2025年中考数学专题复习：反比例函数综合题专项练习

反比例函数综合题专项练习 方法突破练 1.如图，反比例函数 的图象与直线 ;交于A,B两点,点B 的坐标为( ，则点 A的坐标为 ( ) A. (1,6) B. (2,3) D. (3,2) 2.已知在同一直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象在第二象限交于点. 则当 时,x的取值范围是 ( ) A. x<-2 或 或 C. -2<x<0或 或 3.已知点 在反比例函数 的图象上，点. 在一次函数y=kx-k的图象上，当 时，下列判断中正确的是( ) A. 当 时, B. 当 时, , C. 当 时, D. 当 时, 4.如图，已知反比例函数 与一次函数 的图象交于点M(a,b),则代数式 的值为 ( ) A. -1 B. -2 学科网（北京）股份有限公司 5.如图，点A是反比例函数 图象上一点，点 C 在x轴上，过点A作BM∥x轴交y轴于点M，若 则k的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则. 的面积为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点C在x轴上，直线 过点A，反比例函数 的图象过点A和AC的中点D,连接BC,△ABC的面积为6,则k的值为 . 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B 在x轴上.若A(-1,3),B(2,0),C(4,2),且反比例函数 的图象经过CD的中点E，则k的值为 . 9.如图，在平面直角坐标系中， 的边 OA 在 x 轴上, 边OB，AB分别与反比例函数 的图象交于C(2,3),D两点,点C恰好为OB的中点,连接CD,则CD的长为 . 设问进阶练 例1 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于一点 C. (1)若一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限内只有一个交点，则k的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2)创新题·直线平移求距离如图②，在(1)的条件下，将一次函数 的图象沿y轴向上平移n个单位得到新的一次函数图象y₃，y₃与反比例函数 的图象交于点 D,E.当y₃ 时，x的取值范围为 则 n的值为 ( ) B. 1 C. 2 D. 6 (3)如图③,分别过点A,B作. 轴, 轴,AF 与 BF相交于点 F，反比例函数 的图象分别与AF，BF 相交于点H,G,连接OG,OF,OH,GH.若点C(2,2),下列结论正确的是 ( ) A. BC=FH B. OF平分 正方形OAFB D.若设过点O，H的直线为：yoH,则当 时，x的取值范围为 (4) 如图④，若一次函数 与反比例函数 的图象交于点K,L,与x轴交于点N,若KL=4LN,K(1,5),则KL的长为 . 例2 已知，在平面直角坐标系中，点C为反比例函数 图象上的点. (1)如图①,点C为 的顶点，且. 轴, B(8,2),若k=4,BC=2AC,则△ABC的面积为 ( ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 18 (2)如图②，点C 为矩形MNPQ对角线的交点，且矩形的顶点 M，Q分别在x轴,y轴上,对角线QN∥x轴,若M(1,0),Q(0,3),则k的值为 ( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 (3)如图③，点C为菱形OABC的顶点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线OB，AC的长分别是5和8，则k的值为 ； (4)如图④,点 C 为 的顶点，反比例函数 0)的图象与直线l:y=x交于点D,若A(2,0),B(0,1),则k的值 为 . 综合强化练 1.如图，点A，B分别在反比例函数 和 的图象上，且AB∥x轴，连接OB 与反比例函数 的图象交于点 C，连接AC，则. 的面积为( ) B. 2 C. 3 D. 6 2. 创新题·线段乘积结论判断 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点.若M(m，1)为反比例函数的图象上一点，直线AM，BM分别与y轴交于C，D两点，则下列对OC·OD的值判断正确的是 ( ) A.随k值的增大而减小 B.随k值的增大而增大 C. 恒为1 D. 恒为2 3.如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为直线y=-x上的动点，以OB为边作正方形OB-CD，当AB 最小时，点 D 恰好落在反比例函数 的图象上，则k的值为 ( ) A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 4. 如图，直线y=-x+b与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数 图象的一支交于C(1,4),D两点,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点 F,连接OC,OD,则以下结论:①k的值为2;②△ADF是等腰直角三角形;③S△AEC=S△BOD;④S△COD=15;其中正确的是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 5.(一曲线三垂直)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C在反比例函数 图象上,连接OA,OB,OC,分别过A,B,C三点向x轴作垂线,与x轴交于点D,E,F.若( EF，且图中阴影部分面积为31，则k的值为 ( ) A. -21 B. -24 C. -31 6. 如图，▱ABCD的边CD在x轴上，顶点A在反比例函数 的图象上，点 B在y轴上，AD 与y轴交于点 E.若 则k的值为 . 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象上的B，C两点关于直线y=x对称， 以OB，OC为邻边作菱形OBAC，其对角线交于点F.若菱形OBAC的面积为40， 则k的值为 . 8.如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A(m,4),B(4,1).点P是线段AB上一点，过点P作PQ//y轴，交反比例函数的图象于点Q，连接OP，OQ，则 面积的最大值为 . 9.(点圆最值)如图，反比例函数 的图象与直线 在第三象限交于点A，在第一象限交于点B,C(2,0),点 M在以点 C 为圆心,1为半径的圆上,连接AM,点 N是 AM 的中点,ON长的最小值为 ,则k的值是 . 10. 创新题·填空双空题 如图，点 A 为反比例函数 图象上一点,连接OA,过点O作AO的垂线OB,且OB=nAO(n>0).则当n=2时,点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 (不写自变量的取值范围)；在点A运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为 (用含m，n的代数式表示). 一阶 方法突破练 1. B 【解析】由题意可知,点B(-2,-3)与点A关于原点对称,∴点A的坐标为(2,3). 2. A 【解析】求出y₂解析式，联立求交点坐标.∵一次函数与反比例函数的图象交于点A(-2，1)，∴将A(-2,1)代入 得 将k=-2和点A坐标代入 得b=-3,∴y₁=-2x-3.联立 解得 , ∴一次函数与反比例函数图象的另一个交点为 画出函数图象如解图，当 时, 即.y₁>y₂,由图象可得当x<-2或 时. 3.C 【解析】联立两函数解析式，得 解得 交点坐标为(2,k),(-1,-2k),如解图，当 时,y₁<y₂,选项 A 错误;当 时,不能确定y₁,y₂ 大小,选项 B 错误;当 时, 选项C正确；当 时,x₁,x₂大小不确定，选项 D错误. 4. C 【解析】∵反比例函数 与一次函数y=x+1的图象交于点M(a,b),∴将M(a,b)分别代入反比例函数和一次函数解析式得, ab=3,a-b=-1, 5. D 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥x轴于点 D,∵ AD=4,∴A(1,4),∵点A在反比例函数 的图象上,∴k=1×4=4. 6. D 【解析】∵ 点 A,B 在反比例函数图象上,∴ 点A，B关于原点对称，则 7. 4 【解析】如解图,连接OD,过点 D作DE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点 F,∵四边形ABOC 为菱形,∴OB∥AC,∴S△ABC=S△OAC=6,∵ D 为AC的中点,∴ S△OCD = 3,又∵ 8. 3 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,A(-1,3),B(2,0),C(4,2),∴点B向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 C，∴点 A 向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到点 D(1,5),∵ 点 E 是CD的中点,. 即 ∵点 E 在反比例函数 的图象上，. 9. 【解析】如解图,过点C作CE⊥AB于点E,∵点C 为 OB 的中点,∴ CE 是 △OAB 的中位线,∵C(2,3),∴B(4,6),E(4,3),∴点D的横坐标为4,CE=2,∵点D在反比例函数 的图象上, ∴在 Rt△CDE 中, 二阶 设问进阶练 例1 (1)D 【解析】∵一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限内只有一个交点，∴联立 得 解得k=4. (2)C 【解析】由(1)得, 设平移后的一次函数解析式为 时，x的取值范围为 与反比例函数图象的交点 D，E的横坐标分别为： 和 将 代入 得 将点 代入 解得b=6,∴n=b-4=2. (3)B 【解析】∵反比例函数的图象过点C(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为 结合题意得,四边形 OAFB 为正方形,OA=OB=4,BC=AC,∴H(4,1),G(1,4),∴AH=BG=1,FH=3,∵正方形对角线互相平分，∴ 故 BC ≠FH,选项 A 错误;∵ BG=AH,∠GBO=∠HAO=90°,OB=OA,∴△GBO≌△HAO,∴∠BOG=∠HOA,∵OF平分 ∠AOB,∴ OF 平 分 ∠GOH,选项 B 正确; S正方形OAFB,选项C错误;∵yon与 交于点H(4,1),∴当y₂>yon时，x的取值范围为0<x<4,选项 D错误. (4)4 【解析】如解图,过点 K 作 KP⊥x轴于点P,过点 L 作 LQ ⊥ x 轴 于 点 Q, 得 △LNQ ∽ ∵KL=4LN,∴KN=KL+LN=5LN,∴KW=KP/L₀=5,∴LQ=1，∵ 点K 是反比例函数和一次函数y₄ 的交点,∴k=5,d=6,∴L(5,1),∴PN=5,∴KN= 例2 (1)A 【解析】∵∠ACB=90°,B(8,2),BC∥x轴,∴点 C 的纵坐标为 2,∵ k=4,∴ C(2,2),∴BC=6,∵ BC=2AC,∴AC=3,∴S△ABC= AC.BC=9. (2)C 【解析】∵ QN∥x轴,Q(0,3),∴Q,N两点纵坐标都为3,∴设 N(x,3).∵ 四边形 MNPQ 是矩形,∴∠QMN=90°,∵矩形MNPQ的对角线的交点为C,∴ C 为 QN 的中点.∴(C( x,3). ∵∠QMN= ∵M(1,0),Q(0,3),N(x, 解得 x=10,∴C(5,3).∴k=5×3=15. (3)10 【解析】∵ 四边形 OABC 是菱形,∴AC 垂直平分OB,∵OB=5,AC=8,∴C(4, )，∵反比例函数 的图象经过点 C，. (4)4 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵A(2,0),B(0,1),∴点A 向左平移2单位，再向上平移1个单位得到点 B，∴点 D向左平移2 个单位，再向上平移1 个单位得到点C，∵ 反比例函数 的图象与直线y=x交于点D,∴设D(m,m),则C(m-2,m+1),∵点C,D在反比例函数图象上,∴k=m·m=(m-2)(m+1),解得m=-2,∴k=4. 三阶 综合强化练 1. A 【解析】 设出点 A 的坐标，表示出点 B 与点 C 的坐标求解即可.设A(a,²/a)(a>0),则lB(4a,²/₄),设过点 B，C 的直线解析式为y=kx(k≠0),则 过点 B,C的直线解析式为 联立 解得 或 舍去), 2. A 【解析】可先求直线AM,BM 的解析式,得到点C,D 的坐标,再求解OC·OD 即可.设A(a,-a),则B(-a,a),∵M(m,1),设直线AM 的解析式为y=cx+d(c≠0),则 解得 直线AM 的 解 析 式 为 ∴C ( 0, 同理可得， ∵A(a,-a),M(m,1)都在反比例函数 的图象上,∴-a·a=k=m·1,即k=m=-a²,∴OC· . OC·OD的值随k的值增大而减小. 3. C 【解析】由“垂线段最短”知，AB 垂直于直线y=-x时AB 最小，已知点A 的坐标，可构造“一线三垂直”模型求出点 D 的坐标，由点 D 在反比例函数的图象上求解即可.如解图，过点 B 作 BM⊥x轴于点M,过点 D 作 DN⊥x轴于点N,当AB 最小时,即AB⊥OB,∵点B在直线y=-x上,∴∠AOB=45°,在Rt△AOB 中,∠AOB = 45°,OA = 8,∴ OM = BM = ∵四边形 OBCD 是正方形,∴ OB = OD, ∠BOD = 90°,∴ ∠DON =∠BOM=45°,∴△ODN≌△OBM(AAS),∵ 点 D 在反比例函数 的图象上，. 又∵k>0,∴k=16. 4. A 【解析】①∵直线y=-x+b 与反比例函数 ≠0)的图象的一支交于点C(1,4),∴4=-1+b,2k=4,∴b=5,k=2,正确;②∵A,B 分别是直线y=-x+5 与 x轴,y 轴的交点,∴点 A 的坐标为(5,0),点 B 的坐标为(0,5),∴ OA = OB = 5. ∵∠AOB = 90°,∴∠DAF = 45°. ∵ DF ⊥ x 轴, ∴ △ADF 是 等 腰 直 角 三 角 形, 正 确; ③ 联 立 解得 或 点 D 的坐标为 (4,1),∴DF=1,点 C到y轴的距离为1,∵ △AOD 和△BOC 等底等高, 又∵ S△AEC = S四边形OBCE,S△BOD=S△AOB-S△AOD,S四边形OBCE= 错误;④ 错误. 5. D 【解析】如解图,设AD 交OB 于点 M,AD 交 OC于点 N，BE交OC于点P，由反比例函数k的几何意义知， ∵阴影部分面积为31, 31,∴k=-36. 6. -12 【解析】 和△EDC等高, 1,S△EDC=2,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴△EOD∽△EBA,∴OD=DD= ∵点A在反比例函数 的图象上,∴k=-12. 7. 15 【解析】由菱形 OBAC 的面积为40,tan∠BOA= 得 如解图，延长 BC交 x 轴于点 E,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,则 ，则点 C 的坐标为 )，∵点C 在反比例函数 的图象上,∴k= 8. 【解析】∵ B(4，1)是一次函数与反比例函数图象的交点，. 点A(m,4)在反比例函数图象上， ∴A(1,4),将 A(1,4),B(4,1)代入 解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+5,∵ 点 P 是线段 AB 上一点，PQ∥y轴，交反比例函数的图象于点 Q，∴设P 且1≤n≤4,如解图,过点 Q 作QD⊥x 轴于点 D,∴点 P,Q,D 在同一条直线上, 且 ∴当 时,S△OPQ有最大值，最大值是 . 9. 【解析】看到反比例函数的图象与直线有交点，首 先想到求 交点坐标.联立 ∴点 A 与点 B 关于原点 O 对称,∴点 O 是线段AB 的中点,∵ N 是线段 AM 的中点,则 ON∥BM,且 ∵ ON 的最小值为 ,∴BM的最小值为1,∵M在⊙C上运动,∴当B,C,M三点共线且点 M在BC之间时，BM最小，根据点圆最值模型确定点 M 的位置，如解图，连接BC，与⊙C 交于点M,此时 或 解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,连接 又∵ ∵ ∠ACO=∠BDO,∴ △ACO∽△ODB. ∵ACD= 设点 则 ∴当 n=2时，点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 ¹/n.∴设点 旋转变换后点 B 的坐标为 $$