精品解析：江西省新余市第四中学2024届高三下学期数学高考全真模拟（四）试题

江西新余高考全真模拟新高考Ⅰ卷练习使用（四） 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前和公式、等差数列的性质可得答案. 【详解】，故， 则. 故选：A. 2. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集与并集的性质推导即可得. 【详解】由，， 故、或、， 由，故，故C正确，D错误； 同理，、或，，故A、B错误. 故选：C. 3. 已知，则（ ）. A. B. C. D. 选项不完整 【答案】B 【解析】 【分析】将两边同时平方，利用同角间关系和二倍角公式，即可求得. 【详解】因为， 两边同时平方得：， 所以，则， 故选：B. 4. 已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有，解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 故选：B. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先判断奇偶性，然后再利用导数判断其极值点即可得答案； 【详解】因为， 所以为偶函数，故排除B项； 由，得， 显然，在区间上，， 所以，在给定区间端点处函数切斜的斜率为0，排除A、C. 故选：D 6. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 7. 已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：，根据数量积的几何意义可得，，进而结合椭圆的定义求，即可得方程. 【详解】因为，可知， 则，， 可得，，即，，则， 由椭圆定义可得，即， 且，则， 即 ，可得，， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 8. 已知空间中的两个平面与三棱锥，若，在上的正射影是边长为3且某边垂直的正方形，在上的正射影是一个等边三角形，则的体积为：（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个直四棱柱（的一部分），设底面为，不妨设后平面为，均垂直于，，利用可得答案. 【详解】如图：作一个直四棱柱（的一部分），设底面为，不妨设后平面为， 均垂直于，为等边三角形， 此时符合题意， 连接，则四边形为平行四边形， ，故， 即， 求得，则. 故选：A. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，具体按总选项个数赋予每个选项平均分，有选错的得分. 9. 若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设公比为，根据等差数列和等比数列可得，运算求解即可. 【详解】因为成等比数列，设其公比为，则， 又因为成等差数列，则， 可得，则， 整理可得，解得或或， 结合选项可知：A错误，BCD正确， 故选：BCD. 10. 近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（ ）. 月 3 4 5 6 7 甲 70 80 95 105 130 乙 55 60 70 75 85 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先计算甲和乙的平均数和方差公式，再代入总体平均数和方差公式，即可求解. 【详解】，， ，故A正确； ，， 故，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则的最大值为 B. 若，则函数始终有且仅有1个极值点且为极小值点 C. 若，则始终有且仅有1个零点 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，则，利用导数分析单调性，最值，即可判断A；若，，求导，结合图象分析导数的正负情况，即可判断B；若，求导分析单调性可得，由选项的结论可得，即可判断C；恒成立，即恒成立，当是的切线时，的值最小，设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得，构造函数，利用导数求出最小值，即的最小值，即可判断D. 【详解】，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 则，故A正确； ，， 作出与的图象， 由图可得，两支图象始终有且仅有一个交点， 即函数始终有且仅有1个极值点， 当时，在极值点左侧，的图象在的上方， 则，即，单调递减， 在极值点右侧，的图象在的下方， 则，即，单调递增， 故该极值点为极小值点，故B正确； ，， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 则， 由A项可知：的最大值为-2，故， 无零点，故C错误； 恒成立，即恒成立， 对于，要使较小，则减小，体现为直线向下平移至与相切， 所以当是的切线时，的值最小， ，， 设切点横坐标为，则， ，即， 则， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：当方程无法求解时，可利用函数与方程的关系，将方程的解转化为函数图象的交点来分析.如本题B选项中，无法求出方程的根，移项可得，方程的根可转化为函数与的图象的交点，借助图象关系来分析的正负情况. 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 已知函数.若的定义域为，则的定义域为：__________；若，的值域为，则的取值范围是：__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意结合抽象函数值域分析求解；分析可得，根据指数函数可得的值域为，结合二次函数运算求解. 【详解】若的定义域为，即，则， 所以的定义域为； 因为， 可得的值域为，则的值域为， 可得，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 13. 将抛物线绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程为：__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知旋转后所得图形仍为抛物线，且新焦点为，新准线为，结合抛物线的定义列式求解即可. 【详解】因为的焦点为，准线为，准线与x轴交点为， 旋转后所得图形仍为抛物线，且新焦点为，抛物线的对称轴为， 则新准线过点，斜率为， 可得新准线方程为，即， 由抛物线定义可得， 整理得， 所以得到的曲线方程为. 故答案为： 14. 如图，在凸四边形中，为线段上一点，，，，记的面积为，的面积为，则的取值范围为：____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用正弦定理进行边角转为，把边转为角，可得，，换元令，利用图形求其范围，进而可得的取值范围. 【详解】设，过A作（垂足为）， 在中，由正弦定理：， 即，则， 可得，， 因为，可得， 在中，，，， 在中，， 所以， ， 可得， 令，则：， 设：， 可知点在以为圆心，1为半径的右半圆上， 结合图形可知：直线的斜率， 且在内单调递增，当时，可得， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.设角，利用正弦定理进行边角转化，进而把面积问题转化为角的问题； 2.求分式的范围，常常转化为斜率问题，结合图形求其范围. 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形. （1）若二面角的大小为，求. （2）设为平面内一点，平面，求证：. 【答案】（1） （2） 分别取为中点，连接， 过作， 因为与均为边长为2的等边三角形， 所以， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 由于平面，平面平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 由于平面，平面平面， 所以， 所以， 又因为为两不同边的中垂线， 故成立. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，则可得为二面角的平面角，得为等边三角形，从而可求出； （2）分别取为中点，连接，过作，则结合已知条件可得平面，平面，所以平面平面，平面平面，再结合平面，可证得结论. 【小问1详解】 解：取中点为，连接， 因为与均为边长为2的等边三角形， 所以 ，， 所以为二面角的平面角，故， 所以为等边三角形， 所以； 【小问2详解】 略 16. 希望中学高三（8）班拟举办为期两天的气排球比赛，晏老师从体育室拿了4个排球放入球车中提供使用，4个排球中有2个新球与2个旧球，比赛当天从球车中随机取出2个球进行比赛，赛完后新球变成旧球放回球车.设第1天与第2天赛完后球车中旧球数量分别为和. （1）求的分布列与数学期望. （2）求与. 【答案】（1）的分布列为： 2 3 4 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出可取的值及相应的概率，求出可取的值及相应的概率，可得的分布列及期望； （2）求出，，由条件概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 可取的值为， ， ， ， 可取的值为， ， ， ， ， ∴的分布列为： 2 3 4 ； 【小问2详解】 ， ， . 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. （1）若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. （2）若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 【答案】（1） ，即，， 故可设，，， 设，， 联立，得，且， 所以，则， 设，易知：， 所以，， 有， 即， 所以，得，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）首先由条件得到，，并设出直线与椭圆的方程，并方程联立，利用韦达定理表示，即可判断圆过定点； （2）直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示的中点坐标，以及弦长，面积，利用基本不等式求面积的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 时，，令， 联立，得， ，， 设中点为，， ，又在轴上， 所以，得，， 由于斜率为正的渐近线为：，，故在的异支上， ，， 所以，， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键转化几何意义得到代数关系，第一问的关键是由垂直关系转化为数量积为0；第二问的关键是由平行四边形对角线互相平分，转化为坐标关系得到. 18. 已知函数，. （1）若，求证：没有极值点. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）若，存在且仅存在一条直线既是的切线又是的切线，求的值. 【答案】（1）证明如下： 因为， 则，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 故，单调递增，没有极值点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，再次求导，讨论，，可得的单调区间，进而得最小值，则，单调递增，没有极值点. （2）法一： 设，则，当时，，讨论当，时，，即成立，所以. 法二： 题意等价于，令，， 再令，则，可得单调递增， 进而得在单调递减，在单调递增， 又可解，故，可得 . （3）设与和分别切于、，则：， ，由于重合，可得，令：，， 令：，即：，讨论当，时，，又在单调递增，故，则，讨论可得是的最大值点，时有：时只有唯一解，故. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一： 设， 则，当时，， ①，则，单调递增，又，当时，，没有恒成立，舍去， ②，令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，即成立， 综上：. 法二： 题意等价于，令，， 再令，则， 令，则，故单调递增， ，故单调递增， 所以，又当时，，故存在唯一使， 于是在单调递减，在单调递增， 又可解，故，所以 . 【小问3详解】 由，， 则，， 设与和分别切于、， 则， ， 由于重合，故有， 解②得：代入①得：， 则方程③只有1个解，其中. 令，， 令，即， 当时，，等式不成立， 当时，对原式移项取对数化简后得, ， 又易知在单调递增，故，即④， 当时，当时，当时，， 所以，1）当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 2）当时，，单调递减， 当时，，，故， 又，由④得,， 所以是的最大值点，时,时，③只有唯一解，故. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数值或范围的方法，不等式恒成立，一种方法利用导数求得，然后由转化为关于参数的不等式，从而求得参数范围或值，另一种方法是分离参数，化不等式不，由导数求的最大值，然后解不等式可得． 19. 已知项数为的有穷数列的各项取遍中的所有整数，我们称该数列为“规范的”.对于一组规范列，从的第1项开始，取第1个符合题意的项，使不是的最大项，然后依次删除、第1个超过的项、第1个超过的项、，直到无法删除为止称为的1次“变换”.变换后剩余项按其相对位置不变构成新数列（新数列也许可以再次进行变换，则继续进行下去），直到最后剩下1项或1组递减数列统称为的“保留列”（若最终没有剩下任何一项则称是“不可保留的”，在此我们不研究这类数列），记保留列的项数为，若变换进行的次数为且，则称是“饱和的”（其中：表示不超过的最大整数）. （1）已知规范数列：5，3，2，1，4，6.求出其保留列并判断它是否为饱和的；若交换其第5、6项或交换其2、3项，请直接判断其是否为饱和的. （2）若为饱和的规范列，它的项数与其保留列项数满足为正偶数： （i）证明：任意规定的第项为其保留列，总至少存在个符合题意的（其中：）. （ii）若，对每一组任意给定的，求使的项最多有几个（用含的代数式）. 【答案】（1）保留列：2，1.. 是饱和的；5、6项交换：饱和的；2、3项交换：不饱和的 （2） （i）由题每一次变换至少删除2项，所以饱和的规范列的每次变换都能且只能删除2项， 不妨设为保留列，剩下的项按相对位置不变构成新数列， 由于为偶数，故，应删除的总项数为， 故中有项，取，中任取一项， 则第一次变换应删除；再取为剩余项的第1项，令， 再从剩下的项中取一项， 则第二次变换删除的项为； 再取为剩余项的第1项，令，剩下的项中取一项，...，以此类推，这样就得到了一组， 接下来将数列插入（从第一项开始插入）中：项只有2种情况： ①是的第一项，那么令，中其他项均减1； ②不是的第一项，那么令为前面所有项的最小值减1，原本所有不超过的项减1， 这样就构造出了一组，由的取法，共有至少存在个符合题意的. （ii）项数至多为 【解析】 【分析】（1）根据题意以及题中的相关定义即可得解. （2）（i）设为保留列，剩下的项按相对位置不变构成新数列，由为偶数得，得应删除的总项数为，从而得中有项，取，中任取一项，则第一次变换应删除，接下来依次取为剩余项的第1项，令，于是得到了一组，接下来将数列插入（从第一项开始插入）中分情况即可构造出了一组，进而结合的取法即可得证. （ii）先设保留列为，，，，，，，接着结合题意得到对每一组任意给定的，使的项有个项，再用反证法证明项数为是最多的即可得解. 【小问1详解】 由题意第一次剩下：3，2，1，4，第二次剩下：2，1，结束， 所以数列2，1是数列5，3，2，1，4，6的保留列. 又，是饱和的， 5、6项交换， 饱和的；2、3项交换：不饱和的. 【小问2详解】 （i）略 （ii）先不妨设保留列为，，，，，，， ，，， 这时，，除外其他项均满足：，故有个项， 将与的数值交换位置得到成立的情况， 再将与的数值交换位置得到成立的情况，， 将与的数值交换位置得到成立的情况， 当为奇数时先取同理可得这些情况， 由于，所以得到了取定时所有符合题意的情况， 再证明项数为是最多的： 由于第一项一定不满足题意，于是假设若有个项满足条件， 那么除第一项外剩余项均应有：， 则：，， 而故，以此类推得：， 这时：，变换只进行1次，剩余项，与矛盾，故：个项不成立， 即项数至多为. 【点睛】方法点睛：解答新定义类题型的基本思路是： （1）正确理解新定义； （2）面对全新定义的规则要结合所学的知识、经验将问题转化成熟悉的问题或情境； （3）在新的规则运算过程中，可结合数学中原有的运算和运算规则进行计算或逻辑推理，从而达到解答的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西新余高考全真模拟新高考Ⅰ卷练习使用（四） 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）. A. B. C. D. 选项不完整 4. 已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个. A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A. B. 1 C. D. 7. 已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（ ）. A. B. C. D. 8. 已知空间中的两个平面与三棱锥，若，在上的正射影是边长为3且某边垂直的正方形，在上的正射影是一个等边三角形，则的体积为：（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，具体按总选项个数赋予每个选项平均分，有选错的得分. 9. 若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（ ）. A. B. C. D. 10. 近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（ ）. 月 3 4 5 6 7 甲 70 80 95 105 130 乙 55 60 70 75 85 A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则的最大值为 B. 若，则函数始终有且仅有1个极值点且为极小值点 C. 若，则始终有且仅有1个零点 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 已知函数.若的定义域为，则的定义域为：__________；若，的值域为，则的取值范围是：__________. 13. 将抛物线绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程为：__________. 14. 如图，在凸四边形中，为线段上一点，，，，记的面积为，的面积为，则的取值范围为：____________. 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形. （1）若二面角的大小为，求. （2）设为平面内一点，平面，求证：. 16. 希望中学高三（8）班拟举办为期两天的气排球比赛，晏老师从体育室拿了4个排球放入球车中提供使用，4个排球中有2个新球与2个旧球，比赛当天从球车中随机取出2个球进行比赛，赛完后新球变成旧球放回球车.设第1天与第2天赛完后球车中旧球数量分别为和. （1）求的分布列与数学期望. （2）求与. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. （1）若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. （2）若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 18. 已知函数，. （1）若，求证：没有极值点. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）若，存在且仅存在一条直线既是的切线又是的切线，求的值. 19. 已知项数为的有穷数列的各项取遍中的所有整数，我们称该数列为“规范的”.对于一组规范列，从的第1项开始，取第1个符合题意的项，使不是的最大项，然后依次删除、第1个超过的项、第1个超过的项、，直到无法删除为止称为的1次“变换”.变换后剩余项按其相对位置不变构成新数列（新数列也许可以再次进行变换，则继续进行下去），直到最后剩下1项或1组递减数列统称为的“保留列”（若最终没有剩下任何一项则称是“不可保留的”，在此我们不研究这类数列），记保留列的项数为，若变换进行的次数为且，则称是“饱和的”（其中：表示不超过的最大整数）. （1）已知规范数列：5，3，2，1，4，6.求出其保留列并判断它是否为饱和的；若交换其第5、6项或交换其2、3项，请直接判断其是否为饱和的. （2）若为饱和的规范列，它的项数与其保留列项数满足为正偶数： （i）证明：任意规定的第项为其保留列，总至少存在个符合题意的（其中：）. （ii）若，对每一组任意给定的，求使的项最多有几个（用含的代数式）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $