2025年中考数学专题复习：判断函数图像

判断函数图像 方法突破练 1. 如图①,在菱形ABCD中, ，动点E从A 点出发，沿路线A→D→C→B运动至B点停止，设点E运动的路程为x, 的面积为y. (1)①点E从点A运动到点 D的过程，y与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ； ②点E从点 D 运动到点 C 的过程，y与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ； ③点E从点 C 运动到点 B的过程，y 与x之间的函数关系式为 ，此时x的取值范围为 ； (2)根据(1)，请你判断y与x之间的函数关系图象表示正确的是 ( ) (3)若点E沿路线A→B→C→D→A运动,请你试着在图②所给的坐标系中大致画出y与x之间的函数图象. 学科网（北京）股份有限公司 设问进阶练 例 已知四边形ABCD为菱形，. 点P沿路线A→B→C→D匀速运动至点 D 停止. (1)如图①,过点 P 作 于点 N，若点 P 的运动速度为 设点P的运动时间为x(s)(0<x<3),PN的长为y,则y(cm)关于x的函数图象大致是 ( ) (2)如图②,设点 P 经过的路径长为x(cm), 的面积为 ，则下列图象能大致反映y关于x的函数关系的是 ( ) (3)如图③,点E为AD边上一点,点E以0.5cm/s的速度从点A沿A→D运动,当点E出发2s后,点P以3cm/s的速度开始运动，当点 P到达D点时，P，E两点同时停止运动.设点P运动的时间为x(s), 的面积为 则y关于x的函数图象大致是 ( ) 综合强化练 1. 创新题·真实任务情境 以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：小妍打网球时，打出去的网球的高度(y)与时间(x)的关系；乙：小妍去图书馆读书，一段时间后原路返回，小妍离家的距离(y)与时间(x)间的关系；丙：小妍去水果店购买榴莲，支付费用(y)与榴莲重量(x)的关系；丁：小妍使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，则她每月所付话费(y)与通话时间(x)的关系.如图，用图象法刻画上述情境，排序正确的图象顺序是 ( ) A. ①②③④ B. ①③④② C. ①③②④ D. ①④③② 2. 创新题·阅读理解题 记实数x₁ 中的最小数为 例如则函数 的图象大致为 ( ) 3.(双动点求面积)如图，在四边形ABCD中， M,N两点同时从点A 出发，点 M以 个单位长度/秒的速度沿路线A→D运动，到达点 D 停止运动；点N以2个单位长度/秒的速度沿路线A→B→C 运动，到达点 C停止运动.设点 N运动时间为ts，△AMN的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为 ( ) 4. 如图,⊙O的直径AB为4, 点D为AC的中点,点 P 沿路线A→B→C运动,连接CP,DP，设点 P运动的路程为x，则 的面积y随x变化的函数图象大致为 ( ) 5.(双动点求线段长的平方)如图，在 中, ,动点M,N同时从点 B出发,点 M 以3c m/s的速度沿 B→A→C的路径运动,点 N以 的速度沿 B→C的路径运动，连接MN.设点M的运动时间为x(s)，MN²为y，则y关于x的函数图象大致是 ( ) 6. 如图,点 P从的顶点A出发，沿A→B→C以1cm/s的速度运动到点C，点P运动时， 的面积 随时间x(s)变化的关系图象大致是 ( ) 7.(单个图形平移求重叠面积)如图，在矩形ABCD中， ，E是CD上的点，把矩形沿AE 折叠，点 D 恰好落在AB边上的F点，把 沿 FB 向右平移，直到点A 与点 B 重合时停止，设 与四边形BCEF重叠部分(图中阴影部分)的面积为y，平移的距离为x，则y与x之间的函数关系图象大致是 ( ) 8. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点 O, ,点 P从点A出发,沿A→O→B运动，到点 B时停止，过点 P作. 于点M，作 于点 N.设点 P运动的路程为x，四边形BMPN的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是 ( ) 类型一 判断函数图象 一阶 方法突破练 1. (1)①y= x,0≤x<4;②y=4 ,4≤x<8;③y= 【解析】理清动点运动过程具体分为几个阶段.如解图①,当点 E 在 AD 边上运动时,过点 E 作 EF⊥BA交 BA 的延长线于点 F,∵ ∠ADC = 60°,AB=4,AE=x,AB∥CD,∴ ∠DAF = 60°,EF = ,,∴ .在此阶段y与x之间的函数关系式为 (求出各个阶段的解析式及其自变量的取值范围，判断函数图象)； 如解图②,当点E 在 DC 边上运动时,过点E 作EG⊥BA于点 G,过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于点H,∵ AB∥CD,∴EG=DH,△ABE 是以 AB 为底,EG为高的三角形,此时 S△ABE 为定值,∵ AD = 4, .在此阶段y与x 之间的函数关系式为 如解图③,当点 E 在 BC边上运动时,过点E 作EK⊥AB 于点 K,∵ ∠B =∠ADC = 60°,BE =12-x,∴ 在此阶段y与x之间的函数关系式为 (2)A 【解析】由(1)可知,点 E 在 AD 边上时y= .此阶段y与x的函数图象为正比例函数图象的一部分，点 E 在 DC 边上时， x<8)，此阶段的函数图象y随x的变化保持不变，且始终为4 ,当点 E 在 BC 边上时, ≤x≤12)，此阶段y 与x为一次函数图象的一部分，故 A 选项正确. (3)y与x之间的函数图象如解图④.【作法提示】当点E在AB边上,即0≤x<4时,此时y=0;当点 E 在BC边上,即4≤x<8时, 此阶段y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，y随x的增大而增大，且经过点(4，0)；当点 E 在CD边上，即8≤x<12时, 此阶段y随x的变化保持不变；当点 E 在 AD 边上,即 12≤x≤16 时, 16 ，此阶段y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，y随x的增大而减小，且经过点(16，0). 二阶 设问进阶练 例 (1)A 【解析】①当0<x<1,即点 P 在AB 边上时,△APN为含30°角的直角三角形,∵∠A=30°,根据题意得AP=3x,在 Rt△APN中, ∴y与x之间为正比例函数关系，且在点 P 运动到 B 点时， 故排除 D 选项;②当1≤x<2,即点 P 在 BC边上时，PN始终等于点 P运动到点 B时 PN的值，即 故排除 B选项;③当2≤x<3，即点 P 在 CD边上时，PN的值逐渐减小，此时 ∴y与x之间为一次函数关系，故C 选项错误，A 选项正确. (2)A 【解析】当点 P 沿A→B 运动时,△ADP 的高不变，底逐渐增大，.. x,∴ △ADP 的面积逐渐增大;当点 P 沿 B→C运动，△ADP的底和高都不变，∴△ADP的面积不变，且此时 △ADP 的面积等于菱形面积的一半，即 排除B,C,D选项,A选项正确. (3)B 【解析】①当0<x≤1,即点 P 在 AB 上时, 如解图①,过点 P 作 PF⊥AE 于点 F. 在 Rt△AFP 中,∵ 此时，y是x的二次函数，图象是开口向上且过原点的抛物线的一部分； ②当1<x≤2,即点 P 在BC边上时,如解图②,过点 B作 BH⊥AD 于点 H,则 此时y是x的一次函数，图象是一次函数图象的一部分； ③当2<x<3时,点 P 在 CD 边上,则 DP=(9-3x)cm,如解图③,过点 P 作PG⊥AD,交AD 延长线于点G,∵ AB∥CD,∴ ∠CDG = ∠DAB = 30°. ∴PG = 此时y是x的二次函数，图象是开口向下的抛物线的一部分，综上，y关于x的函数图象大致为B. 三阶 综合强化练 1.B 【解析】甲：小妍打网球时，打出去的网球的高度先变大后逐渐变小至0；乙：小妍去图书馆读书，小妍离家的距离从0开始变大，到达图书馆读书的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0；丙：小妍去水果店购买榴莲，支付费用与榴莲重量成正比例关系；丁：小妍使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，她每月所付话费与通话时间的关系是一次函数关系.故顺序为①③④②. 2.A 【解析】根据题目中已知的三个函数，求出交点坐标，并画出这三个函数图象，观察图象.如解图，联立 解 得 联 立 解 得 (负值已舍去).根据最小数的定义，写出x不同取值范围的函数表达式.当 时,y= 当 时,y= 当 时,y= (x≥0)的图象大致为 A. 3. B 【解析】先根据已知条件求出 BC 和 CD的边长,∵∠A=45°,∠B=∠C=90°,AD=3 ,AB=4,∴BC=3,CD=1,由边长和M,N两点的运动速度,分0≤t≤2,2<t≤3,3<t≤3.5 三个阶段讨论,如解图①,当0≤t≤2时,过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,∴AE=ME=t,AN=2t,则 t²，∴在0≤t≤2阶段，S与t的图象为开口向上且过原点的抛物线的一部分，排除A，C 选项； 如解图②,当2<t≤3时,连接MB,过点 M 作MF⊥AB 于点 F,则 在2<t≤3阶段，S与t的函数图象为开口向下的抛物线的一部分，排除D选项； 如解图③,当3<t≤3.5时,点 M 已经到达点 D,则 4(2t-4)=-3t+12.∴在3<t≤3.5阶段,S与t的函数图象为一次函数图象的一部分，故 B 正确. 4. A 【解析】∵ ⊙O的直径AB 为4,∴△ABC为等腰直角三角形,∠A = ∠B = 45°,AC = BC =2 ,∵点D为AC的中点,. ,分点 P 在 AB上和 BC 上两种情况讨论,①当点 P 在 AB 上时,. 且经过点(4，2)，∴在0≤x≤4阶段，y与x之间的函数图象为正比例函数图象的一部分，故排除C，D 选项；②当点 P在 BC 上时,∵ ∴在 阶段，y与x之间的函数图象为一次函数图象的一部分，故 A 选项正确. 5. A 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3cm,∴AC=6cm,BC=3√₃ cm,当0≤x≤1时,点M 在AB 边上,∵ 点 M 的速度为3cm/s,点 N的速度为 则BN=√₃x cm,BM=3x cm,∴ ∴在0≤x≤1时,y与x之间的函数图象为过原点且开口向上的抛物线的一部分排除B，D选项；如解图，当1≤x≤3时，点M 在 AC 边上,过点 N 作 NP⊥AC 于点 P,由题意得, 则 ∴当x=2时, 时, 故 A 选项正确，C 选项错误. 6. D 【解析】当 P 点在AB 边上运动时,如解图①,过点 P 作 PE⊥ CD 于点 E,则 为定值，此时函数图象是平行于x轴的一条线段； 当点 P在BC 边上运动时，如解图②，过点 P作PE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E,则 和 (AB+BC)·sin∠PCE 是常数,∴γ是x 的一次函数, ∴此时函数图象是从左至右下降的一条线段.综上所述，符合条件的图象为 D. 7. D 【解析】分△AEF 部分在四边形 BCEF 中和△AEF 完全在四边形 BCEF 中两种情况,即0<x≤2时和2<x≤4 时.由折叠性质知,AF=AD=2 cm,∠AFE=∠D=90°,∵ AB =4 cm,∴ BF =2 cm,∵∠DAF = 90°,∴ 四边 形 ADEF 为 正 方 形, ∴∠EAF=45°,∵ ∠E'A'F' = ∠EAF =45°,S△A'E'F '= 当0<x≤2 时,则 此时y与x之间的函数图象是开口向下的抛物线的一部分；当2<x≤4时，如解图，则 此时y与x之间的函数图象是一条开口向上的抛物线的一部分，综上可知，y与x之间的函数关系图象大致为D. 8. C 【解析】由正方形的对角线AC=4，先求出正方形ABCD 的边长.∵ 四边形 ABCD 是正方形,AC = BD,∴AB=BC=2 ,∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴四边形BMPN是矩形,∴BM=PN,PM=BN,∵ 点 P 从点 A出发沿A→O→B运动，∴点P的运动路程分为两个阶段，∵点P运动的路程为x，∴①当点 P 从点 A 出发,沿A→O 路径运动,即0≤x<2时,AP=x,则 ∴四边形 BMPN 的面积为y,∴ γ= PM · 2，∴当0≤x<2时，y与x之间函数关系的图象是开口向下抛物线的一部分；②如解图，当点 P沿O→B路径运动,即2≤x≤4时,∵ BO 是∠ABC 的平分线,∴ PM=PN,∴ 四边形 BMPN 是正方形,∵ .当2≤x≤4时,y与x之间函数关系的图象是开口向上抛物线的一部分，综上所述，能大致反映y与x之间函数关系的图象是 C. $$