精品解析：广东省佛山市南海区里水镇和顺第一初级中学2023-2024学年九年级信心供题训练

广东省佛山市和顺一中2023-2024学年九年级信心供题训练 一、单选题 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1 9. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，的延长线交直线于点E，连接．若，，则的长度是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 化学元素钌（）是除铁（）、钻（）镍（）以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钌（）的原子半径为，用科学记数法表示为________． 12. 分解因式：a3－a=___________ 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点M，的面积为3，则这个反比例函数的解析式为______． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 15. 在中，，点P是的内心，连接，，延长交于点，若，，则的长为 ___________． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，时，求的长． 18. 正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 19. 中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据中商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整； ②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是　　万台． （2）小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率． 20. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 21. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 22. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°． 如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：． 如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市和顺一中2023-2024学年九年级信心供题训练 一、单选题 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的茶杯（茶口的直径与托盘的直径相同），则这只茶杯的俯视图大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：∵茶口的直径与托盘的直径相同， ∴俯视图如选项B所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答． 【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意； B项，，原计算错误，故本项不符合题意； C项，，原计算错误，故本项不符合题意； D项，，原计算错误，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 6. 如图所示，在正五边形中，过点，作平行线，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，根据多边形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则与的周长之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶9 D. 3∶1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴与的周长之比为， 故选：B． 9. 如图，是的直径，是的切线，C为切点，的延长线交直线于点E，连接．若，，则的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，连接，由切线的性质得，则，所以，则，可证明，是等边三角形，则，，，再证明，所以，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵与相切于点C，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质可得，进而可得，设，则，利用勾股定理可得，进而可求解． 【详解】解：根据等角的余角相等，得：， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理，得：， 解得：， 则矩形的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 11. 化学元素钌（）是除铁（）、钻（）镍（）以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钌（）的原子半径为，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：由题意，用科学记数法表示为：， 故答案为：． 12. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点M，的面积为3，则这个反比例函数的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上点与坐标轴垂线及原点围城三角形面积等于直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，轴于点M，的面积为3， ∴， 解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上点与坐标轴垂线及原点围城三角形面积等于． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 15. 在中，，点P是的内心，连接，，延长交于点，若，，则的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，由，，求得，因为，所以，由点是的内心，得平分，则，求得，由，得，则，作于点，于点，于点，连接，设，则，求得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，则， ，，， ，， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ， 作于点，于点，于点，连接，则， 设， ， ， 解得， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、三角形的内心的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及实数的混合运算： （1）本题涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值，计算时针对每个考点依次计算； （2）先把原式化简，化为最简后，再把x的值代入，注意计算出x的值． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 17. 如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得到四边形是平行四边形，根据平行加角平分线，得到，即可得证； （2）证明，列出比例式，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 【答案】16cm 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的定义求解． 【详解】解：由题意：，， 答；笔杆顶部离纸面竖直高度BC的长为16cm． 【点睛】本题考查锐角确函数的定义及解直角三角形知识；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19. 中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据中商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整； ②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是　　万台． （2）小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率． 【答案】（1）①补充统计图如下： ②2 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键； （1）①由星星充电10万台充电桩占比求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案； （2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：①公共充电桩的总数为（万台）， ∴“国家电网”的公共充电桩数量为（万台）， “国家电网”的公共充电桩的市场份额为； ②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台． 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2， 所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率． 20. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒产品的成本为30元 （2）当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 【小问2详解】 根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 21. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 【答案】 （1）作图如图所示： （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴是的切线； （3）6． 【解析】 【分析】（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可； （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可； （3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、切线的证明和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算． 22. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：变化量分别为，；；；； 任务2：； 任务3：（1）， （2）； 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【解析】 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：略 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°． 如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：． 如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式． 【答案】 25； 证明：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时， ，，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】图1：由余角的性质和折叠的性质可求解； 图2：由“”可证，可得，，由锐角三角函数可求解； 图3：由“ ”可证，可得，，由锐角三角函数可求解； 【详解】解：如图1，，， ， 将沿直线折叠后，点落在点处， ， ； 如图2，略 如图3，解：将沿直线折叠后，当点恰好落在上时， ，，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $