2025年中考数学一轮专题复习讲义：面积等量关系

面积等量关系 一阶 方法突破练 1.如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 .点P是y轴上一动点，若 求点 P 的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点 C的一条直线平分. 的面积，求出这条直线的解析式. 3.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点 C，其顶点为E，抛物线的对称轴与 BC交于点 M，在抛物线上是否存在一点 Q，使得 若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 二阶 设问进阶练 例 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点 E. (1)在x轴上是否存在点 F，使得 若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得 若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，是否存在过点A的直线l与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，若点 P 为线段 BC 上方抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作x轴的垂线交BC于点 Q.若线段PQ将 分成面积比为1：3的两部分，求点P的坐标. 综合强化练 1.如图，已知抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； (2)若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将 沿 BD 翻折得到. 若点 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 和点 D的坐标； (3)(面积平分问题)点 P 为抛物线上一点，且直线 BP 把四边形ABCP分成面积相等的两部 分，求点 P的坐标. 作图区 答题区 2.如图，已知抛物线 分别与x，y轴交于A，B两点，直线 经过点A，B，抛物线的顶点为 P. (1)求抛物线的解析式； (2)现将抛物线向右平移 个单位，若平移后的抛物线与 有且只有一个公共点时，求m的值； (3)(面积倍数问题)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q，使得 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 3.如图，抛物线 与x轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C,以AB为斜边在x轴的下方构造等腰 ，点 P是抛物线上的一个动点，作直线PD交x轴于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 在直线AC的下方,当 时，求点 P的坐标； (3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点 P，使得对角线PD将四边形 PADC 分为面积比为1：3的两部分?若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 考向2 面积等量关系 一阶 方法突破练 1. 解:∵A(1,0),B(-3,0),C(-2,5),∴AB=4,设点 P 的坐标为(0，m)(设出动点的坐标)，如解图， 则 (表示出动三角形的面积). 由题意可得 (根据两个三角形面积的等量关系求动点坐标)， 或 ∴点P 的坐标为 或(0, ). 2.解：如解图，取AB的中点D，作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积)， ∴△ACD与△BCD 是等底等高的两个三角形，则直线CD 平分△ABC的面积, ∵A(-2,0),B(2,4), ∴D(0,2), 设直线 CD的解析式为y=kx+b,将C(3,0),D(0,2)代入,得 解得 ∴过点C且平分△ABC面积的直线CD 的解析式为 3.解:存在, ∵ 抛物线 与 x 轴交于A,B 两点,与y轴交于点 C,顶点为E,∴B(3,0),C(0,3),E(1,4),∴直线BC的表达式为y=-x+3,∴M(1,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点 G，过点 E与BC 平行的直线与抛物线的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等)， 此时 设直线EQ 的表达式为y=-x+m, 将E(1,4)代入,得4=-1+m,解得m=5, ∴ 直线EQ 的表达式为y=-x+5, ∵ 直线y=-x+5 与抛物线 交于点Q， ∴联立 解得 舍去) ∴点Q的坐标为(2,3), ∵EG=4,EM=2, ∴GM=EM=2, 设过点 G 与BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q₁，Q₂，此时 则设直线 GQ₁(Q₂)的表达式为 y=-x+n,将 G(1,0)代入,得0=-1+n, 解得 n=1,∴直线GQ₁(Q₂)的表达式为y=-x+1(求出与直线 BC 平行的直线解析式). ∵直线y=-x+1 与抛物线 交于点Q₁,Q₂, ∴联立 解得 综上所述，点Q的坐标为(2，3)或 或 二阶 设问进阶练 例 解:(1)存在, ∵ 抛物线 与x轴交于A，B两点， ∴A(-1,0),B(5,0), ∵△AOC 和△CAF等高,且 ∴△CAF的底是△AOC底的2倍, ∵△AOC的底为 AO=1,∴△CAF 的底AF=2, ∴当点 F 在A 点左侧时,F(-3,0),当点 F 在 A 点右侧时,F(1,0). 综上所述,点F的坐标为(-3,0)或(1,0); (2)存在, 由题意可知,AE=BE, ∵抛物线 与y轴交于点 C， ∴C(0,5), 且△BCE 的底边 BE 上的高为5,∴△HAE 的底边AE 上的高为3, ①当y=3时, 解得 此时 或 H ②当y=-3|时, 解得. 此时 或 综上所述，点 H 的坐标为( 或 或(2-2 ,-3)或(2+2 ,-3); (3)存在, 如解图①，过点 D 作 BC 的平行线交抛物线于点M,连接BM,CM,则, ∵D(2,9),B(5,0),C(0,5), ∴ 直线 BC 的 解 析 式 为y=-x+5, ∴设直线 DM 的解析式为y=-x+b, 将 D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=11, ∴ 直线 DM 的解析 式 为y=-x+11, ∵ M 是直线 DM 与抛物线的交点， ∴令 解得 (舍去), ∴M(3,8); (4)存在, ∵B(5,0),D(2,9), ∴ 直线 BD 的解析式为y=-3x+15, 设直线l的解析式为y=ax+c，且直线l与直线 BD的交点为F(m,n),直线AF 即为所求,如解图②,由点坐标易得 使 四边形ABDC, 即 ∵F(m,5)在y=-3x+15上, ∴5=-3m+15,解得 将A(-1,0),F( ,5)代入γ=ax+c,解得 ∴直线l的解析式为 (5)∵线段 PQ 将△PBC 分成面积比为1:3的两部分， 或 设点 P 坐标为(xp, yp), ①若 J 即 解得 此时点 P 的坐标为 ②若 I 即 解得 此时点 P的坐标为 综上所述，点P 的坐标为 或 三阶 综合强化练 1. 解:(1)A(-3,0),B(1,0); (2)由(1)得,A(-3,0),B(1,0), ∴AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-1, 如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点 H，则点H的坐标为(-1,0), ∴AH=BH=2, 由翻折的性质得A'B=AB=4, ∴在Rt△A'BH中, ∵点D 在x轴下方, ∴∠ABA'=60°, 由翻折的性质得 ∴ 点D的坐标为 (3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等三角形. 如解图②,连接AC,BP交于点Q,过点A 作AE⊥BP于点E,过点 C作CF⊥BP于点 F.连接AP,PC,BC. ∵ BP 平分四边形 ABCP 的面积， ∴AE=CF, 且∠EQA=∠FQC, ∠AEQ=∠CFQ=90°, ∴△AEQ≌△CFQ(AAS),∴AQ=CQ, ∴ 点 Q 为线段AC 的中点,. 又∵B(1,0),∴直线 BQ 的解析式为 ∵ 点 P 为直线 BQ 与抛物线的交点， ∴令 解得 (舍去). ∴点P的坐标为 2.解：(1)抛物线的解析式为 (2)由(1)得 将抛物线向右平移m个单位， ∴ 平移后的抛物线解析式为 ∵平移后的抛物线与△ABP 只有一个公共点， ∴平移后的抛物线经过点 B， 把B(0,3)代入,得 解得 (舍去), ∴m的值为2; (3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出△ABP的面积,由 结合所设点Q的坐标利用三角形面积公式列方程求解. 存在.设点Q的坐标为 分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB于点E, 解得 (舍去),∴Q(-4,-5); ②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ，过点 P作PD⊥x轴于点 D,过点 Q 作QE∥y轴交直线AB于点E,同理可得Q(1,0). 综上所述,点Q的坐标为(-4,-5)或(1,0). 3.解：(1)抛物线的解析式为 (2)∵△ABD为等腰直角三角形,如解图①,过点 D作DG⊥x轴于点G,则DG=AG=GB, ∴点D 的坐标为(-2,-3), 过点 P作PM⊥x轴交于点 M, ∴△EPM∽△EDG, ∵PD=2PE, ∴PM=1, ∴点 P 的纵坐标为-1, 代入二次函数解析式可得 解得 又∵ 点 P 在直线AC 的下方, ∴ 点 P 的坐标为 (3)存在, 设点 P 的坐标为 ∵A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-2 ), 可得直线AD的解析式为y=-x-5, 直线 CD的解析式为 如解图②,③,过点 P 作 PH⊥x轴,交直线 AD 于点H,交直线 CD于点 N,连接PA,PC, ∴点 H 的坐标为(m,-m-5),点 N 的坐标为 在解图②中，当 时, m)=PN. ∴PH:PN=2:9,|即 解得 又∵ 点 P 在直线AC的上方, 在解图③中，当 时, =PN, ∴PH:PN=2:1,即 m),解得 又∵ 点 P 在直线AC的上方,∴ 综上所述，点 P的横坐标为 - $$