精品解析：安徽省安庆市第七中学2023-2024学年高二下学期4月数学同步测试卷

安庆七中2023-2024学年高二数学同步测试卷 注意事项： 1．本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟； 2．答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效； 3．考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸． 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数在处取得极值5，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值5， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：A 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确； 故选：D 3. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可. 【详解】对进行求导，可得， 将代入整理，① 将 代入可得，即， 将其代入① ，解得：，故得. 于是，由可得或，因， 故当时，，当时， ， 即是函数的极小值点，函数没有极大值. 故选：D. 4. 有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 5. 已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可. 【详解】由已知，又， 则点A到平面的距离为. 故选：D. 6. 已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离为的最小值，此时也最小,四边形的面积也最小，即可求解. 【详解】由题意知，圆C：的圆心,半径， 因为与是圆C：的两条切线， 所以， , 则， 当最小时，也最小, 又点是直线上一动点， 故圆心到直线的距离，为的最小值， 此时， 则此时四边形的面积也最小， 最小值为. 故选：C. 7. 设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解,,进而根据数列的单调性求解. 【详解】，即. 因此数列单调递增， 故当取得最小值时，的值为8. 故选：B. 8. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B. 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的运算公式判断A，根据排列数公式判断BC，根据组合数性质及运算公式判断D. 【详解】因为，所以A正确； 若，则，所以B错误； 若，则，所以C正确； 因为， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为方程所表示的曲线为， AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确； B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确； D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误. 故选：AD. 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知为正整数，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得. 故答案为：. 13. 过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的几何特征得到,，再由求解即可. 【详解】结合题意：当时，可得到,， 所以， 因为,所以，即， 整理得，即， 解得：. 故答案为：. 14. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】由，，成等差数列可得，利用通项公式代入求出公比，再由等比数列求和公式即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为，且各项均为正数， 所以解得， 所以. 故答案为：15 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的通项公式，其前项和为． （1）若，求正整数； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证得是等差数列，从而利用等差数列的求和公式求得，由此得解； （2）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 由，知， 所以数列是首项，公差的等差数列， 则， 令，解得或， 因为是正整数，所以. 【小问2详解】 ， 所以 ， 即数列的前项和． 16. 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 【答案】（1）1440 （2）25 （3）1200 【解析】 【分析】（1）采用插空法进行求解即可； （2）采用去杂法进行求解即可； （3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种. 【小问2详解】 由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有 共有邀请方法数为种. 【小问3详解】 有两类不同情形： ①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种； ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人， 其方法数为种. 所以共有种不同的安排方法. 17. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 18. 已知抛物线：的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限： （1）若直线的斜率为，求的值； （2）求线段的长度的最小值． （3）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立方程组，解方程组求的坐标，结合焦半径公式求结论； （2）设直线AB的方程为，联立方程组，化简求弦长，再求其最值； （3）设的坐标为，结合基本不等式求的最大值，确定的坐标，再求的方程. 【小问1详解】 抛物线的焦点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立方程组可得，消去y， 得，则， 由点在第一象限，则， 所以，，故，， 所以． 【小问2详解】 由已知，直线的斜率不为，故可设直线的方程为， 联立，消去，得，显然， 所以，， 故 当且仅当时等号成立，故线段的长度的最小值为． 【小问3详解】 设的坐标为，又， 则， 因为点N在抛物线C：上，即有：， 所以 当且仅当即时等号成立，此时，， 所以直线的方程为：. 【点睛】方法点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 19. 函数. （1）若函数在区间上单调递增，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数在区间上的单调性. （3）当时，证明：当时，. 【答案】（1） （2）当时在区间上单调递减，当时在区间上单调递减，在上单调递增. （3） 证明：当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求导函数，依题意在上恒成立，分离参数，构造函数，求解函数最大值即可求解. （2）利用导数求出函数的单调区间，然后分类讨论求解即可. （3）把所证不等式转化为，构造函数，利用导数求解其最大值即可证明. 【小问1详解】 因为，则， 依题意在上恒成立，所以在上恒成立， 令，，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即a的取值范围为. 【小问2详解】 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时在区间上单调递减， 当时在区间上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以，即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆七中2023-2024学年高二数学同步测试卷 注意事项： 1．本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟； 2．答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效； 3．考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸． 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数在处取得极值5，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 3. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 5. 已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 7. 设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知为正整数，且，则__________. 13. 过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是_________. 14. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 _____． 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的通项公式，其前项和为． （1）若，求正整数； （2）若，求数列的前项和． 16. 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 17. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线：的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限： （1）若直线的斜率为，求的值； （2）求线段的长度的最小值． （3）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程． 19. 函数. （1）若函数在区间上单调递增，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数在区间上的单调性. （3）当时，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $