2025年中考数学专题复习：二次函数图像与几何变换问题

二次函数图像与几何变换问题 一阶 1.将二次函数 的图象向下平移2个单位，关于平移后的图象，以下说法错误的是( ) A.开口方向不变 B.对称轴不变 C.y随x的变化情况不变 D.与y轴交点不变 2.将抛物线 先向上平移5个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线解析式为 ( ) 3.若将抛物线 沿x轴向左平移2个单位，得到的新抛物线经过点(1，3)，则新抛物线的顶点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(2，3)，将抛物线 -2x+3沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为 ( ) B. 1 C. 2 5.抛物线 关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为 ( ) 6.若抛物线 与抛物线y₂关于抛物线的顶点对称，则 抛物线y₂的顶点坐标为 ( ) 7.将抛物线 绕原点 O旋转 ，则旋转后抛物线的解析式为 ( ) 8.已知抛物线 抛物线 与 关于x轴对称，两抛物线的顶点间的距离为5，则c的最小值为 ( ) 9.将抛物线 绕顶点旋转 后，得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ( ) A. (0,1) B. (1,0) C. (0,-1) 10. 若抛物线 与抛物线 关于原点对称，且A(-1,9),B(1,3)两点在抛物线( 上，则抛物线 的解析式为 ( ) 设问进阶练 例 已知抛物线的解析式为 (1)若 将该抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0，3)，则平移后的抛物线的对称轴为直线 ( ) A. x=-1 B. x=1 C. x=-2 D. x=0 (2)若b=c=2m-1,该抛物线与抛物线 关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为 ( ) A. m=2,n=-3 B. m=0,n=1 C. m=-2,n=3 D. m=1,n=-2 (3)若抛物线的顶点坐标为(1，2)，将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线 ，将抛物线 绕其顶点旋转 180°得到抛物线 则抛物线 与y轴的交点坐标是 ( ) A. (0,a+1) B. (0,a+2) C. (0,-a+1) D. (0,-a+2) (4)若抛物线经过A(2,1),B(4,3),C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，若c=2a，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的 ( ) A. 最大值为-1 B. 最小值为-1 C.最大值为 D.最小值为 (5)若a=-1,b=2,c=-3,将该抛物线向左平移2个单位得到一个新的抛物线，自变量x在什么取值范围内时，上述两个抛物线中恰好其中一个的函数图象是y随x的增大而增大的，而另一个的函数图象是y随x的增大而减小的，请写出自变量x的取值范围 . 综合强化练 1.(抛物线平移)如图，将二次函数 的图象沿对称轴向下平移得到一个新的函数图象，其中点A为抛物线与y轴的交点，点 B 为抛物线的顶点，平移后的对应点分别为点 B'.若弧AB扫过的面积为3(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是 ( ) 2.(抛物线绕顶点旋转)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，绕其抛物线顶点 D 旋转 得到的新抛物线y₂与y轴交于点E，连接BD，BE，DE，则 3.在平面直角坐标系中，点 M 为抛物线 上一点，若将抛物线沿y轴向上平移，使其顶点落在x 轴上，点 M平移后在新抛物线上的对应点为 M'，且( ,则点 M 坐标为 . 4.(抛物线关于y轴对称)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点E，抛物线y₁关于y轴对称得到抛物线y₂，抛物线y₂与x轴交于C，D两点，连接CE，BE，若 ∠BEC=90°,，则此时抛物线y₂ 的解析式为 .y₂ 5.(抛物线关于点中心对称)已知抛物线 与抛物线( 关于点 P(1,0)中心对称，设抛物线 与y轴的交点分别为M,N,当MN=8时,m的值为 . 6.(抛物线绕原点旋转)在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 绕原点O旋转 ，所得新抛物线顶点坐标为M(p，q)，当n≥n≥6≥6时,p+q的最小值为 . 7. 创新题·“造桥选址”求解析式 如图，抛物线 与y轴交于点A，M，N为抛物线对称轴上的两个动点(N在M上方)， P(2,0),连接AN,MP,当 取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后的新抛物线经过点M，则新抛物线的函数解析式为 . 一阶 方法突破练 1. D 【解析】∵将二次函数 的图象向下平移2个单位，a不变，顶点的横坐标不变，∴开口方向不变，对称轴不变，y随x的变化情况不变，与y轴的交点向下平移两个单位. 2. B 【解析】∵ 抛物线 顶点坐标为(2，-2).将其向上平移5个单位，再向右平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标为(3，3)，∴新抛物线的解析式是 3. C 【解析】将抛物线 沿x轴向左平移2个单位，得到新抛物线 1)(x+2)-n,∵新抛物线经过点(1,3),∴将(1,3)代入y₁得, 新抛物线的顶点坐标为 在第三象限. 4. C 【解析】∵ 抛物线 当沿x轴平移时，抛物线上点的纵坐标不变，∴把点 P 的纵坐标y=3 代入 得 解得 ,平移的距离是2-0=2或6-2=4.当沿y轴平移时，抛物线上点的横坐标不变，把点 P 的横坐标x=2代入 得 ，平移的距离是： 则平移的最短距离是2. 5.B 【解析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，∴抛物线 关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为 6.B 【解析】关于顶点对称的两抛物线的顶点坐标相同，抛物线 的顶点坐标为 ∴抛物线y₂的顶点坐标为 7. D 【解析】∵抛物线绕原点O 旋转180°,a与c符号全部变相反，∴旋转后的抛物线解析式为 8. C 【解析】∵ 抛物线 c,∴抛物线 C₁ 的顶点((-2,-4+c),∵抛物线 C₂与C₁关于 x 轴对称,∴ 抛物线 C₂ 的顶点为(-2,4-c).∵两抛物线的顶点间的距离为5,∴l4-c+4-cl=5,解得 或 ∴c的最小值为 . 9. A 【解析】将抛物线 绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，a 符号变相反，∵原抛物线y= 顶点坐标为(-1,2),∴新抛物线的解析式为 令x=0,y=1,∴新抛物线与y轴的交点坐标为(0,1). 10. B 【解析】∵A(-1,9),B(1,3)两点在抛物线C₁: 上，∴将A，B 两点代入解析式，得 解得 抛物线 5,∵ 抛物线 C₁ 与抛物线 C₂ 关于原点对称,∴抛物线 即抛物线 二阶 设问进阶练 例 (1)B 【解析】抛物线向右平移2个单位得到抛物线 …平移后的抛物线与y轴的交点为A(0,3),∴3=4+2(m-1)+m²+2，解得m=-1，∴平移后的抛物线解析式为 2x+3,∴其对称轴为直线x=1. (2)A 【解析】∵抛物线 与抛物线 关于 x轴对称，∴ 对应系数相等得 解得 (3)D 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(1,2),将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线 C₁，∴抛物线C₁的顶点坐标为(-1，2)，设抛物线 C₁ 的解析式为 将抛物线 C₁ 绕其顶点旋转180°得到抛物线C₂,∴ 抛物线 C₂与抛物线 C₁的开口方向相反，顶点坐标不变，∴抛物线 C₂ 的解析式为 令x=0,则y=-a+2,∴抛物线 C₂与y轴的交点坐标是(0,-a+2). (4)C 【解析】∵ A(2,1),B(4,3)在直线y=x-1上,∴A或B 是抛物线的顶点,∵B(4,3),C(4,-1)的横坐标相同，∴抛物线不会同时经过B，C两点，∴抛物线经过A，C 两点， ∴把A(2,1),C(4,-1)代入解析式得 解得二次函数的解析式为 ∴顶点始终在直线γ=x-1上，∴抛物线向左、向下平移的距离相同，∴设平移后的抛物线为 令x=0,则 平移后的抛物线与y轴交点纵坐标有最大值，最大值为 (5)-1<x<1 【解析】∵ 抛物线 将抛物线 向左平移2个单位，得到新抛物线 如解图，抛物线 在x<1时,y随x的增大而增大，抛物线 ,在x>-1时,y随x的增大而减小，∴当-1<x<1时，两个函数中恰好其中一个函数的图象是y随x的增大而增大的，而另一个函数图象是y随x的增大而减小的. 三阶 综合强化练 1. A 【解析】∵函数 的图象与y轴交于点A，点 B 为抛物线的顶点，. A(0, ),B(1,2),∴点A到BB'的距离为1,观察题图可知弧AB 扫过的面积为平行四边形 ABB'A'的面积, ,即AA'=3,点 A 到 A'向下平移3 个单位，抛物线上点的平移规律即抛物线的平移规律，∴将原函数的图象向下平移3个单位得到新函数的图象，∴新图象的函数表达式为 2. 3 【解析】要求S△BDE，可用面积和差法，首先要求出各点的坐标，∵抛物线 与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点 B(-1,0),C(0,3),∴D(-2,-1),∵将其绕顶点 D旋转180°，∴新抛物线顶点坐标不变，开口方向改变，∴新抛物线 ∴E(0,-5),如解图,过点 D 作 DF⊥x轴于点 F,∴DF=1,∴S△BDE=S梯形DFOE-S△DFB-S△BOE=(1+5)× 或 【解析】设点 M的坐标为 点 B 为抛物线 的顶点，易得B(-1,-3),根据题意可知平移后点 B落在x轴上，∴抛物线向上平移了 3个单位，则点 且 MM'⊥x轴,∴点 M与点 M'关于x轴对称(两点关于x轴对称，纵坐标相加等于0),. 整理得， 4x-1=0,解得, 或 点 M 的坐标为 或 【解析】∵抛物线y₂与抛物线y₁关于y轴对称，抛物线y₁与x轴交于A，B两点，抛物线y₂与x轴交于C，D两点，∴点C 与点B关于y轴对称,OB=OC,∵∠BEC=90°,∴△BEC是等腰直角三角形,∴OE = BC=OB = OC=2,∴B(2,0),C(-2,0),将点 B 坐标代入 得,b= 5. 1或 【解析】设点 A(x₁,y₁)在抛物线C₁ 上,点A关于P(1，0)中心对称的点为A'(x₂,y₂),∴有 解得 由点A(x₁,y₁)在抛物线C₁ 上可知, 即 故抛物线 C₂ 的解析式为： 与y轴的交点为M(0,m-1),∴MN=l-10m+2l=8,解得m=1或 【解析】∵将抛物线 0)绕着原点 O 旋转 180°，∴得到的新抛物线的解析式为 即 (n-1)x-3n,∵所得图象的顶点坐标为M(p,q), ∴当n>5时,代数式p+q的值随n的增大而增大，∴在n≥6范围内，当n=6时，代数式p+q有最小值，最小值为 【解析】要求AN+MN+MP的最小值，MN是定值，即求 AN+MP 的最小值.如解图，将点P向上平移 个单位后得到点P'，连接AP'与对称轴交于点 N,则此时 AN+MP 最小,为 AP'的长, 由作图得 PP',∴四边形 MNP'P 为平行四边形,. ∵抛物线的解析式为 ∴A(0,1),∵P(2,0),∴ P'(2, ),设直线 AP'的解析式为y=kx+b,将A,P'两点的坐标代入得 解得 直线AP'的解析式为 抛物线 的对称轴为直线 ∴新抛物线经过点 M，即原抛物线向上平移 个单位得到新抛物线，其解析式为 学科网（北京）股份有限公司 $$