精品解析：辽宁省锦州市第五高级中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题

锦州市第五高级中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则集合的子集的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再根据集合元素的个数即可求出子集个数. 【详解】，有2个元素， 则集合的子集的个数是. 故选：C. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对两集合代表元的表示形式进行变形，然后根据集合的关系判断． 【详解】，时，取得所有奇数， ，时，取得整数 因此． 故选：B． 3. 已知，求函数的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式，即可求出结果. 【详解】由，即， 所以， 当且仅当，即时取“=”. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型. 4. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 5. 设集合，，则“”是“”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 没有充分、必要性 D. 既是充分又是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】考虑与之间的推出关系. 【详解】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 【点睛】本题考查充分和必要条件的判断，难度较易.当讨论是的什么条件时，可以根据是否能满足来确定与的关系. 6. 下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. －＝（－x）（x＞0） B. ＝y（y＜0） C. xy＝ （x＞0，y＞0） D. x＝－ （x≠0） 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项. 【详解】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝ （x≠0），故D错误. 故选：C 7. 设，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解. 【详解】由诱导公式，可得 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 【详解】解：方程有两个实数根，△， ， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴 所以， 可得， 或， ， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数存在“3倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】A：为上的增函数， 若存在“3倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“3倍值区间”，A错误； B：为上的减函数， 若存在“3倍值区间”，则有，得， 又，， 所以可取，，符合题意， 所以存在“3倍值区间”，B正确； C：为上的增函数， 若存在“3倍值区间”，则， 结合得，符合题意， 所以存在“3倍值区间”，C正确； D：对于， 当时，；当时，，由于在上单调递减， 从而可得在上单调递增， 若存在“3倍值区间”且，则有， 解得，不符合题意， 所以不存在“3倍值区间”，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是要理解“3倍值区间”的含义，从而要判断函数的单调性，列式求解. 10. 函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】由于， ，，，， 即函数的定义域为 当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确； 当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确； 即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以错误； 将的图象向下平移两个单位得到， 再向左平移一个单位得到， 此时，所以图象关于点对称， 所以的图象关于对称，所以B正确； 将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数， 所以函数关于点对称， 所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值， 则，所以C正确； 由，可得， 由， 设，， 可得，所以为减函数， 可得函数为减函数， 所以函数为单调递减函数， 又由为减函数，所以为减函数， 因为关于点对称， 所以，即， 即，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 12. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A. B. C. ＞0 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D． 【详解】对于A，，即，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在定义域中单调递增，，故C正确； 对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，结合余弦函数的图象解不等式即可求解. 【详解】由得， 作出的图象和直线， 由图象可知的解集为， 故答案为：. 14. 已知，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解. 【详解】解：因为，， 所以，， 即，， 两式相加得，所以． 故答案为： 15. 已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于可知，再根据正弦函数的图象和性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】函数，由于， 所以， 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值， 所以且，所以． 故的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知定义在上的函数满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解. 【详解】因为在R上的函数满足，且， 令，有， 又， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以. 故答案为：． 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【小问1详解】 当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． 【小问2详解】 中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． 【小问3详解】 中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 18. 设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： （1）若，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集. 【答案】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 20. 若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求图象的对称中心； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，得出，即可求得的值. 【小问1详解】 解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得， 由，可得， 故图象的对称中心为． 【小问2详解】 解：由，， 因为， 可得， 所以． 21. 已知二次函数满足，满足，且． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的最小值（用表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再代入到，化简可求出，从而可求出的解析式. （2）求出抛物线的对称轴，然后分和三种情况求解函数的最小值. 【小问1详解】 因为二次函数，且满足，，所以，，所以 ，得. 所以. 【小问2详解】 是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数. 当时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，则； 当，即时，； 综上所述. 22. 已知函数为奇函数． （1）求常数k的值； （2）当时，判断的单调性，并用定义给出证明； （3）若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 单调递增，证明如下： 由（1）知：，若， 则， 而，即， 所以，故单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值； （2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可. （3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围. 【小问1详解】 由，即， 所以，故，则， 当时，显然不成立，经验证：符合题意； 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，令， 所以，由（2）知：在上递增，而在上递减， 所以在上递减，则. 又在区间上无解， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第五高级中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则集合的子集的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，求函数的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 设集合，，则“”是“”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 没有充分、必要性 D. 既是充分又是必要条件 6. 下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. －＝（－x）（x＞0） B. ＝y（y＜0） C. xy＝ （x＞0，y＞0） D. x＝－ （x≠0） 7. 设，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 8. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数存在“3倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 10. 函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 12. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A. B. C. ＞0 D. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 函数的定义域是________. 14. 已知，则_______________． 15. 已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________. 16. 已知定义在上的函数满足，则___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 18. 设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： （1）若，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集. 19. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 20. 若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求图象的对称中心； （2）若，求的值． 21. 已知二次函数满足，满足，且． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的最小值（用表示）． 22. 已知函数为奇函数． （1）求常数k的值； （2）当时，判断的单调性，并用定义给出证明； （3）若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $