2025年中考数学一轮专题复习讲义：判断二次函数与a、b、c的关系

判断二次函数与a、b、c的关系 方法突破练 1.根据二次函数 的图象填空： (1) a 0, b 0, c 0, (2) a 0, c 0, c 0, 0 一元二次方程 有 的实数根； (3) a 0, c 0, c 0, 一元二次方程 有 个实数根； (4) a 0, c 0, c 0, b²-4ac 0; (4) a 0, b 0, c 0, b²-4ac 0; 一元二次方程 有 的实数根. 2.二次函数 的图象如图所示，点 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.二次函数 的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c=0;②4a+2b+c>0;③4a-2b+c>0;④2a+b=0,其中正确的结论是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4.二次函数 的图象如图所示，若 ,则 P Q(填“>”“<”或“=”). 5.如图，二次函数 的图象经过点(1，0)，其对称轴为直线l，若 则在M,N,P中,值小于0的有 个. 设问进阶练 例 已知抛物线 的一部分如图所示，图象经过点 ，其对称轴为直线： .判断下列结论的正误(正确的打“✔”,错误的打“×”) ( ) ( ) ③y的最大值为a+b+c ( ) ④4a+2b+c<0 ( ) ⑤9a+3b+c=0 ( ) ( ) ⑦8a+c<0 ( ) ⑧若抛物线经过点( ，则关于x的一元二次方程 的两根分别为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 综合强化练 1.已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 和反比例函数 的图象在同一坐标系中大致为 ( ) 2.抛物线 ,b,c为常数且 开口向下且过点. 下列结论：(①a+c>0;②4a+b>0;③a(1-m)+b+c>0;④若方程e )有两个不相等的实数根，则 其中正确结论的个数是 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3.如图，抛物线 的顶点在直线 上，对称轴为直线. ，下列结论：①abc>0;②3a+c<0;③a=-k; ④创新题·绝对值方程的根若方程| m为常数)有四个根，分别为x₁ x₂,x₃,x₄,则 其中正确的结论是 ( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 4.抛物线 的对称轴是直线x=1，且过点(-1，0)，其图象如图所示，给出以下结论:①ab<0且c<0;②4a-2b+c>0;③24a+c<0;④c=3a+3b;⑤直线y=2x+2 与抛物线 +bx+c 两个交点的横坐标分别为x₁,x₂,则. 其中正确的结论是 ( ) A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 5.已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①abc>0;②b²-4ac≥0;③2a+c=-1;④不等式 的解集为x<-2,x>1,其中正确的结论个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.已知二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 3 则下列结论：①该二次函数图象的顶点坐标为((1,-1);②ab>0;③a-b+c>0;④若点(-2,y₁),点 在二次函数图象上，则 ；⑤当y=3时，方程有两个相等的实数根.其中所有正确结论的序号为 . 类型二 判断二次函数图象与a，b，c的关系 一阶 方法突破练 1. (1)>,>,<,>; (2)>,<,>,=,两个相等; (3)<,>,<,<,0; (4)<,=,>,>; (5)>,>,=,>,两个不相等. 2. D 【解析】由图象可知抛物线开口向上，a>0，∵ 当x=1时,y=a+b+c,根据图象可判断,当x=1时,y<0,即a+b+c<0,∴点A(a,a+b+c)在第四象限. 3. C 【解析】①当x=1时,y=a+b+c,观察图象可知,此时y>0,即a+b+c>0,∴①错误;②当x=2时,y=4a+2b+c,观察图象可知,此时y>0,即4a+2b+c>0,∴②正确;③当x=-2时,y=4a-2b+c,观察图象可知,此时y<0,即4a-2b+c<0,∴③错误;④∵-b/a=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,∴④正确.综上，正确的结论是②④. 4. > 【解析】∵ 当x=-1时,y=a-b+c,当x=3时,y=9a+3b+c,观察图象可知，抛物线开口向上，且 5. 2 【解析】∵ 二次函数 的图象经过点(1,0),∴a+b+c=0,∴a+b=-c,又∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴a+b-c=-2c<0,故 M<0；∵抛物线开口向下， 0,故N<0;∵ a<0,对称轴在 y轴左侧,∴a,b同号,∴b<0,∵a+b+c=0,∴a+c=-b>0,∴P>0,综上所述M<0,N<0,P>0. 二阶 设问进阶练 例 ①✔,②×,③✔,④×,⑤✔,⑥×,⑦✔,⑧✔ 【解析】审题后，先根据题干结合抛物线判断a，b，c的符号，∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵ 抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0.∵ 抛物线的对称轴为直线 ·抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0.①∵a<0,b>0,c>0,∴abc< 0，故①正确；②观察题图，抛物线与x轴有交点，且一定有2个交点， 故②错误;③∵a<0，∴该抛物线有最大值，∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=a+b+c,∴y的最大值为a+b+c,故③正确;④∵该抛物线经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y=4a+2b+c>0,故④错误;⑤由④得该抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，∴9a+3b+c=0 ,故⑤正确;⑥当x=-1时,y=a-b+c=0,∵b=-2a,∴3a+c=0,∴a=-¹/₃,故⑥错误;⑦由⑥得3a+c=0,∴8a+c=3a+c+5a=5a<0,故⑦正确；⑧∵抛物线经过点(-3，n)，其对称轴为直线x=1,∴根据对称性,抛物线必经过点(5,n),∴当y=n时,x=-3或5 ∴联立 )与y=n,解得x=-3或x=5,即关于x的一元二次方程 的两根分别为-3,5,故⑧正确.. 三阶 综合强化练 1. B 【解析】∵ 二次函数的图象开口向上,∴a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴反比例函数 的图象在第一、三象限，当x=-1时，y<0,∴a-b+c<0,∴一次函数y=ax+a-b+c的图象经过第一、三、四象限，故B 正确. 2. B 【解析】根据题意得a-b+c=0,∴b=a+c,当x=1时,有a+b+c>0,∴a+(a+c)+c>0,∴a+c>0,∴①正确;当x=3时,有9a+3b+c<0,∵a+b+c>0,∴8a+2b<0,∴4a+b<0,∴②错误;∵ 抛物线开口向下,∴a<0,∵2<m<3,∴am<0,∵当x=1时,有a+b+c>0,∴am<a+b+c恒成立,∴a(1-m)+b+c>0,∴③正确;若方程a(x-m)(x+1)-1=0有两个不相等的实数根,即a(x-m)(x+1)=1有两个不相等的实数根，∴ 抛物线顶点的纵坐标 .④正确.综上，正确的结论有3个. 3. B 【解析】①∵抛物线开口向上,∴a>0,∵ 抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,①正确;②∵点(3,0)与(-1,0)关于对称轴直线x=1对称,∴x=3时,y>0,即9a+3b+c>0,∵b=-2a,∴3a+c>0,②错误;③当x=1时,y=a+b+c=a-2a+c=-a+c,∴抛物线的顶点坐标为(1,-a+c),把(1,-a+c)代入y=kx+c,得-a+c=k+c,∴a=-k,③正确;( 设 的根为x₁, 的根为x₃,x₄,.则 .④正确，综上，正确的结论是①③④. 4. B 【解析】∵ 抛物线对称轴为直线x=1,经过(-1,0),∴ b/₂₈=1,a-b+c=0,∴b=-2a,c=-3a,∵a>0,∴b<0,c<0,∴ab<0且c<0,故①正确;当x=-2时,有4a-2b+c>0,故②正确;∵抛物线与x轴交于点(-1,0),∴x=-4时,y>0,∴16a-4b+c>0,∵b=-2a,∴16a+8a+c>0,即24a+c>0,故③错误;∵c=-3a=3a-6a,b=-2a,∴c=3a+3b,故④正确;由两个未知数的乘积、和，必然想到一元二次方程根与系数的关系，∵直线y=2x+2 与抛物线 两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，∴方程 c-2=0的两个根分别为 =-1,故⑤错误.综上,正确的结论是①②④. 5. B 【解析】①∵抛物线开口向下,∴a<0,∵ 抛物线对称轴在y轴左侧， ∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc>0,故①正确;②由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，. 故②错误;③由图象可知抛物线过点(1,-2),(-2,1),即当x=1时,y=a+b+c=-2,当x=-2时,y=4a-2b+c=1,∴6a+3c=-3,∴2a+c=-1,故③正确;④∵点(-2,1),(1,-2)在直线y=-x-1上,由图象可知,当-2<x<1时,抛物线在直线y=-x-1 的上方,∴ 的解集为-2<x<1,故④错误.综上，正确的结论个数是2个. 6.①③ 【解析】由表格可知，该二次函数有最小值，开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为(1，-1)，∴①正确；∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,∴a>0,b<0,∴ab<0,故②错误;由表格可知,当x=-1时,y=a-b+c=3>0,故③正确;∵点(-2,y₁)到对称轴的距离等于点(4，y₂)到对称轴的距离，∴ ,故④错误;∵图象经过(3,3)和(-1,3)两个点，∴方程 有两个不相等的实数根，故⑤错误.综上，正确的结论是①③. $$