精品解析：广东省高州市第一中学2024届高三下学期5月考前热身训练数学试题

高州一中高三级考前热身训练数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 4. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面上直线l的方向向量点，点和在l上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数，若在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B. 乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C. 丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D. 丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值_________． 14. 已知，若直线与有个交点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 17. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 18. 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． （1）求随机变量X的分布列及数学期望； （2）各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州一中高三级考前热身训练数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合，根据对数函数的定义域和单调性，解得，所以. 【详解】由题意可得，，故. 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求，从而可求. 【详解】由题设有，故，故， 故选：D 3. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 5. 已知平面上直线l的方向向量点，点和在l上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用向量共线定理即可求解. 【详解】因为和，所以， 所以在l上的投影满足：. 又由与的方向相反, ， 故由得：. 故选：D 6. 已知圆和点，若过点的5条弦的长度构成一个等差数列，则该数列公差的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 【详解】由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长10， 从而公差. 故选：C 7. 已知函数，若在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象及性质可得，，进而即得. 【详解】∵在上没有零点， ∴， ∴ ， 由，可得， ∴，，又， ∴或， 即的取值范围是. 故选：A. 8. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，得到第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，结合条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率， 第一次取黑球，第二次取黑球的概率； 第一次取黑球，第二次取白球的概率，所以A错误； 第一次取白球，第二次取黑球的概率，所以B正确； 第一次取白球，第二次取白球的概率， ；， 所以，所以C错误； 由，所以D正确. 故选：BD. 10. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B. 乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C. 丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D. 丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD. 【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，且至少出现次， 故，A正确； 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，， 取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误； 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 由已知， 所以， 若，则， 所以，矛盾， 所以，， 因为的平均数为，所以， 取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误； 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为， 若，则，故，矛盾， 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确； 故选：AD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 已知半径为的球，在球内有一内接圆台，圆台的一个底面为球的大圆，则该圆台侧面积的最大值_________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆台的上底面半径，将圆台侧面积表示为上底面半径的函数，求导确定单调性从而求出圆台侧面积的最大值进而求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，母线长为（如图所示）， 则． ， ． 设，其中， 则，令，则（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减． 所以的最大值为，所以圆台侧面积的最大值为， 故答案为： 14. 已知，若直线与有个交点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值. 【详解】当时，，即，， 当时，，所以可得函数周期为2， 画出函数图象，如图所示： 若直线与有个交点， 根据图象知，直线与第个半圆相切其圆心为 不妨设切点为，连接， 所以在中，， ，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【点睛】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 17. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为． 联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 18. 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． （1）求随机变量X的分布列及数学期望； （2）各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 4 （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）列出随机变量的可能取值，并根据超几何分布计算每个可能取值的概率，并计算分布列和数学期望； （2）①根据第三次交流中甲被选择，第二次交流中甲未参与，计算概率即可；②根据第次被选择的概率，第次未被选择的概率，得出数列递推公式，再通过数列计算通项即可. 【小问1详解】 由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以随机变量的数学期望． 【小问2详解】 ①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为． 其他三名同学被选择的概率相等． 比赛由甲同学起稿建立模型， 第三次交流中甲被选择， 所以第二次交流中甲未参与． 设“第三次交流中甲被选择”， 则． ②第次交流中甲被选择， 则第次交流中甲未被选择． 设第次交流中甲被选择的概率为． 则， 所以，且． 所以， 所以． 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）在上单调递增； （2）①； ②证明：由函数有两个零点，所以， 令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根， 只需证明， 不妨令，由得， 要证，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间； （2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解； ②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 【小问2详解】 ①因为函数，可得， 令，解得， 设，可得， 因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，故可作出的大致图象，如图所示， 结合图象可得，，即实数的取值范围为． ②略 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $