精品解析：河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题

2024-2025学年高二上学期8月试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算计算即可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，则∠C＝（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求得. 【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，， 利用正弦定理：，整理得， 所以B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝75°，当B＝120°时，C＝15°． 故选：D． 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的意义即可得解. 【详解】依题意，，则， 所以的虚部为. 故选：A 4. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 5. 已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式. 【详解】由图知，，则. 由图知，在取得最大值，且图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 故选：D . 6. 已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，， 因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 7. 已知正四棱台体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为， 故 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，舍去， 综上所述，，所以. 故选：A. 8. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对B，第75百分位数得到位于内，代入公式可计算第75百分位数值；对C，分数在区间内的频率为0.2可判断；对D，用分层随机抽样可得区间应抽取60人，即得到答案. 【详解】对A，平均成绩 为，故A错误； 对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内， 则第75百分位数，故B正确； 对C，分数在区间内的频率为，故C正确； 对D，区间应抽取人，故D错误 故选：BC 10. 如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；求出线面角的正弦判断B；把正方形与正方形置于同一平面内，求出线段长判断C；求出点的轨迹判断D. 【详解】对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形， ，由点、分别为、的中点，得，平面， 平面，因此平面，A正确； 对于B，连接，则，由平面，平面， 得，又平面，则平面， 过作交于，连接，于是平面， 是直线与平面所成的角，，， ，B错误； 对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧， 连接，则的最小值为，C正确； 对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形， ，取中点，连接交于，连接， 由，得四边形是平行四边形，，为的中点， 由平面，平面，得，又， 平面，则平面，而平面， 则，同理，因此，而， 平面，于是平面，又，则平面， 又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段， 而，所以点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 11. 设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B. 若，（且），则直线AD经过的垂心 C. 若，且x，，，则是面积的一半 D. 若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，化简等式成，即可判断；对于B，将等式两边与作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，化简向量等式，利用单位向量作出即得菱形，推得，即得结论. 【详解】对于A，由可得，， 即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确； 对于B，因，则 ，即，故直线AD经过的垂心，即B正确； 对于C，因， ，则， 设，则，因，故三点共线， 如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半， 故是面积的一半，即C正确； 对于D，由可得，， 如图2，取，则有，以为两邻边作， 易知是菱形，故平分，且故得，， 故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题. 对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据用余弦定理得到，再结合正弦定理化简得，从而可得，则化为，利用对勾函数单调性求解范围即可. 【详解】由余弦定理得，将代入，则， 故，又由正弦定理得，且， 整理得，因为，故或（舍去）， 得，于是， 由于，则，而函数在上单调递增， 所以，即. 故答案为： 13. 在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得. 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 14. 已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，得即二面角的平面角，作出四面体的外接球球心，证明四点共面，依次求出，继而求得外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积的求法，属于难题. 解题思路是通过二面角的两个半平面三角形找到四面体的外接球球心，通过证明四点共面，利用二面角的度数，求出相关边长即可求得外接球半径. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P是与的交点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明； （2）根据向量法即可求二面角夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接， 因为分别是的中点，P是与的交点， 所以为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以平面平面； 【小问2详解】 因为，，所以是等边三角形， 取的中点为，连接，则，， 又因为平面底面且交线为，所以底面， 因为，，，所以， 所以，所以， 所以取的三分之一等分点，，连接，则 以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， 令，则，所以， 同理可得，， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值. 16. 2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出的值，根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （2）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解得， 则， ， ， 设第80百分位数为，则， ，解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问2详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故第二组和第四组所有面试者面试成绩的方差为. 17. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果. 【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手” 则， 事件与相互独立，与相互独立 则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手” 即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是 （2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则 依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥 故“”的事件的概率为 【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【小问1详解】 由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. 【小问2详解】 ，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂及辅助角公式化简得到，利用正弦型函数的单调性即可解决; （2）利用得到，根据三角形的面积公式得到，再利用正弦定理表示出边，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 令,解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 结合（1）问，因为 所以,即， 所以，即. 因为在锐角中，,所以. 因为，所以. 在中,由正弦定理可得，即， 在中易得, , 因为为锐角三角形，且，且易得， 所以，得，所以， 易得，即， 所以. 故面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期8月试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A B. C. D. 2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，则∠C＝（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数一段图象过点，如图所示，则函数（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置距离相同，则 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点为的中点，则平面 B. 连接，则直线与平面成角正弦值为 C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 11. 设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B. 若，（且），则直线AD经过的垂心 C. 若，且x，，，则是面积的一半 D. 若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为______. 13. 在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______. 14. 已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为______． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P是与的交点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 17. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 18. 如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． （1）证明：； （2）求异面直线BM与AD所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对边分别为，，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$