精品解析：湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

湖北省重点高中智学联盟2024年春季高一年级5月联考 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和对数函数不等式求出集合，由并集的定义求解即可. 【详解】由可得：，所以， 由可得：，所以，所以. 故选：D 2. 设是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合线面平行和面面平行的定理，由充分条件和必要条件的定义判断即可. 详解】当且时，， 当且时，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 4. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 5. 已知满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，将以上两式两边分别平方后相加，变形后可得所求的结果． 【详解】∵， ∴，① ，② 由①②得， ∴． 故选：B 6. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知得的周期为4，然后代入自变量求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，且为偶函数， 所以，所以的周期为4， 所以. 故选：A. 7. 设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角恒等变换化简函数表达式，利用三角函数性质结合已知即可列出关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】， 注意到，所以当时，， ， 因为方程有且只有两个不相等的实数解， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：B. 8. 在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 【详解】因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据棱台的概念可判断A；根据棱锥的概念可判断B；根据圆柱母线的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D. 【详解】对于A：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台， 只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故不正确； 对于B：棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故不正确； 对于C：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点的连线与圆柱的轴平行时， 这两点的连线才是圆柱的母线，故不正确； 对于D：直观图面积为，根据直观图与原图面积关系可得，解得，故正确. 故选：ABC 10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. B. 是纯虚数 C. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若，则的最大值是6 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，令即可判断；对于B，由复数除法运算即可验算；对于CD，由复数的几何意义、共轭复数的概念以及模的计算公式即可验算. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，是纯虚数，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D，设，， 不妨设， 则， 其中， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值是6，故D正确. 故选：BD. 11. 函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 关于对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象求得即可判断；对于BCD，由三角函数性质验算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为是等边三角形，所以，则， 又因为，所以，则，解得， 因为，所以， 故，所以A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，当时，，故单调递减，C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，结合三角函数性质即可顺利得解. 三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分） 12. 若，且为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把为锐角转化为与的夹角为锐角，然后利用数量积列不等式组求解即可. 【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又，所以， 解得且. 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为__________. 【答案】18 【解析】 【分析】由正弦定理角化边得，由角平分线性质以及三点共线可得，，，结合可得，结合“乘1法”即可求解. 【详解】因为，所以，因为， 所以，因为，所以， 因为平分，注意到 ，根据菱形的性质以及平行四边形法则可知， 与共线（同向），所以设， 注意到三点共线，所以， 又，所以，解得， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为18. 故答案为：18. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积. 【详解】因为，所以，设圆的半径为， 又，解得（负值舍去）， 过点作交于点，过点作交于点， 则， 所以，同理可得， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为， 下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，高为， 则上面球冠的表面积， 下面球冠的表面积，球的表面积， 上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化. 四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，且. （1）若，求实数的值； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合数量积的运算律，利用向量模的运算求得，然后利用向量垂直的运算列式求解即可. （2）结合数量积运算律，利用向量夹角运算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 又，所以， 由，得， 即. 所以，解得. 【小问2详解】 ，， 设与的夹角为，则， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，反过来代入验证是上的奇函数即可； （2）直接由单调性的定义判断并证明即可； （3）利用奇函数、递增函数性质将原问题等价转换为对任意的实数恒成立，求出不等式右边的最小值即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得. 经验证，时，此时，且的定义域关于原点对称， 所以是上的奇函数，符合题意. 所以； 【小问2详解】 结论：在上单调递增，证明如下： ， 因为，所以，故， 所以，故在上单调递增； 【小问3详解】 由得 由（1）知在上单调递增，故对任意的实数恒成立， 即， 而，（当且仅当即时等号成立），所以， 故实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）为的中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）首先证明平面，然后结合线面平行的性质、平行线的传递性即可得证. 【小问1详解】 如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 为的中点， 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由整体代入法即可求解单调区间； （2）依次得的表达式，由换元法、参变分离即可求解. 【小问1详解】 由题意， 由解得， 故函数的单调增区间； 【小问2详解】 由题意得，故， 令， 因为，所以，故. 故函数转化为，令得， 又因为在都为增函数，故在为增函数， 所以与最多只有一个交点. 因为函数有两个不同的零点， 故与有两个不同的交点. 所以. 故， 所以实数取值范围. 19. 在中，内角的对边分别为， （1）求； （2）若点在内部，满足，且的面积为， ①求的值； ②求的值. 【答案】（1）或 （2）①；②8 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，结合的范围即可得解； （2）首先得，①由等面积法得，结合数量积的定义即可求解；②思路一：由三角形面积公式得，结合余弦定理以及即可求解；思路二：通过分析得出，结合数量积的运算律即可求解；思路三：先利用面积得，设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，从而化简求值即可. 小问1详解】 因为， ， 所以由得， 所以，因为， 所以或； 【小问2详解】 因为点在内部，所以，所以， ①设，由得： 整理得 则； ②方法一：由余弦定理知， 又；所以， 由①知，所以， 因为，所以， 所以即； 方法二：由（1）知， 因为，由，所以， 所以， 故， 所以， 所以； 方法三：因为的面积为，故，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 . 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的第②问的关键是得到，进一步利用解三角形知识或者向量知识即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省重点高中智学联盟2024年春季高一年级5月联考 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是一条直线，是两个不同平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 4. 中国5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 5. 已知满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中有多项符合题意，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. B. 是纯虚数 C. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若，则的最大值是6 11. 函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 关于对称 三､填空题（本大题共三个小题，每小题5分，满分15分） 12. 若，且为锐角，则实数的取值范围是______. 13. 在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为__________. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________. 四､解答题（本大题共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数值； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）设为中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 在中，内角的对边分别为， （1）求； （2）若点在内部，满足，且的面积为， ①求的值； ②求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$