精品解析：2024年江苏省盐城中学北校区中考数学二模试题

2024年江苏省盐城中学北校区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意； C、图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 3. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了俯视图，掌握从上往下看是俯视图成为解题的关键． 根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：从上方观察，可得其俯视图为 ． 故选：C． 4. 2024年，盐城市中考考生约75700人，数据75700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将75700用科学记数法表示为： 故选：C． 5. 下列选项中计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. 36° B. 54° C. 62° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°， ∴∠D＝180°−∠B＝180°−108°＝72°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 7. 如图，矩形中，，，则矩形的对角线的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 根据矩形的性质得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴． 故选：B． 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．由点，关于轴对称，可排除选项A，C，再根据，，可知在轴的右侧，随的增大而增大，从而排除选项B． 【详解】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项A，C不符合题意； 由，，可知在轴的右侧，随的增大而增大，故选项B不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题（答案见公众号：绿爱生活本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 数据1，2，2，3，2，4的众数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据众数的定义直接解答即可． 【详解】解：∵2出现了3次，出现的次数最多， ∴数据1，2，2，3，2，4的众数是2； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数． 10. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 11. 如图，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴, ∴， 故答案为： 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键． 13. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，列一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ， ， 当时，， 即当时，的值为． 故答案为：16． 16. 如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有． 【详解】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． 三、解答题（答案见公众号：绿爱生活．本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，正确计算是解题关键．先分别化简负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数和二次根式，然后再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，将解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算与求值法则的应用，主要考查计算与化简能力．根据乘法公式与单项式乘多项式法则先去括号，后合并同类项化简，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩． （1）小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为 ； （2）小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图进行概率的计算，列出所有的可能是求解的关键． （1）根据概率的定义即可求解； （2）用列表法列出所有可能的组合，然后根据概率的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好是珠溪古镇的结果有1种， ∴小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为； 【小问2详解】 解：将大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的结果有：，，共2种， ∴选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率为． 21. 为了解学生每周做家务劳动的时间，某校实践小组随机调查若干名学生，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 部分学生平均每周做家务劳动时间的人数统计 组别 时间 频数 7 30 13 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）表格中a的值为 ；D组所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）已知该校有1500名学生，若每周家务劳动时间1.5小时以上（不含1.5小时）可评为“劳动之星”，请估计全校可评为“劳动之星”的人数； （3）为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，结合以上统计数据，请你面向全体同学写出一条建议． 【答案】（1）50， （2）645人 （3） 解：大部分学生每天做家务劳动的时间较少，建议同学们增加做家务劳动的时间，积极参加劳动实践，增强综合实践能力（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图，样本估计总体，理解统计图、表中数量之间的关系是正确解答的关键． （1）由组频数及百分比求出样本容量，结合频数分布表可得的值，再由乘以组百分比即可求解； （2）用总人数乘以样本中、组百分比之和即可得出答案； （3）结合以上统计数据，面向全体同学写出一条建议即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为：， 则， 组所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：（人， 答：估计全校可评为“劳动之星”的人数为645人； 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，过点O作于E． ，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证； （2）先证明四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形，由即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，不规则图形的面积，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 23. 学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． 请从①篮球的单价是足球单价的3倍；②足球的单价是篮球单价的2倍；③篮球的单价比足球的单价贵60元；这3个选项中选择一个作为条件（填序号），并求出足球的单价． 【答案】①；足球的单价为30元 【解析】 【分析】设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：选择①篮球的单价是足球单价的3倍，理由如下： 设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即足球的单价为30元， 故答案为：①（答案不唯一）． 24. 我们在物理课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象，如图1，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得．（参考数据：，，． （1）求入射角的度数； （2）若，求光线从空气射入水中的折射率n． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意求出值是关键． （1）作法线，根据平行线性质可得入射角的度数； （2）利用勾股定理可得长，继而得到，解直角三角形可得，继而得到值，根据折射率公式计算即可得到值． 【小问1详解】 解：如图2，法线过点， ，， ， ， ． 【小问2详解】 在中，， ， ， ，， ， ， ， ． 25. 问题情境： 在综合实践课上，吴老师和鹿鸣学堂“数理时空”社团的同学们一起研究了对角相等的六边形，发现：如图1，在六边形中，若，，，则有，，，请结合图1，证明：． 问题探究： 小铭和小红对图1的六边形进行了特殊化，发现了以下两个结论： 结论1：如图2，若，则有：，． 结论2：如图3，若对角线、、交于点，则对角线平分六边形的面积，请证明小铭和小红发现的两个结论． 【答案】证明：问题情境：如图1，连接，， ，，，， ， ， ， ； 问题探究：结论1：如图2，连接，， ，， 为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，； 结论2：连接，，交于点， ， ， ， ，， ， ， 同理，， ， 同理，，， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， 对角线平分六边形的面积． 【解析】 【分析】问题情境：如图1，连接，，根据四边形的内角和，六边形的内角和证明，进而可以解决问题； 问题探究：结论1：如图2，连接，，得为平行四边形，然后证明，得，； 结论2：连接，，交于点，证明，得，同理可得，，，然后证明，同理，，进而可以解决问题． 【详解】略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了四边形的内角和，六边形的内角和，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 26. 【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题 如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题： （1）若，则 （结果保留根号）； （2）　　（填“”、“ ”或“” ． 【初步探究】 （3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由． 【深入探究】 （4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）； （3）小明猜想点在矩形的对角线上，小明的猜想正确，理由： 连接，，过点作，交于点，交于点，如图， 则四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， ，，，，， 四边形为正方形， ， ， 点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， ， ． ， ， ， 点，，在同一直线上， 点在矩形的对角线上； （4）如图，点为所求的点 【解析】 【分析】（1）利用黄金分割比解答即可； （2）利用黄金分割的性质得到：设，则，，利用矩形的性质，正方形的性质和矩形的面积公式解答即可； （3）连接，，过点作，交于点，交于点，利用黄金分割比的性质和相似三角形的判定与性质得到，再利用平角的定义解答即可； （4）利用线段垂直平分线的性质，勾股定理解答即可得出线段的黄金分割点；再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：（1）点是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 故答案为：； （2）点是线段的黄金分割点，且， ． 设，则，． ，， ， 故答案为：； （3）略 （4）作法：①．过点作于点， ②．过点作的垂线，在此垂线上截取， ③．连接，以点为圆心，为半径画弧交于点， ④．以点为圆心，以为半径画弧，交于点，则点为的黄金分割点． ⑤．以点为圆心，以的长为半径画圆交圆于点， ⑥．连接，，则点为所求的点． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的黄金分割，相似三角形的判定与性质，基本作图，矩形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的性质是解题的关键． 27. 已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点． （1） （填“”或“”）； 当时，求的值； （2）若点和点也在二次函数图象上，且，． 求的取值范围； 若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解； 依据题意，当时，可得抛物线的对称轴是直线，于是得解； （2）依据题意，由，且，可得，结合点在轴下方，点在轴上方，可得二次函数的图象与轴有两个交点，又因图象过点，从而可判断是抛物线与轴右侧的交点，故，又因点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，从而左侧交点坐标为，结合在轴上方，则，从而，再依据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合在轴下方，且，可得，进而可以得解； 依据题意，点，都在二次函数图象上，且，又因，从而在点的右方和上方，又因，故点在对称轴右侧，结合二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，从而必在对称轴左侧，即有，故，再由得点更靠近对称轴，可得，又因，，得，结合，于是有，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线开口向下， ， 故答案为：； 当时， 抛物线的对称轴是直线， ； 【小问2详解】 解：由题意，，且， ， 点在轴下方，点在轴上方， 二次函数的图象与轴有两个交点， 图象过点， 当为抛物线与轴左侧的交点时，则时，二次函数的图象均在轴下方，此时点，两点也都在轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而是抛物线与轴右侧的交点， ， 又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称， 左侧交点横坐标为， 左侧交点坐标为， 又在轴上方，于是有， ，即， 在轴下方，且， 又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， ， 综上，； 依据题意，点，都在二次函数图象上，且， 又， 在点的右方和上方， 又， 点在对称轴右侧， 又二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小， 必在对称轴左侧， ， ， ， 由得点更靠近对称轴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 或， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一次不等式，求绝对值，解一元二次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省盐城中学北校区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年，盐城市中考考生约75700人，数据75700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. 36° B. 54° C. 62° D. 72° 7. 如图，矩形中，，，则矩形的对角线的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（答案见公众号：绿爱生活本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 数据1，2，2，3，2，4的众数是_____． 10. 使有意义的x的取值范围是______． 11. 如图，，，，，则的长为______． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________． 13. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 14. 重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计六月份将提供岗位1800个，设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为_____． 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 16. 如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是______． 三、解答题（答案见公众号：绿爱生活．本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩． （1）小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为 ； （2）小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率． 21. 为了解学生每周做家务劳动的时间，某校实践小组随机调查若干名学生，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 部分学生平均每周做家务劳动时间的人数统计 组别 时间 频数 7 30 13 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）表格中a的值为 ；D组所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）已知该校有1500名学生，若每周家务劳动时间1.5小时以上（不含1.5小时）可评为“劳动之星”，请估计全校可评为“劳动之星”的人数； （3）为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，结合以上统计数据，请你面向全体同学写出一条建议． 22. 如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 23. 学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． 请从①篮球的单价是足球单价的3倍；②足球的单价是篮球单价的2倍；③篮球的单价比足球的单价贵60元；这3个选项中选择一个作为条件（填序号），并求出足球的单价． 24. 我们在物理课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象，如图1，记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得．（参考数据：，，． （1）求入射角的度数； （2）若，求光线从空气射入水中的折射率n． 25. 问题情境： 在综合实践课上，吴老师和鹿鸣学堂“数理时空”社团的同学们一起研究了对角相等的六边形，发现：如图1，在六边形中，若，，，则有，，，请结合图1，证明：． 问题探究： 小铭和小红对图1的六边形进行了特殊化，发现了以下两个结论： 结论1：如图2，若，则有：，． 结论2：如图3，若对角线、、交于点，则对角线平分六边形的面积，请证明小铭和小红发现的两个结论． 26. 【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题 如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题： （1）若，则 （结果保留根号）； （2）　　（填“”、“ ”或“” ． 【初步探究】 （3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由． 【深入探究】 （4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 27. 已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点． （1） （填“”或“”）； 当时，求的值； （2）若点和点也在二次函数图象上，且，． 求的取值范围； 若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $