精品解析：重庆巴蜀中学2022-2023学年七年级下学期数学期末模拟试题

重庆巴蜀中学2022-2023学年七年级下学期数学期末模拟 （总分150分，考试时间120分钟） 1. 在实数－3、0、、3中，最小的实数是（ ） A. －3 B. 0 C. D. 3 2. 下列调查中，最适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 检测神舟飞船各个零部件的情况 B. 调查市场上奶制品的质量情况 C. 了解某班学生的身体健康状况 D. 调查和某新冠肺炎感染者密切接触人群 3. 估算的结果在两个整数之间正确的是（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( ) A 五边形 B. 七边形 C. 九边形 D. 不能确定 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 6. 下列命题中正确有（ ）个 ①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； ④等底等高的两个三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D点，连接，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 为打造成渝地区双城经济圈，成渝高速公路在今年开始打造八车道高速公路通道，其中重庆段从重庆江北区到荣昌区全长约为，若一辆小汽车，一辆货车同时从江北，荣昌两地同时相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 的算术平方根是______． 12. 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点P(2x＋6，5x)在第四象限，则x的取值范围是_________； 14. 如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为______cm2． 15. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 16. 如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是______． 17. 若关于不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是________. 18. 如果一个四位自然数N，将它的前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定，，当为整数时，称这个四位数为“和气数”．若“和气数”（其中，，，且a，b，c为整数），且能被9整除，求出的最大值为__________． 19. 计算 （1） （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为．请按要求分别完成下列各小题： （1）把向下平移6个单位得到，画出，点的坐标是______； （2）画出关于y轴对称的，点的坐标是______； （3）在y轴上找一点P，使得它到点A和点B的距离和最小． 21. 如图，点在线段上，，，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 22. 如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求． 23. 由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了____________名学生； （2）在扇形统计图中，m的值是___________，D对应的扇形圆心角的度数是________________； （3）请补全条形统计图； （4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数． 24. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 25. 在平面直角坐标系中，点A、N位于x轴负半轴，点B、Q位于y轴负半轴． （1）如图1，连接，则________（填度数）． （2）如图2，的三个顶点坐标分别为，，．平移得到（点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点G对应） ①若点E的坐标为，点F的坐标为，求点G的坐标： ②如图3，若线段交y轴负半轴于点M，平分，平分，和相交于点P，求的度数． 26. 如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点． （1）如左图，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP＝CP； （2）如右图，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴蜀中学2022-2023学年七年级下学期数学期末模拟 （总分150分，考试时间120分钟） 1. 在实数－3、0、、3中，最小的实数是（ ） A. －3 B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为1<2<4， ∴1<<2，∴−1>->−2 ∵3>2，∴−3<−2 ∴−3<−2<<0<3 ∴其中最小的实数是−3 故选：A 2. 下列调查中，最适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 检测神舟飞船各个零部件的情况 B. 调查市场上奶制品的质量情况 C. 了解某班学生的身体健康状况 D. 调查和某新冠肺炎感染者密切接触人群 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】解：A. 检测神舟飞船各个零部件的情况，这个调查很重要不可漏掉任何零部件，适合普查，故该选项不符合题意． B. 调查市场上奶制品的质量情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项符合题意； C. 了解某班学生的身体健康状况，人员不多，且这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故该选项不符合题意． D. 调查和某新冠肺炎感染者密切接触人群，这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 3. 估算的结果在两个整数之间正确的是（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即在4和5之间， 故选B． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，关键是要理解算术平方根与平方互为逆运算． 4. 已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( ) A. 五边形 B. 七边形 C. 九边形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案． 【详解】∵多边形的每个内角都是108°， ∴每个外角是180°-108°=72°， ∴这个多边形的边数是360°÷72°=5， ∴这个多边形是五边形， 故选A． 【点睛】此题考查多边形的外角与内角，解题关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补． 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 6. 下列命题中正确的有（ ）个 ①三个内角对应相等两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； ④等底等高的两个三角形全等． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理SSS，SAS，AS A，AAS，HL，可得出正确结论． 【详解】解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错误，不符合题意； ②三条边对应相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ④等底等高的两个三角形不一定全等，错误，不符合题意． 故选B． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D点，连接，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据垂直平分线以及等腰三角形的性质求得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 8. 为打造成渝地区双城经济圈，成渝高速公路在今年开始打造八车道高速公路通道，其中重庆段从重庆江北区到荣昌区全长约为，若一辆小汽车，一辆货车同时从江北，荣昌两地同时相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小汽车和货车的速度分别为，，根据“全长约为，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行”列方程组即可． 【详解】解：设小汽车和货车的速度分别为，， 45分钟小时， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 10. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由∠AFD＝60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN（AAS）得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC（SAS），有∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，可得∠FCG＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确． 【详解】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC， ∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠BCD＝∠CAE， 在△BCD和△CAE中， ， ∴△BCD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝CE，故①正确； ②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图： ∵∠EFC＝∠AFD＝60° ∴∠AFC＝120°， ∵FG为△AFC的角平分线， ∴∠CFH＝∠AFH＝60°， ∴∠CFH＝∠CFE＝60°， ∵CM⊥AE，CN⊥HF， ∴CM＝CN， ∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE， ∴∠CEM＝∠CGN， 在△ECM和△GCN中 ， ∴△ECM≌△GCN（AAS）， ∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN， ∴∠MCN＝∠ECG＝60°， 由①知△CAE≌△BCD， ∴AE＝CD， ∵HG＝CD， ∴AE＝HG， ∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN， 在△AMC和△HNC中， ， ∴△AMC≌△HNC（SAS）， ∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC， ∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°， ∴△ACH是等边三角形， ∴∠AHC＝60°，故②正确； ③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确； ④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC， ∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH， ∵△CAE≌△BCD， ∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确， ∴正确的有：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 11. 的算术平方根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义． 12. 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据非负数性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】解：∵a，b满足， ∴，， 解得a=7，b=2， ∵，， ∴5＜c＜9， 又∵c为奇数， ∴c=7， ∴△ABC的周长为：． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 13. 在平面直角坐标系中，若点P(2x＋6，5x)在第四象限，则x的取值范围是_________； 【答案】﹣3＜x＜0 【解析】 【分析】根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负列不等式组可得出答案. 【详解】∵点P（2x-6，x-5）在第四象限， ∴ 解得：-3＜x＜0． 故答案为：-3＜x＜0 【点睛】本题考查了点的坐标、一元一次不等式组，解题的关键是知道平面直角坐标系中第四象限横、纵坐标的符号. 14. 如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为______cm2． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，解题的关键是添加适当的辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，根据三角形中线的性质可得，，则有，同理由可知，通过等量代换及的面积即可求出的面积，最后再由等量代换即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ． 故答案为：15． 15. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】####7.2 【解析】 【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示． 在中，． ∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 延长，交于F， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，进而得出，则的面积，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 17. 若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于的不等式组有且只有2个整数解， ∴， ∴， 解方程得：， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数为和， ∵， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的方法是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数N，将它的前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定，，当为整数时，称这个四位数为“和气数”．若“和气数”（其中，，，且a，b，c为整数），且能被9整除，求出的最大值为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据“和气数”的定义可得，，从而得到，，再由能被9整除，可得，从而得到，且整数，再由当a，b的值越大时，的值越大，即可求解． 【详解】解：∵“和气数”， ∴ ， ∴，， ∴， ， ∵能被9整除， ∴能被9整除， ∵，c为整数， ∴， ∴，且整数， ∴当a，b的值越大时，的值越大， ∵，，且a，b为整数， 当时，，不是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； ∴的最大值为15． 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了整式加减混合运算的应用，利用“和气数”的定义是解题的关键． 19. 计算 （1） （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】（1） （2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，算术平方根和绝对值，再进行加减计算； （2）分别求两个不等式，再找到不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 解①可得： 解②可得： ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查了实数的混合运算以及解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握实数混合运算的法则和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．请按要求分别完成下列各小题： （1）把向下平移6个单位得到，画出，点的坐标是______； （2）画出关于y轴对称的，点的坐标是______； （3）在y轴上找一点P，使得它到点A和点B的距离和最小． 【答案】（1）见解析，； （2）见解析，； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到，即可得出点的坐标； （2）依据轴对称的性质，即可得到，进而得出点的坐标； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴交点即为点P，依据两点之间，线段最短，即可得到点P到点A和点B的距离和最小． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点的坐标是； 故答案为：； 【小问3详解】 如图所示， 点P即为所求，点P到点A和点B的距离和最小． 【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 21. 如图，点在线段上，，，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 【答案】（1）详见解析 （2），，⊥DG 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形性质与判定； （1）根据题意过点作线段的垂线交于点； （2）证明，得出，，进而证明，根据等腰三角形的性质与判定，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 22. 如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键． （1）根据同角余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明； （2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， 又， ， ． 23. 由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了____________名学生； （2）在扇形统计图中，m的值是___________，D对应的扇形圆心角的度数是________________； （3）请补全条形统计图； （4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数． 【答案】（1）50；（2）30，；（3）图形见解析；（4）400人 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以A的百分比即可； （2）用B的人数除以样本容量即可； （3）求出B的人数补全统计图即可； （4）用2000乘以D的百分比即可． 【详解】（1）20÷40％=50人； 故答案为：50； （2）15 ÷50×100％=30％，即m=30； =； 故答案为：10，； （3）（人）； （4）（人）． 答：该校最喜欢方式D的学生约有400人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体． 24. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【解析】 【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案． 【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨． （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆， 依题意，得：， 解得：25≤m≤27． ∵m为正整数， ∴m可以为25，26，27， ∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25. 在平面直角坐标系中，点A、N位于x轴负半轴，点B、Q位于y轴负半轴． （1）如图1，连接，则________（填度数）． （2）如图2，的三个顶点坐标分别为，，．平移得到（点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点G对应） ①若点E的坐标为，点F的坐标为，求点G的坐标： ②如图3，若线段交y轴负半轴于点M，平分，平分，和相交于点P，求的度数． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得，再由，，即可求解； （2）①由平移的性质得，解得，则，，即平移后横坐标加1，纵坐标，即可求解；②由平移的性质得，则，，得，再由角平分线的性质求出，然后由四边形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①由平移的性质得：， 解得：， ，， 即平移后横坐标加1，纵坐标减3， ， ； ②由平移的性质得：， ，， ， 平分，平分， ，， 由（1）得：， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了直角三角形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线定义、四边形内角和定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质和平移的性质是解题的关键． 26. 如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点． （1）如左图，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP＝CP； （2）如右图，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析 【解析】 【分析】(1)将CP绕点C逆时针旋转60°，P点落在Q点，连接AQ和PQ，先证明△FAB≌△EBC，进而得到∠QPC=60°，再证明△AQP为直角三角形，∠APQ=30°，最后由直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半即可证明； (2)延长EP至点E并使得DE=PE，连接DB，同时将AP绕点A逆时针旋转60°，P点落在Q点处，证明△DBP≌△PQC(SAS)，进而得到PC=DP，由已知DP=2PE，进而得到PC=2PE． 【详解】解：(1)证明：将CP绕点C逆时针旋转60°，P点落在Q点，连接AQ和PQ，如下图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴BC=AC，∠EBC=∠FAB=60°， 在△EBC和△FAB中：， ∴△EBC≌△FAB(SAS)， ∴∠BCE=∠ABF， ∵∠QPC是△BPC的一个外角， ∴∠QPC=∠PBC+∠BCE=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∠BPC=120°， 又∵∠ACQ+∠ACP=∠PCQ=60°，∠BCP+∠ACP=∠ACB=60°， ∴∠ACQ=∠BCP， 在△ACQ和△BCP中：， ∴△ACQ≌△BCP(SAS)，∠AQC=∠BPC=120°， 又由上面已经证明∠QPC=60°， ∴△PQC为等边三角形，且∠PQC=60°， ∴∠AQP=∠AQC-∠PQC=120°-60°=60°， ∵AP⊥EC，∠QPC=60°， ∴∠APQ=90°-60°=30°， ∴∠PAQ=180°-∠APQ-∠AQP=180°-30°-60°=90°， 在Rt△APQ中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知： ， 又， ∴； (2)证明：延长EP至点E并使得DE=PE，连接DB，同时将AP绕点A逆时针旋转60°，P点落在Q点处，如下图所示： 由旋转可知：AP=AQ，又旋转角∠PAQ=60°， ∴△APQ为等边三角形，AQ=PQ=PA，∠AQP=∠APQ=60°， 且∠APF=∠APQ=60°， ∴B、P、F、Q四点共线， ∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，∠CAQ+∠PAC=∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中：， ∴△BAP≌△CAQ(SAS)， ∴∠AQC=∠APB=120°， ∴∠PQC=60°， ∵∠APQ=180°-∠APB=180°-120°=60°， ∴QC∥AP， ∵E为AB的中点， ∴AE=BE， 在△EAP和△EBD中：， ∴△EAP≌△EBD(SAS)， ∴∠D=∠DPA，DB=AP=PQ， ∴DB∥AP， ∴DB∥QC， ∴∠CQP=∠DBP， 在△DBP和△PQC中：， ∴△DBP≌△PQC(SAS)， ∴PC=DP， 又DP=2PE， ∴PC=2PE． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、等边三角形绕顶点旋转、直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半、倍长中线法等知识点，本题难度较大，熟练掌握各图形的性质及判定定理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $