精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题

哈尔滨第九中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列语句不是全称量词命题的是（ ） A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 自然数都是正整数 C. 高一(一)班绝大多数同学是团员 D. 每一个实数都有大小 4. 下列对应关系是从集合到集合的函数的是（ ） A. ，，： B. ，，： C. ，，： D. ，，： 5. 下列式子中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 下列对函数的奇偶性判断正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 11. 已知，（m是常数），则下列结论正确的是（ ） A. 若的最小值为，则 B. 若的最大值为4，则 C. 若的最大值为m，则 D. 若，则的最小值为2 12. 已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数的最小值为； 乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 丙：该函数的一个零点为； 丁：该函数图象可以由的图象平移得到． 如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（ ） A. 乙一定是假命题 B. 的值可唯一确定 C. 函数图象的一条对称轴为 D. 函数的图象可以由的图象伸缩变换得到 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________. 14. 函数 的单调递减区间是________． 15. 若函数是幂函数，满足，则_________． 16. 若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______． 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合． （1）若，则是否存在，使成立？ （2）对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 18. （1） （2） 19. 已知角的终边过点，求： ①；②；③ 20. 若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求图象的对称中心； （2）若，求的值． 21. 定义在上的函数满足：对任意的，都有． （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 22. 已知定义在上的函数，满足． （1）求的解析式． （2）若在区间上的值域为，写出实数的取值范围（不必写过程）． （3）若在区间上的最小值为6，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨第九中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】∵，∴， 又，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，解得， 由，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 3. 下列语句不是全称量词命题的是（ ） A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 自然数都是正整数 C. 高一(一)班绝大多数同学是团员 D. 每一个实数都有大小 【答案】C 【解析】 【分析】 由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案． 【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题． 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定义是解答本题的关键． 4. 下列对应关系是从集合到集合的函数的是（ ） A. ，，： B. ，，： C. ，，： D. ，，： 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念和对应关系进行判断即可． 【详解】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系； B. ，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系； C. ，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系； D. ，，：是函数关系. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数关系的判断，根据函数的定义确定元素之间的对应关系是解决本题的关键，属于基础题． 5. 下列式子中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误. 【详解】对于A，原式，A正确； 对于B，原式，B正确； 对于C，原式, C错误； 对于D，原式，D正确. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】∵在定义域上单调递增， ∴，即. 故选：A. 7. 已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求得函数，结合函数的单调性和零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由题意，a是函数的零点，即，解得， 所以函数， 又由在上是增函数，且，， 可得， 根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为. 故选：B. 8. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】由于二次函数（）的值域为， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】CD 【解析】 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可； 【详解】解：因为，，所以， ∴． 故选：CD 10. 下列对函数的奇偶性判断正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，逐项判断函数，判断命题的真假. 【详解】对A，，，故函数为奇函数，A正确； 对B，因为，故函数不是奇函数，B不正确； 对C，由知，，即，所以， 又，所以函数为奇函数，C不正确； 对D，由知，解得，所以， 故既是奇函数又是偶函数，故D正确. 故选：AD 11. 已知，（m是常数），则下列结论正确的是（ ） A. 若的最小值为，则 B. 若的最大值为4，则 C. 若的最大值为m，则 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可. 【详解】由已知得， ，解得，当时取等号，故A错误； ，，当时取等号，故B正确； ，，当时取等号，故C正确； 对于D， ，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误， 故选：BC. 12. 已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数的最小值为； 乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 丙：该函数的一个零点为； 丁：该函数图象可以由的图象平移得到． 如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（ ） A. 乙一定是假命题 B. 的值可唯一确定 C. 函数图象的一条对称轴为 D. 函数的图象可以由的图象伸缩变换得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁命题正确时的各个参数值，从而得到命题乙与命题丁一真一假，分两种情况进行计算可得函数解析式，然后由正弦函数的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】若甲命题正确，则． 若乙命题正确，则最小正周期，则． 若丙命题正确，则，即，． 若丁命题正确，函数图象可以由的图象平移得到，则，．故命题乙与命题丁矛盾． 由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知，命题甲与命题丙均为真命题，命题乙与命题丁一真一假． 若命题乙为真命题，则，由，，，可得， 此时； 若命题丁为真命题，则，由，，得，，又，则不存在符合条件的，不合题意． 综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题，． 故A错误，B正确． 由，，得函数图象的对称轴为，， 当时，，故C正确． 由可知，把的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标保持不变，可以得到的图象，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________. 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】由元素x满足∈N，即6可被3 - x整除，而x∈N可求得元素x的值 【详解】当x＝0时，＝2； 当x＝1时，＝3； 当x＝2时，＝6； 而x ≥ 3时不符合题意 故答案为：0，1，2 【点睛】本题考查了集合，结合自然数，以及整除的性质求集合中的元素 14. 函数 的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，1)，(1，＋∞) 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义求得函数 的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减， 同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 故答案为：(－∞，1)，(1，＋∞) 15. 若函数是幂函数，满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值. 【详解】解：函数是幂函数，设， 又，所以，即，所以，得 所以，则. 故答案为：. 16. 若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】因为， 且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为， 所以，函数的最小正周期，所以，则， 因此，. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17. 已知集合． （1）若，则是否存在，使成立？ （2）对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 【答案】（1）存在 （2）不一定存在，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素的特征即可求解， （2）根据集合中元素的特征，结合集合的运算即可求解. 【小问1详解】 设， 令，，则. 故若，则存在，使成立． 【小问2详解】 不一定存在，使，证明略. 18. （1） （2） 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）按照对数的运算性质进行计算； （2）根据分数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式 . （2）. 19. 已知角的终边过点，求： ①；②；③ 【答案】①；②；③. 【解析】 【分析】①由三角函数的定义可求出的值； ②化弦为切，将的代入即可求解； ③将化弦为切，再代入的值即可求解. 【详解】①因为角的终边过点， 所以，， 由三角函数的定义可得： ②， ③. 20. 若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求图象的对称中心； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，得出，即可求得的值. 【小问1详解】 解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得， 由，可得， 故图象的对称中心为． 【小问2详解】 解：由，， 因为， 可得， 所以． 21. 定义在上的函数满足：对任意的，都有． （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） 令，得． 设任意，则， ∴，即， ∴函数是奇函数． （2） 设，则． 由知， 且，， ∴，即，∴ 又， ∴，从而， 即，， 所以在上是减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出，再令，即可证明； （2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤证明即可； （3）转化为，再变换主次元考虑. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）函数在上是减函数， 则当时，函数 的最大值为， 若对所有恒成立， 则等价为 对恒成立，即， 设， ∴，即，解得或 22. 已知定义在上的函数，满足． （1）求的解析式． （2）若在区间上的值域为，写出实数的取值范围（不必写过程）． （3）若在区间上的最小值为6，求实数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用换元法即得； （2）由题可得，可得函数的最小值，结合条件进而即得； （3）分类讨论结合二次函数的性质即得. 【小问1详解】 ∵， 令，则， ∴， 所以； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 当时，， 解得：或， ∵在区间上的值域为， ∴； 【小问3详解】 ∵， 对称轴为， 当时，则，函数在上单调递减， 当时，函数的最小值， 解得或（舍）； 当时，则， 则此时，当时，函数的最小值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增， 当时，， 解得：或， ∵， ∴（舍），故； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $