2025年中考数学专题复习：利用“阿氏圆”解决线段最值问题　

利用“阿氏圆”解决线段最值问题 一阶 方法突破练 1. 如图，点P是半径为2的⊙O上一动点，点A，B为⊙O外的定点.连接PA,PB,点 B 与圆心 O 的距离为4.要使 的值最小，如何确定点P，并说明理由. 2. 如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),点E是以原点O为圆心，2为半径的圆上一点，求 的最小值. 3.如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧),与y轴交于点 C,点 D 的坐标为( ,将线段 OD绕点 O逆时针旋转得到( 旋转角为( 连接 求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 设问进阶练 例 如图，已知抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 的右侧),与y轴交于点 C. (1)如图①，若点 D 为抛物线的顶点，以点B 为圆心，3 为半径作⊙B,点E为⊙B上的动点,连接AE,DE,求 的最小值； (2)如图②，若点 H 是直线AC 与抛物线对称轴的交点，以点 H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求 的最小值； (3)如图③，点 D 是抛物线上横坐标为2的点，过点 D 作. 轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD,DP,PE,求 的最大值. 综合强化练 1.如图①,抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，直线 l经过点A,与y轴交于点 D,与抛物线交于点 E(2,3),点 F 是抛物线的顶点,连接DF,EF. (1)求直线 AE 和抛物线的函数解析式； (2)求 的值； (3)如图②,以点 D 为圆心,OD长为半径作圆,点 G 是⊙D 上一点,连接BG 和 FG,则 是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 2.如图，已知抛物线 经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,4). (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接BC，点P为BC上方抛物线上的一点， 轴交 BC于点R, 于点Q,求 周长的最大值及此时点 P 的坐标； (3)如图②,若点 N(0,3),D(2,0),矩形 ODFN的顶点 F 在第一象限内.以点N为圆心,1为半径作⊙N,点M是⊙N上一动点,连接DM,MF,求 的最大值. 作图区 答题区 一阶 方法突破练 1. 解:如解图,连接OB,OP,找带有系数的线段 PB.在OB 上截取OC=1,连接AC交⊙O于点P',点P'即为所求.连接PC. 理由:∵OP=2,OB=4, ∴△POC∽△BOP. 即 (利用相似将 PB转化为PC). 确定线段和最小时动点的位置. 当A,P,C三点共线时,PA+PC的值最小，最小值为AC的长， ∴ 当点 P与点 P'重合时, 的值最小. 2.解：找带系数的线段 BE.如解图，在y轴上取一点 M(0, ),连 接 OE,EM,AM. 则 OE = 2,OB = 3, 又∵∠EOM=∠BOE, ∴△EOM∽△BOE. 即 当A，E，M三点共线时，AE+EM 的值最小，最小值为AM 的长. 在 Rt △AOM 中, ∴当E为线段AM与⊙O的交点时， 的值最小，最小值为 3.解：∵抛物线的解析式为 ∴A(-5,0),C(0,-5), ∵点D的坐标为(-3,0),∴OD=OD'=3, ∴点 D'的运动轨迹为以原点 O 为圆心，3 为半径的圆在第三象限内的一段圆弧， 如解图，在y轴上取一点.M(o,- ),连接D'M,AM, 则 又∵∠D'OM=∠COD', ∴△D'OM∽△COD', 即 当A,D',M三点共线时, 的值最小，最小值为AM的长. 在 Rt △AOM 中, ∴当D'为AM与圆弧的交点时， 的值最小，最小值为 二阶 设问进阶练 例 解:(1)∵抛物线 与x轴交于点A,B,∴A(3,0),B(-1,0).∴AB=4. ∵ 点 D 为抛物线的顶点， ∴D(1,4),抛物线对称轴为直线x=1, 如解图①，连接 BE，在 x 轴上截取 则 设抛物线对称轴与x轴交于点 M，连接EF，DF， ∴△FBE∽△EBA, DF,当D,E,F 三点共线时, 取得最小值，最小值为 DF 的长, ∴在 Rt△DMF 中,DF = 的最小值为 (2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=1. ∵A(3,0),C(0,3), ∴ 直线 AC 的解析式为y=-x+3. ∵ 点 H为直线AC 与抛物线对称轴的交点， ∴点H的坐标为(1,2). 如解图②,连接 OH 交⊙H 于点 D,在 OH 上截取 过点 N作 NE⊥x轴于点 E，设抛物线对称轴与x轴交于点 M,连接AN,NQ,HQ. ∵H(1,2),∴OM=1,HM=2. 又∵ HQ=1, 又∵∠NHQ=∠QHO, ∴△QHN∽△OHQ. 即 AN.当A,Q,N三点共线时,( 值最小，最小值为 ∵NE⊥x轴, 的最小值为 (3)∵ 点D 是抛物线上的点,且横坐标为2,∴D(2,3). ∵C(0,3),∴CD⊥y轴. ∵ DE⊥x轴, ∴ 四边形 OCDE 为矩形.∴OE=CD=2. 如解图③，在 OA 上截取 连接 DH 并延长交⊙O 于点 P,连接EP. 易得直线 DH 的解析式为：y=2x-1.∴P(0,-1). 且∠POH=∠EOP, ∴ △POH∽△EOP. 当点 P 在 DH 的延长线上时， 的值最大，最大值为 DH 的长. ∵H( ,0),D(2,3), 的最大值为 三阶 综合强化练 1. 解:(1)∵点E在直线y=kx+1上, ∴把E(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1, ∴ 直线AE的解析式为y=x+1, 把y=0代入y=x+1,得x=-1,∴A(-1,0), 把A(-1,0)与E(2,3)代入抛物线 得 解得 ∴ 抛物线的解析式为 (2)∵点F是抛物线的顶点,∴F(1,4), 把x=0代入y=x+1,得y=1,∴D(0,1) 把x=0代入 得y=3,∴C(0,3),∴CD=2, 如解图①,连接CE, ∵E(2,3),则CE⊥y轴,CE=CD=2, ∴∠CED=45°,DE=2 , 过点 F 作 FM⊥CE于点 M,则 FM=EM=1, ∴ 在Rt△FDE 中, (3)【思路点拨】将 提公因式转化为 再构造相似三角形将 转化到对应边，根据“一阶方法突破练”中的【方法解读】求解即可. 存在. 如解图②,在 DF 上取 连接 DG,HG,BH,则 ∵D(0,1),F(1,4),∴ ∵∠HDG=∠GDF,∴△HDG∽△GDF, HG)≥10BH,∴10BG+ FG的最小值为10BH, 过点 H作 HP⊥y轴于点 P,过点 F 作 FQ⊥y 轴于点 Q,则HP∥FQ, ∴△DHP∽△DFQ, ∵D(0,1),∴H( ,¹³), 根据勾股定理，得 的最小值是 2. 解:(1)∵抛物线 过C(0,4), ∴抛物线的解析式为 ∴将点 A，B的坐标代入抛物线的解析式，得 解得 ∴ 抛物线的解析式为 (2)【思 路 点 拨】由 PR∥y 轴,得到 ∠OCB =∠PRQ，设出点P的坐标，表示出PR的长，结合三角函数表示 PQ，QR的长，再利用二次函数的性质求解即可. ∵B(3,0),C(0,4), ∴ 直 线 BC 的 解 析 式 为 ∵PR∥y轴,∴∠OCB=∠PRQ, ∴△PQR 的周长为 设点 且 ∴△PQR 的周长 ∴当 时，△PQR 的周长取得最大值，最大值为 , ∴当点P 的坐标为( ,5)时,△PQR 的周长最大，最大值为 ; (3)∵N(0,3),D(2,0),四边形ONFD 为矩形, ∴NF=OD=2,ON=DF=3, ∵C(0,4),∴NC=4-3=1, 如解图②，在 NF 上截取 即 ∵∠MNE=∠FNM,∴△MNE∽△FNM, 即 .当且仅当M,E,D三点共线时， 的值最大，最大值为 DE 的长，故此时点M 与点 C 重合， 在 Rt△EFD 中,由勾股定理得 的最大值为 $$