2024年天津中考数学模拟题——25题汇编

2024年天津中考模拟题——25题汇编 1．（2024·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，），对称轴为直线，与轴交于点和点，与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，过点作交直线于点，若，求点坐标； (3)点是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线平移，点的对应点为，过点作轴于点，在平移的过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·天津河西·一模）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 3．（2024·天津滨海新·一模）已知抛物线（，为常数，且），与轴交于点，两点，与轴相交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线对称轴上一点，点的纵坐标为，若，求抛物线的解析式： (3)当时，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作直线垂直于轴，垂足为，为直线上一动点，为线段上一动点，当的最小值为时，求的值． 4．（2024·天津·一模）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 5．（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2) 已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 6．（2024·天津河北·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为，对称轴为 (1)求抛物线顶点P和点A的坐标； (2)点D为y轴上一点，连接，，若将沿所在直线翻折，点B的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标； (3)抛物线上点M在直线上方，过M作的垂线交线段于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值． 7．（2024·天津河东·一模）已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； (2)若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 8．（2024·天津南开·一模）抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接． (1)当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标； (2)当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标； (3)已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标． 9．（2024·天津和平·一模）已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 10．（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，． (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 11．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 12．（2024·天津滨海新·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方， ①当的面积最大时，求点M的坐标； ②当时，求点M的坐标． 13．（2024·天津红桥·一模）已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标． 14．（2024·天津河西·二模）已知抛物线（为常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若有点是轴上一点，连接，点是的中点，连接． 当点的坐标为，且时，求的值； 当的最小值是时，求的值． 15．（2024·天津宝坻·二模）已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为． (1)求a，c的值及抛物线顶点坐标； (2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点P的坐标； ②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 16．（2024·天津红桥·二模）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 17．（2024·天津河东·二模）已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 18．（2024·天津南开·二模）已知抛物线（其中a，b，c为常数，，）与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且点A坐标为．点在抛物线上，连接，过抛物线的顶点E作直线，交抛物线于点P，设点P的横坐标为m． (1)若时，求抛物线的解析式及点E的坐标； (2)若，求a，m的值； (3)过点P作轴交直线于点Q，连接，恰有轴，求a，m的值（直接写出结果即可）． 19．（2024·天津河北·二模）已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． (1)若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； (2)若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 20．（2024·天津西青·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 21．（2024·天津和平·二模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，与轴相交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴相交于点．直线是常数，且）与抛物线相交于点，与相交于点． (1)若 ①求点和点的坐标； ②若抛物线的对称轴与相交于点，当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，垂足为，当直线经过点，且，求抛物线的解析式． 22．（2022·山东济南·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D是点C关于抛物线对称轴的对称点．过A，D两点的直线与y轴交于点E． (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．线段PM与直线AD交于点N，当MN=2PN时，求点P的坐标； (3)若点Q是y轴上的点，且满足∠ADQ=45°，求点Q的坐标． 23．（2024·天津武清·三模）已知抛物线(为常数，)与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴相交于点． (1)若点的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，求的值； (3)若点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，当的最小值为17时，求的值． 24．（2024·天津和平·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过坐标原点，顶点P的坐标为，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线解析式和点A的坐标； (2)抛物线上有一点D，过点D作直线的垂线，垂足为点E，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l；（，为常数，）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段相交于点H，K，求的值． 25．（2018·天津红桥·二模）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PB⊥x轴于点M，交抛物线于点B,记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP, （I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长； （II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值； （III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标． 26．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵抛物线与轴有两个交点， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，与轴交于点和点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 根据题意，画图象如下： ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标为； （3）解：存在的坐标为时，为等腰三角形． ∵点是抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移，点的对应点为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作于，则， 当，即时，为等腰三角形，此时点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴当的坐标为时，为等腰三角形． 2．【详解】（1）解：点是直线上的点，其横坐标为， ． ， ①当直线轴时， 直线经过点交抛物线 于，两点， 点，的纵坐标为2． 则， 解得：， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为； ②当时， 分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，，    则， 则． 设点、， ， 整理得：． 同理，，有， ， 即， 解得：或（舍去）， 则，． 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，， 则，    由，得． 设点，点，点， 有， ． 同理，， ， ， 整理得关于的一元二次方程， 其中， 无论为何值时，关于的方程总有两个不相等的实数解， 即对于直线上任意给定的一点，在抛物线上都存在点，使成立． 3.【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， ，得． 抛物线的解析式为． ， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线与轴交于点， ，得． 抛物线的解析式为． 可得抛物线的对称轴为直线，，． 由对称性可知，点的坐标为． ，， 因为，有 解得，（舍）． 抛物线的解析式为． （3）点，点， 得直线的解析式为． 设直线与抛物线的对称轴相交于点，则． 作点关于直线的对称点，则， ． 过作，垂足为，与直线相交于点， 此时取得最小值，即． 在中，，， 由，得． 在中，，有． ． 解得． 4．【详解】（1）解∶①∵，， ∴抛物线解析式为 ， ∴点， 当时， ， 解得：，， ∵点在点左侧， ∴，； ②∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点，点， 令， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ，解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴交轴于点，与交于点， 将代入，得：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵直线过点且平行于轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）∵抛物线， 当时，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图， 作， 使，，连接， 在和中，，∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时， 有最小值，最小值为线段的长， ∴ ， ∵∵直线过点且平行于轴，，， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：或 （负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∵抛物线过，， ∴， ∴，． 5．【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 6．【详解】（1）将，对称轴代入，得解得， ∴， 顶点，即， 令，得，解得，， ∴，； （2）如图，当点在轴正半轴上时，连接， 沿所在直线翻折得到， ，对称抽与轴交于点，有， 在中，， 有，则， 在中，， ∴点的坐标为； 同理，当点在轴负半轴上时，点的坐标为； 点的坐标为或 （3）由，，得：， 设直线的解析式为，则有 ，解得， 即的解析式为：，同理的解析式为：， 点在抛物线上且在直线(即)上方，设横坐标为， 有，, ，得直线的解析式为：， 交于，联立， 得，则，有 即当时，有最大值， 即当时，有最小值． 7．【详解】（1）解：①，， 抛物线的解析式为， ， 当时，， 解得， 点在点的左侧， ，； ②∵， ∴， ，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 同理，由点，可得直线的解析式为， 令，解得， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）点在抛物线上，其中， ，得， 抛物线的解析式为， ，其中． 对称轴为直线，顶点的坐标为． 过点作于点，连接， 则，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 解得，（不符合题意的根舍去） ， 过点作轴于点，与直线交于点， 同理可得：直线为：， 则点，点， ∴，， 同理可得：， ， ， 解得．（不符合题意的根舍去） 8.【详解】（1）解：当时，点B坐标为， 将点和代入得到： ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：当时，抛物线解析式为， 将点代入得， 解得或， ， ， ， 设直线为， 将代入得， 解得， 直线解析式为， 如图，直线与x轴的交点为， ， ， 过点M作轴与直线交于点E， ， 设点，则点， ， 当时，， ， 此时点M的纵坐标=， 点M坐标为； （3）解： 点和点，点和点， 轴，，， 如图，作关于对称的线段，在上截取， 由（2）得， 根据对称性和平行的性质有， ， ， 由图可知当点在同一直线上时，最小，即最小， 此时点， ， 解得（舍负）， 此时点，点，即点和点， 将点B代入抛物线解析式，得到， ， 设直线解析式为，将点代入，得到， 解得， 直线解析式为， 将点代入得到， ， ， 作于H，则， ， 点P的横坐标为， 将代入直线解析式中， 得到， 点P的坐标为． 9．【详解】（1）解：抛物线：的顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线：与x轴相交于点， ，解得， 抛物线：， 令，则，解得，即或， ， 令，则，即； （2）解：如图所示： 由（1）知、，设直线：，则 ，解得， 直线：， 设，则， 、， ， ∵ ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：是一个定值，此定值为，理由如下： 抛物线：（是常数，）经过点， ，解得，即抛物线：， 由（1）知抛物线：， 设，且，则， ， ，， ，即在点运动过程中的比值是一个定值，此定值为． 10．【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且， ∴ 将，代入，得解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线AC的解析式为 设点P的横坐标为 则，， ∴ ∵，∴，解得， ∴； （3），， 补充求解过程如下： 设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线， 将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：      由平移的性质可知，， ∴的值最小就是最小值， 显然点在直线上运用， 作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，    ∵点C关于直线对称的对称的点是点， ∴， ∴， 设直线的解析式是： 将点，代入得：解得： 直线的解析式是： 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是 又∵， ∴平移前的抛物线的坐标是 ∴新抛物线的顶点坐标为即 11．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； （2）把代入可得， ∴， 设直线为，把代入可得：， ∴直线为， ∵，， ∴，， ∵，则轴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴． （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，而， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 如图，设，，，    则， 作关于轴的对称点，连接， ∴的最小值为的长， ∴最小值为： ， 即的最小值为． 12．【详解】（1）∵抛物线过点，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）①∵抛物线的解析式为 ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，得解得 ∴直线的解析式为． 如图①，过点M作轴，交于点Q， 设点则有， ∴当时，的面积最大，最大值为． ②∵抛物线的解析式为 ∴点D的坐标为． 如图②，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H， ∵直线为， ∴当时，． ∴． ∵， ∴． 即：． 在△与中， ∴． ∴． ∴点G的坐标为． 设直线的关系式为 由于直线经过点， 得解得 ∴直线关系式为为 将与联立方程，得 解得：（不符合题意，舍去） 当时， ∴点M的坐标为 13．【详解】（1）解∶ ∵ 点在抛物线上， ， 解得 ， ∴ 该抛物线的解析式为； （2）由得顶点 ， 如图， 过点D作轴， 垂足为E． 当时，， 可得点C的坐标为． ∴，    ； （3）如图， 过点C作， 交于点F， 过点 F作轴， 垂足为G， 设， ∵， ∴． ∴， 由 ， ， 又， ∴． ∴． 设直线的解析式为，则，解得， ∴ 直线，    即 ， 解得 (舍去) 或 ， ∴， ∴点P的坐标为． 14．【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 在中，当时，，， ∵点在轴负半轴， ∴，即， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点在轴负半轴上， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵，即， ∴， 解得或， 又∵， ∴； 由知点，，点， ∵点是轴上一点，点为的中点， ∴随着点的运动，点的运动轨迹为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时，即的最小值为， 由对称的性质可知，点的坐标为， ∵点在轴负半轴上， ∴， 在中，， 即， 解得或， ∵， ∴． 15．【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：①∵当最短时，∴，连接，过点P作于E，如图， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得， ∴； ②过点Q作交x轴于H，交y轴于G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点P在移动， ∴点Q在上移， ∵ ∴作点A关于的对称点，连接交于Q，此时，最小，最小值， 连接， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点A关于的对称点， ∴，， ∴ ∴ ∵点C关于x轴对称点为D， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当的值最小时， 的长为． 16．【详解】（1）解：由题意得 解得. 该抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点；可得 设直线的解析式为，将点，代入， 解得： 直线的解析式为， 设，点， ， 解得 点的坐标为 （3）为的中点，， ① 当点 在 上方时， 由，解得 点的坐标为或 ②当点在下方时，设与轴交于点， ， 设，则， 在中， 解得 设直线的解析式为 可得直线 的解析式为 解得：或， 当时，，当时， 的坐标为或 综上所述：点的坐标为或或或 17．【详解】（1）解：①∵是抛物线的对称轴，且 ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴时， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． ②连接并长，过P作轴，交丁点Q， 设， ∵点， ∴的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，面积有最大值， 此时． （2）∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴ 解得：． 18．【详解】（1）解：当时，，，， ∴，解得，∴ ∴顶点E的坐标为； （2）解：当时，，，， ∴，解得或或， ∵，∴， ∴，，， ∴， 设直线解析式为，∴，解得， ∴， ∵， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴； （3）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 化简得， ∵， ∴， 又， ∴，， ∴，，， ∵， ∴顶点， 设解析式为，∴，解得， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组，解得或， ∴，， ∵轴， ∴， 代入，得， 解得， 令，则， 解得，， ∴， ∵轴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 19．【详解】（1）解：①将，代入可得，即，其顶点D为， 令，得，即， 令，得，解得，即，． ②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M， 由①顶点，，，, 有，即 ∵点N在y轴正半轴，， 故在中，，即， 设直线 的解析式为：，代入， 可得：，解得：， 即直线 的解析式为， 由于点H，轴于点E，交于点F， ∴，, 在中，, ∵点P在第一象限， ∴，即，解得 （舍去），即． （2）解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴，对称轴直线，， ∴顶点坐标为即， 同（1）可得，在中，， ∴， ∵， ∴，解得：; 在中，， 在中，， 由，点F在直线：上， 则，，解得：， ∵， ∴顶点D的坐标为． 20．【详解】（1）解：把点，点坐标代入，，解得． 抛物线的解析式为 当时，有， 解得，． 根据题意知点B的坐标是． ． 顶点D的坐标是． （2）解：由点，点，点， 知，， 故． ， ． 过点B作x轴垂线，交于点E， 则． ． 又，， 有． ． 点E坐标为． 设直线解析式为． 有， 解得， 直线解析式为． 根据题意知点P是直线与抛物线的交点， 有． 解得（不合题意，舍去），， 则点P坐标为． （3）解：如图， 根据题意可知点M坐标为，点N的坐标是， 点Q坐标为， 且， 设直线解析式为解得，即， 当时，可得， 故． 由点D的坐标是， 点坐标为， 设直线解析式为解得即． 当时，可得, 故． ． 21．【详解】（1）解：①由，得拋物线的解析式为． ， 点的坐标为． 当时，．解得． 点点的坐标为． ②当时，． 点点的坐标为． 设直线BC的解析式为，有解得 直线的解析式为． 直线与拋物线相交于点，与相交于点， 点的坐标为，点的坐标为． ,其中且. 抛物线的对称轴与相交于点, 点的坐标为. ．即，解得（舍），． 的值为2． （2）解：如图，抛物线的对称轴与轴的交点为，过点作，垂足为. 点在抛物线上，其中， ．得． 抛物线的解析式为． ∴点，其中且． 顶点的坐标为． ． 当时，． 点点的坐标为． ， ∴在中，． 轴，轴， ． 又∵． 四边形是平行四边形． ． ∴，即． ． ∴在中，． ． 又轴， ． 中，， ∴． 轴， ∴在中，． ．即． ， ．即， 解得（舍）. 点的坐标为． ． 轴，轴， ． ． 在中，． ． ． ∴， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 22．【详解】（1）解：令，得， ∴解得，， ∴，． （2）解：∵点为抛物线与轴的交点， ∴点的坐标为， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线， ∴点的坐标为． 设直线的详解式为：， 把，代入得：，解得：， ∴直线的详解式为：． 如图，设点的坐标为（其中）， 则，． 当时， 可得， 解得：，（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为． （3）∵直线与轴交于点， ∴点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为． 在中，， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，，， ∴， ∴． ∴点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为， 在中，， 在中，， ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 由①可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 23．【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点为； （2）解：将代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，即， 设点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线解析式为，， ∵点为轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点， ∴，， ∴，， 作点关于对称轴的对称点，则， ∴，即， 将点向右平移个单位长度得到，则，， ∵为轴正半轴上的一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴设，则，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连接，当点、、在同一直线上时，的值最小，即的值最小，为， ∵的最小值为17， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 24．【详解】（1）∵抛物线顶点P的坐标为， ∵抛物线经过坐标原点， ∴把代入得到 解得. ∴抛物线解析式为 当时， 可得 解得 ∴点A的坐标为. （2）如图， 过点D作轴， 垂足为C， 与直线相交于点 B. ∵抛物线上有一点D， 设点D 的坐标为 则点B 的坐标为. 当时， 可得， 解得 当时， ∴直线与坐标轴的交点为. ∴ ∵， ∴. ∵轴，轴， ∴ ∴. 在中， 则 解得 ∴点D的坐标为或. （3）如图， 过点 H作， 过点 K作. ∵点 G是点 关于点的对称点， ∴点G的坐标为 ∴. ∵， ∴在中， ∵点O和点A关于对称轴对称， ∵直线l: (k， b为常数， 与抛物线只有一个公共点， 有两个相等的实数根. ∴. 即 解得 ∴直线l的解析式为， 设直线解析式为： 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 设直线解析式为 把代入， 解得 ∴直线解析式为. 解得 ∵在中， 25．【详解】解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x， 当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0）， 抛物线的对称轴为直线x=3， ∵P（1，3）， ∴B（1，5）， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C ∴C（5，5）， ∴BC=5﹣1=4； （II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0）， B（1，2m﹣1）， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m， ∴C（2m﹣1，2m﹣1）， ∵PC⊥PA， ∴PC2+AC2=PA2， ∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2， 整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=， 即m的值为； （III）如图， ∵PE⊥PC，PE=PC， ∴△PME≌△CBP， ∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1， 而P（1，m） ∴2m﹣2=m，解得m=2， ∴ME=m﹣1=1， ∴E（2，0）； 作PH⊥y轴于H，如图， 易得△PHE′≌△PBC， ∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2， 而P（1，m） ∴m﹣1=1，解得m=2， ∴HE′=2m﹣2=2， ∴E′（0，4）； 综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）． 26．【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$