精品解析：海南省海口市琼山区海南中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

海南中学2023～2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ） A. 13种 B. 30种 C. 60种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】由分步乘法计数原理，得不同的选取方法种数是（种）. 故选：C 2. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.945% C. 0.995% D. 0.99% 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用条件概率的乘法公式直接求解. 【详解】因为某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%， 所以患该种疾病且血检呈阳性的概率为. 故选：A 3. 设随机变量的概率分布为： 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据随机变量的分布列求出随机变量的期望和方差，再根据求出. 【详解】由题意知，， 故， 所以. 故选：D 4. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则  （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：. 【详解】方法一：由题意可知，所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 6. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解. 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故， 显然，其中，， 故， 则， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 . 故选：D 7. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【详解】依题意，设第一周去自由校区开会为事件，第二周去自由校区开会为事件， 则，， 所以， 则. 故选：A. 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. （多选）下列试验不是重伯努利试验的是（ ）． A. 依次投掷四枚质地不同的硬币 B. 某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C. 口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D. 小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可. 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】解：对于A，由（），得， 所以， ，所以在处的切线方程为，所以A正确； 对于B，由，得，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确； 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C不正确； 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D不正确， 故选：AB. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第n行 A. 在第10行中第5个数最大 B. C. 第8行中第4个数与第5个数之比为 D. 在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断，即可求解． 【详解】对于A：第10行是二项式的展开式的系数， 所以第10行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第8行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第4个数为，第5个数为， 所以第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D：第n行是二项式的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件的概率，同样利用排列组合计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解． 【详解】，． 由条件概率公式得． 故答案为：． 13. 已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项__________． 【答案】，，（写出其中一个即可） 【解析】 【分析】由题意知，求出，求出展开式的通项，令，求出，代入通项即可得出答案. 【详解】由题意知，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以的展开式的通项为： ，，． 若为有理项，则，所以，4，8， 故展开式中所有的有理项为：， ，． 故答案为：，， 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） （1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． （2）八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． （3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因是六个人随便站，即相当于六个人在六个空位上全排； （2）因两只妖怪不站两头，运用特优法分步完成，第一步在中间四个位置上排好两个妖怪，第二步在剩余四个位置排其他四个人，利用分步乘法计数原理即得； （3）因师傅和悟空要站一起，八戒要站在两个妖怪中间，沙僧不管，所以应先按照1，2，3分成三组，悟空和师傅在分配好的两个位置上有个全排，八戒在两只妖怪之间，两只妖怪有个全排，最后位置则是沙僧的. 【小问1详解】 六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有种． 【小问2详解】 因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好， 故有种排法，剩下四个人四个位置，故有种排法，故共有种排法． 【小问3详解】 先将六人分成三组，且这三组人数分别为1、2、3，并排列，故有种排法， 师傅和悟空站在一起共有种排法，八戒站在两只妖怪中间共有种排法， 故共有种排法． 16. 已知函数，且当时，有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值和最小值分别为 【解析】 【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数，由此即可得解； （2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解. 【小问1详解】 ，由题意， 解得，所以的解析式为. 【小问2详解】 ，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 而， ， 所以在上的最大值和最小值分别为. 17. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为，记． （1）求X的概率分布； （2）求. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：X的可能取值为1，2，3，4，5，6，结合古典概型求分布列； （2）根据题意可知，结合（1）中数据运算求解. 【小问1详解】 依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况： ． 因而X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表： X的值 出现的点 样本点个数 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 6 11 由古典概型可知X的概率分布如下表所示． X 1 2 3 4 5 6 P 【小问2详解】由题意可知：. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间，减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求导，然后确定单调性即可； （2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围． 【小问1详解】 当时，，， 则， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ， 所以， 设，令，由于有两个极值点， 所以，解得． 由，， 得 ， 即，令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以，故a的取值范围是． 19. 我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为． （1）已知某批次家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 【答案】（1） （2）①；②元 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的概率公式计算可得； （2）①设乙箱中有个球的概率为，即可求出、，当时可得，从而得到，即当时数列是公比为的等比数列，求出，再用累加法求出，即可求出； ②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则，设优惠券的总金额为元，则，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得. 【小问1详解】 设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为， 则， 设家用机器人智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，则， ， 所以， 即在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率约为. 【小问2详解】 ①设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到奇数，家用机器人运个乒乓球，概率为，即， 乙箱中有个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： i家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为； ii家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得 ， 又， 所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，即获得“优惠券”的概率为. ②设参与游戏的个幸运顾客中获得优惠券的人数为，则， 所以的期望， 设优惠券的总金额为元，则， 所以个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值（元）， 故该企业预备的优惠券总金额的期望值为元. 【点睛】关键点点睛：第二问关键是由相互独立事件及互斥事件的概率公式得到，再利用构造法及累加法求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南中学2023～2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ） A. 13种 B. 30种 C. 60种 D. 120种 2. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.945% C. 0.995% D. 0.99% 3. 设随机变量的概率分布为： 若，则等于（ ） A B. C. D. 4. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数极小值点 D. 函数在区间上单调递减 5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则  （ ） A. B. C. D. 6. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 7. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. （多选）下列试验不是重伯努利试验的是（ ）． A. 依次投掷四枚质地不同的硬币 B. 某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C. 口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D. 小明做道难度不同的数学单选题 10. 已知，下列说法正确是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第n行 A. 在第10行中第5个数最大 B. C. 第8行中第4个数与第5个数之比为 D. 在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则_________． 13. 已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项__________． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 话说唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（结果用数值表示） （1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法． （2）八戒提出：两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少种站法． （3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法． 16. 已知函数，且当时，有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． 17. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为，记． （1）求X的概率分布； （2）求. 18 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 19. 我国某企业研发的家用机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为． （1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为，求在人工抽检时，工人抽检一个家用机器人恰好为合格品的概率（百分号前保留两位小数）； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券960元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有16个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$