椭圆常考易错检测卷-2025届高三数学一轮复习

备战2025年高考数学-椭圆常考易错检测卷 一、单选题 1．椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 3．已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 7．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 9．已知椭圆方程为，则下列说法错误的是（    ）． A． B．存在m值使椭圆的离心率 C．椭圆的焦距不确定 D．椭圆的焦点在y轴 10．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 11．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的周长为4 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为 三、填空题 12．焦点在轴上，短轴长为，离心率为的椭圆的标准方程是 . 13．已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 14．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为2的动圆内切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为 ；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为 . 四、解答题 15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 16．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 17．椭圆经过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，右准线为直线，圆． (1)若点A在圆上，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)若直线上存在点，使为等腰三角形，求椭圆的离心率的取值范围； (3)若点在（1）中的椭圆上，且过点可作圆的两条切线，切点分别为，求弦长的取值范围． 19．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，的周长为． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，点A，分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且．证明直线m过定点，并求出该定点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差. 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 2．D 【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案. 【详解】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 3．A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 4．B 【分析】由题意得，，根据得，由点在椭圆上得，再结合消元解方程即可求得，得解. 【详解】根据为椭圆上关于轴对称的两点，，设，则， 因为，，所以， 所以，根据点在椭圆上得， 所以，又椭圆的离心率为，所以，， 所以，解得，则，所以椭圆方程为. 故选：B 5．C 【分析】由椭圆的离心率，得，，求得直线的方程，与椭圆方程联立，求得点坐标，由解方程可得c，再由椭圆的定义，可得. 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得， 直线的斜率为，方程为， 椭圆方程，即， 联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即 由，解得， . 故选：C 6．D 【分析】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 7．D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 8．A 【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为，先根据题意得出点P的坐标，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解. 【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为，则， 又，所以， 又点P在第一象限，且在直线上， 所以，又点P在椭圆上， 所以，即， 整理得，两边同时除以，得， 解得，因为，所以， 同理可得点P在双曲线上，所以，即， 解得， 所以， 故选：A. 9．AD 【分析】A选项，根据椭圆方程的特点列不等式，解不等式即可；B选项，根据离心率得到，然后分和两种情况讨论；C选项，求焦距即可判断；D选项，根据椭圆方程判断焦点位置. 【详解】由题知椭圆方程，则，即且，A错误； 若，所以，得，故焦距是不确定的，C正确； 对于B，由于椭圆离心率，得， 若，即，解得，符合题意； 若，即，解得，符合题意，B正确； 对于D，若，椭圆焦点在y轴，若，椭圆焦点在x轴，D错误． 故选：AD． 10．ACD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 11．BCD 【分析】利用椭圆的定义可判定A，利用焦半径公式可判定B，利用椭圆弦长公式可判定C，利用点差法可判定D. 【详解】由题意可知椭圆的长轴长，左焦点， 由椭圆的定义可知， 故A错误； 设，， 易知，故B正确； 若的斜率存在，不妨设其方程为：， 联立椭圆方程，则， 所以， 若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得， 显然当的斜率不存在时，，故C正确； 设，易知 ， 若中点为，则，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】利用题设中的相关量和椭圆中的数量关系，建立方程组，解之即得. 【详解】由题意，解得， 又椭圆的焦点在轴上，故椭圆的标准方程是. 故答案为：. 13．25 【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25    14． 4 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当时，的最小值为. 当时，初始位置为，圆的四分之一弧长为， 圆的半周长为，所以的轨迹过点，所以， 椭圆焦点在轴上，所以椭圆方程为： 故答案为：4；. 15．(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过点，可列方程，解方程即可； （2）易知直线斜率一定存在，设，当直线斜率为时，分别表示，，，可得成立，当直线与轴不重合时，设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理，分别表示，，，即可得 . 【详解】（1）由椭圆离心率，则，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点，则，解得，， 所以椭圆方程为. （2）由已知，经过椭圆右焦点，不经过点， 可知直线的斜率一定存在，设， 当直线斜率为时，，， 则，，， 此时， 当直线斜率不为时， 如图，设直线的方程为，点，， 联立直线与椭圆，得，， 则，， 设，，于是，即． 又，则， ， 综上所述存在常数，使得． 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆的方程求出，根据离心率得到，得到椭圆方程； （2）根据等腰三角形得到，求出离心率； （3）作出辅助线，由几何关系得到，进而得到，从而求得. 【详解】（1）对，令，则． ∴， 又∵， ∴， 椭圆的方程为：． （2）由图知为等腰三角形，， ∴，，    又，∴，即椭圆离心率取值范围为． （3）解法一：连接交于，连接， 则由圆的几何性质知：为的中点，   ，． ∴， ， ∴，设，则且， ∴， ∴，∴； 解法二：圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则四点共圆，且为直径， 故此圆的方程为， 即， 与相减得， 切点弦方程为，即， 点为椭圆上一点，设， 则点对应的极线（即切点弦）方程为， 由于圆的圆心为，半径为， 弦心距， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 即， 故， 所以． 19．(1) (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）由焦距和焦点三角形的周长求出，得椭圆C的方程； （2）设直线l方程为，代入椭圆方程，设，韦达定理表示出根与系数的关系，由，得，利用斜率公式结合韦达定理化简得，可得直线l过定点. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意知，解得c＝2． 由椭圆的定义知，的周长为，∴，故． ∴椭圆C的方程为． （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线l：，， 把直线方程代入椭圆方程，整理可得， ，即，∴． ∵，M，N都在x轴上方，且，∴． ∴，即． 将代入， 整理可得，又， 即，整理可得， ∴直线l为．∴直线l过定点． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$