A知：面，，故平面平面， 而面，由面面平行的性质易得：平面，故B正确； 对于C，面，平面，所以，若， 则面，则，则为中点，与为动点矛盾，故C错误， 对于D，如图， 由正方形可得，又面，， ，面，， 同理，，面，面， ，故D正确， 故选：ABD. 13.【答案】 【解析】解：时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积（平方厘米） 故答案为：. 根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得. 本题考查了任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系，考查了扇形面积公式的应用，属于基础题. 14.【答案】7 【解析】解：依题意可知第n行的数从左到右分别为， 所以，即，得，解得或（舍去）， 所以的值为7 故答案为：7. 根据杨辉三角数字规律得到，再由组合数公式计算可得. 本题属于排列组合基本概念及公式计算的问题. 15.【答案】 【解析】解：设，则，， ，，又， ， ，解得， ，，又，， ， ， ，双曲线离心率. 故答案为：. 设，则，，，，又， 再根据勾股定理，建立方程，即可求解. 本题考查双曲线的离心率的求解，属中档题. 16.【答案】3 【解析】解：依题意有，平分则， 所以. 所以，设，则， 由余弦定理得， . 所以当时即时，的面积有最大值3. 由角平分线定理可得，由余弦定理、三角形面积公式及二次函数性质即可求解. 本题考查了三角形中的几何计算，考查了二次函数的应用，属于中档题. 17.【答案】解：（1）当时，， 当时， 验证：当，不成立， 所以； （2）由（1）可知， 所以， . 【解析】由已知和与项的递推关系即可求解； 求出，然后结合分组求和即可求解. 本题主要考查了数列的递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了分组求和方法的应用，属于中档题. 18.【答案】解：由频率分布直方图，得， 解得. （2）由频率分布直方图，得前3组的频率为， 前4组的频率为，所以中位数恰好为80， 则估计这600名学生成绩的中位数为80. （3）①由题意得：， 所以，则， 所以， 故估计竞赛成绩超过86.8分的学生约有4442人； ②由①得：，则， 所以随机变量，所以. 【解析】（1）根据各组频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式，找频率为0.5的位置即可， （3根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求解人数，根据二项分布的期望公式即可求解. 本题考查频率分布直方图与正态分布的综合，属于中档题. 19.【答案】（1）证明：根据题意，取中点，连接，，， 由于四边形为菱形，，所以是等边三角形，则， 又是等边三角形，所以 因为，， 所以，，，故. 又，， 所以，故， 因为平面，平面，， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. （2）解：根据题意，在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 理由如下： 先假设存在符合题意的点，设 由于在棱上，且，则有， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立坐标系， 如图： 则，，，， 故，， ，. 设平面的一个法向量为，则； 令，得，，所以， 同理：设平面的一个法向量为，则 ， 令，得，，所以. 由，解得（舍）或； 所以存在点，符合题意，此时. 【解析】（1）取中点，连接，，，可得，根据勾股定理可得，进而可得平面，然后面面垂直的判定定理可证 （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，根据公式可求. 本题考查空间向量的应用以及平面与平面所成的角，涉及平面与平面的垂直，属于中档题. 20.【答案】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知，，所以抛物线方程， 所以，抛物线的准线方程：； （II）设点，，，，，， ，， 点为的重心， 所以，且， 令， 所以 ， 因为，所以， 故，， 因此，故所以. 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查重心的性质，利用比值消元法求函数的取值范围，考查转化思想，计算能力，属于中档题. （Ⅰ）根据抛物线的定义，求得的值，根据抛物线的性质，求得抛物线的准线方程； （Ⅱ）由题意，利用面积公式及重心的性质，表示出，利用比值消元，根据二次函数的性质即可求得答案. 21.【答案】解：（1）因为，则， ，，曲线在处的切线为，且， ，， 曲线在处的切线为，且， 故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为. （2）将整理得到：， 令，， 因为，令，即，得或， 令，即，得， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 所以的极小值为， 因此有且仅有一个零点，所以有且仅有一个极小值点，即， 所以有， 方法二：由（1）有， 则. 方法二：. 方法三：， 所以能取到的最大整数值为. 【解析】（1）根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果； （2）根据已知通过分离变量，构造函数，利用导数得出的最小值，由（1）的结论可得结果. 本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于难题. 22.【答案】解：（1）由知，， 则曲线的普通方程为. 因为直线的方程为，即. 由，可得. 所以直线的直角坐标方程为. （2）由（1）可知，点的坐标为. 因为，所以是线段的中点. 由题意，可设，， 则 代入曲线的方程，可得 ，即. 解之可得，. 此时，. 由此可知，两曲线有两个公共点，其直角坐标为. 【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用向量的坐标运算和三角函数关系式的运算求出三角函数的值，进一步求出结果. 本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程，直角坐标方程之间的转换，向量的坐标运算，三角函数关系式的变换，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题. 23.【答案】解：（1）当时，， 因为， 所以或 或 ， 解得或， 故不等式的解集为； （2）当时，此时， 明显函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于恒成立， 故，解得， 当时，不等式恒成立， 综上所述，的取值范围是. 【解析】（1）代入，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）分，，讨论，通过单调性求出的最小值，然后利用解不等式求出的取值范围. 本题考查的知识要点：函数的单调性，绝对值不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$