2025年中考数学专题复习：二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习　

二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习 考向 1 对称轴确定求最值或取值 方法突破练 1.已知二次函数 当 时，求y的取值范围(用含c的代数式表示). 2. 若P(m,n)和Q(5,b)为二次函数 图象上的两点，且 ，求m的取值范围. 3.已知抛物线 (n 为常数)，一元二次方程 的两个根分别为 且满足 ，若P(a，b)为抛物线上一点，则当 时，求b的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 4.已知二次函数 当 时，求y的最小值(用含 m的代数式表示). 5.已知二次函数 当( 时, 5，求n的取值范围. 6.已知二次函数 当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取值范围. 设问进阶练 例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)若 当 2时，求y的最大值(用含a，m的代数式表示)； (2)当 时，y的最大值为5，求a的值； (3)若 当 时，y的最大值是m，最小值是n，且 ,求t的值. 综合强化练 1.已知抛物线 与直线 的一个交点A在y轴正半轴上. (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求γ的最小值(用含m的式子表示)； (3)若 为抛物线上在对称轴两侧的点，且 求n的取值范围. 作图区 答题区 2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 (1)若该抛物线的对称轴为直线 且 求该抛物线的顶点坐标； (2)在(1)的条件下,当 时，y的最小值为 求a的值； (3) 创新题·代数推理 若( ，抛物线经过点( 当 时，求证： 作图区 答题区 考向 2 对称轴不确定求最值或取值 一 阶方法突破练 1.已知抛物线 当 时，求y的最小值(用含 m的式子表示). 2.已知抛物线 当 时，函数值y的最大值满足. 求b的取值范围. 3.已知抛物线 n 是常数),当( 时，函数y有最小值. 求n的值. 设问进阶练 例 在平面直角坐标系中，已知抛物线 是抛物线上的两点，若 求t 的取值范围； 是抛物线上的两点，若对于 且 都有 求t的取值范围； (设问源自2022北京师大附中四模) (3)将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， )是新抛物线上的点，且均满足 求 t 的最大值. 综合强化练 1.已知二次函数 (a是常数,且( (1)当 时，试判断点 是否在该函数图象上； (2)当 时，y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)若点 为该二次函数图象上的两点，且对于 时，都有 ，求a的取值范围. 作图区 答题区 2.已知抛物线 始终过定点. (1)求定点的坐标； (2)若当 时，y的最大值为2，求m 的值； (3) 创新题·代数推理 材料阅读：在一元二次方程 中，由求根公式可得: 则可得： 运用上述材料中的方法解决下面的问题： 抛物线 不经过第二象限，且经过点( ，若一元二次方程 的两根分别是a，b，求证 作图区 答题区 3. 创新题·阅读理解题在y关于x的函数中，若( 时，函数y有最大值和最小值，分别记为ymax和ymin,且满足 则我们称函数y为“最值函数”.已知二次函数 2mx+c(m,c为常数). (1)当m=1，c=3时，判断该二次函数是否为“最值函数”，并说明理由； (2)若 时，该二次函数为“最值函数”，求c的取值范围； (3)若c=1时，该二次函数为“最值函数”，求m的取值范围. 作图区 答题区 考向 1 对称轴确定求最值或取值范围 一阶 方法突破练 1. 解:∵a=1>0, ∴该二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象开□向上，距离对称轴越远的点函数值越大. ∵ 如解图，对称轴为直线 x =2,-1<2<3,对称轴在区间内, ∴该二次函数在x=2 处取得最小值，最小值为c-4， ∵2-(-1)>3-2, ∴当x=-1时二次函数取得最大值,最大值为c+5. ∴c-4≤y≤c+5. 2.解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线 ∴点Q(5,b)在对称轴右侧, ∵a<0，∴二次函数的图象开口向下，分两种情况讨论，如解图， ①若点 P 在对称轴右侧(或为顶点),即m≥2,∵a<0,∴在对称轴右侧y随着x的增大而减小，∵n>b,∴m<5,∴2≤ (-1,b)m<5; ②若点 P 在对称轴左侧,即m<2,由对称性可知，抛物线经过点(-1，b)， ∵n>b，且在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴m>-1,∴-1<m<2, 综上所述，m的取值范围为-1<m<5. 3. 解:∵ 抛物线 ∴ 抛物线的对称轴为直线 且抛物线恒过(1,-2), ∴一元二次方程 的两根之和为 ∴一元二次方程的两根分别为 ∵ lx₁-x₂|=4-2n,∴ |1-2n+1|=4-2n, ∴2-2n=4-2n(舍去)或2n-2=4-2n,∴n= , ∴抛物线解析式为 ∵--2<0,∴抛物线开口向下, 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，y随x的增大而减小， ∵点P(a,b)在抛物线上, ∴当 时，b有最大值，最大值为 4. 解:∵ 二次函数 ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 x=-2(求出对称轴)， ∴当m≥-2时,则当x=m+3时(区间在对称轴右侧)，y有最小值为 10m-16; 当m<-2<m+3时,即-5<m<-2时. 由于抛物线开口向下，当对称轴位于区间内时，离对称轴越远的点，y值越小. 若m+3-(-2)≥-2-m,即 时,当x=m+3时，y有最小值为 若m+3-(-2)<-2-m,|即 时,当x=m时,y有最小值为 当m+3≤-2,即m≤-5时,当x=m时(区间在对称轴左侧)，y有最小值为 综上所述，当 时，y的最小值为 16;当 时，y的最小值为 5.解：由题意得二次函数 ∴如解图，该二次函数图象开口向上，对称轴是直线 x=2，当x=2 时，该函数取得最小值-4a+5, ∵当0≤x≤n时,5-4a≤y≤5，最小值在顶点 处 取得，即n≥2,当x=0,y=5是最大值,由对称性可知x=4时,y=5,即n≤4, ∴n的取值范围为2≤n≤4. 6. 解:∵a>0,抛物线对称轴为直线x=1, ∴ 顶点坐标为(1,-2), ①当t+2≤1,即t≤-1时,当x=t时,y的值最大,当x=t+2时,y的值最小, ②当t<1<t+2,且t+2-1≤1-t,即-1<t≤0时,当x=t时，y的值最大，顶点处y的值最小， ③当t<1<t+2,且t+2-1>1-t,即0<t<1时,当x=t+2时，y的值最大，顶点处y的值最小， ④当t≥1时,当x=t+2时,y的值最大,当x=t时,y的值最小， 综上所述，a的取值范围为0<a≤2. 二阶 设问进阶练 例 解:(1)∵抛物线 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2， ∴①当m+2<2时,则x=m+2时,y取得最大值,最大值为 ②当m≤2≤m+2时,则x=2时,y取得最大值,最大值为y=4a-8a+3a-1=-a-1; ③当m>2时，则x=m时，y取得最大值，最大值为 (2)∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴区间2≤x≤5在对称轴的右侧，分 a>0 和 a<0 两种情况: ①当a>0时,如解图①,在2≤x≤5区间,y随x增大而增大， ∴此时y最大值在x=5时取到,即5=25a-20a+3a-1,解得 ②当a<0时,如解图②,在2≤x≤5区间,y随x增大而减小，∴此时y最大值在x=2时取到，即5=4a-8a+3a-1,解得a=-6, 综上所述，a的值为 或-6; (3)∵a=1,∴抛物线 ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2， ①当t+1<2即t<1时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的左侧，y随x增大而减小， ∴y的最大值是当x=t时，即 则y的最小值是当x=t+1时，即 解得t=0; ②当t≤2,t+1≥2,2-t>t+1-2,即 时，对称轴在t≤x≤t+1区间内, ∵当x=t时离对称轴较远，取得最大值， ∴y的最大值是 最小值是n=-2, ∵m-n=3, 解得 (舍去); ③当t≤2,t+1≥2,2-t<t+1-2,即 时，对称轴在t≤x≤t+1区间内, ∵当x=t+1时离对称轴较远，取得最大值. ∴y的最大值是 最小值是n=-2, 解得 (舍去); ④当t>2时,区间t≤x≤t+1 在对称轴的右侧,y随x增大而增大， ∴y的最大值是当：x=t+1时,即. 最小值是当x=t时,即 解得t=3;综上所述，t的值为0或3. 三阶 综合强化练 1. 解:(1)∵抛物线 与直线 的一个交点在y轴正半轴上， ∴当x=0时, 令 解得k=3或k=0(不合题意,舍去), ∴抛物线的解析式为 (2)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2(求出对称轴), 当m+1<2,即 m<1 时(对称轴在区间右侧),当x=m+1时，y取得最小值，最小值为 当m≤2≤m+1,即1≤m≤2时(对称轴在区间内)，此时，当x=2时，y取得最小值，最小值为y= 当m>2时，此时，当x=m时(对称轴在区间左侧)，y取得最小值，最小值为 (3)【思路点拨】分点B在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧和点B 在对称轴右侧，点C 在对称轴左侧两种情况讨论. 如解图①，若点 B 在对称轴的左侧，点 C 在对称轴的右侧时，由题意得 解得 ∵y₁>y₂,∴2-(3n-4)>5n+6-2,解得 ∴n的取值范围为 如解图②，若点 C 在对称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧时，由题意得 该不等式组无解. 综上所述，n的取值范围为 2. (1)解:∵抛物线的对称轴为直线x=-1, ∵c=a-2,∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为(-1,-2); (2)解：当a>0时，抛物线开口向上， 由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴当x=-1时,y取得最小值, ∴a-2a+a-2=-4a,解得 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在区间内，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，y值越小. ∵2-(-1)>(-1)-(-2), ∴当x=2时,y取得最小值, ∴4a+4a+a-2=-4a,解得 舍去);(综上所述，a的值为- ; (3)证明:∵抛物线 经过点(p,-a), 为方程 的根， ∵a+b+c=0,∴b=-a-c, ∵a>b>c,∴a>0,c<0,∴3a-c>0,∴b≥0, ∵p为方程 的根,a+c=-b, 或 当x=p+4时, c+a)+8ap+15a+4b=8ap+15a+4b, 若 则 即 若 则 综上，满足题设条件时 考向2 对称轴不确定求最值或取值范围 一阶 方法突破练 1.解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线x (求出对称轴的表达式) 将区间以对称轴为临界， 如解图中y₁,当m≤-1时,在-1≤x≤1范围内y随x的增大而增大， ∴当x=-1时,y取得最小值，即 如解图中y₂,当-1<m<1时，对称轴处于区间内， ∴当x=m时,y取得最小值，即 如解图中y₃,当m≥1时,在-1≤x≤1范围内y随x的增大而减小， ∴当x=1时，y取得最小值，即 综上所述，当m≤-1时，y的最小值为 当-1<m<1时,y的最小值为2;当m≥1时,y的最小值为 2.解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴当b≥4时,对称轴 当 时,即4≤b≤8, ∵-1<0，抛物线开口向下，此时对称轴在2≤x≤4 内,∴当 时，y取得最大值， 即 解得 当对称轴 时,即b≥8, 此时在0≤x≤4时，y随x增大而增大， ∴当x=4时,y有最大值, ∴y最大=-16+4b+5=4b-11, 即5≤4b-11≤17,解得4≤b≤7, ∵b≥8,∴不合题意,舍去. 综上所述，b的取值范围为 3.解：由题可得，抛物线开口向下，对称轴为直线x 分以下情况讨论：①当对称轴 即n<0时,在0≤x≤1范围内,y随x增大而减小,当x=1时,y取最小值， 解得 (不合题意，舍去)； ②当 即0≤n≤2时, 当对称轴靠近左端点时，即 当x=1时,y取最小值, 解得 (不合题意，舍去)， (不合题意，舍去); 当对称轴靠近右端点时，即 当x=0时,y取得最小值, 解得 (不合题意，舍去)， (不合题意，舍去); 当对称轴位于区间中间时，即 当x=0或1时，取得最小值， 或 解得n=1; ③当对称轴 即 n>2时,在0≤x≤1范围内，y随x增大而增大， ∴当x=0时,y取最小值, 解得 (不合题意，舍去)， (不合题意，舍去); 综上所述，n的值为1或-1. 二阶 设问进阶练 例 解：(1)∵抛物线解析式为 ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=t. ∵a=1>0,A(3,y₁),B(7,y₂)在抛物线上,y₁>y₂,抛物线开口向上，距离抛物线对称轴越远的点，y值越大. ①当点 A,B在对称轴两侧时,即3<t<7时,∵y₁>y₂,∴t-3>7-t,∴5<t<7; ②当点A，B在对称轴同侧时， ∵3<7,y₁>y₂,y随x增大而减小， ∴t≥7, 综上所述，t的取值范围为t>5； (2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线xx=t,-1≤x₁<3,且 ∴点 Q 为区间的右端点， ∴如解图，当t≤-1时，结合函数图象可得，对于 且:x₂=3,都有 当-1<t<3 时,要使对于 且 都有 ∴对称轴直线x=t靠近区间左端点 P，解得 ∴当-1<t≤1时,对于 且 都有 当t≥3时，不符合题意. 综上所述，t的取值范围为t≤1； (3)∵原抛物线开口向上，且对称轴为直线x=t， ∴平移后抛物线开口向上，对称轴为直线x=t+1， ∴点 M 位于对称轴的右侧. 如解图， ①当点 N₁ 在对称轴右侧，且在点 M左侧(包括点M)时,满足条件,∴2t-4>t+1,且2t-4≤t+3,解得5<t≤7; ②当点 N₂ 在对称轴左侧，且距对称轴的距离小于或等于点 M 到对称轴的距离时，满足条件， ∴2t-4<t+1, 且t+1-(2t-4)≤t+3-(t+1),解得3≤t<5, ③当点 N₃ 在抛物线顶点处时， 恒成立，此时,2t-4=t+1,∴t=5. 综上所述，t的取值范围为3≤t≤7. ∴t的最大值为7. 三阶 综合强化练 1. 解:(1)点 不在该函数图象上，理由如下：当a=2时,二次函数的解析式为y=(2x-1)(x-2),当 时, ∴点 不在该函数图象上； (2)【思路点拨】求出二次函数对称轴，分a>0，a<0两种情况，再根据二次函数的增减性求解即可. 令y=0,解得 ∴二次函数y=(ax-1)(x-a)的图象与 x轴交于( ,0),(a,0)两点, ∴对称轴为直线 当a>0时，函数图象开口向上， ∵当 时，y随x的增大而减小， ∴ 对称轴在区间右侧， 当a<0时，函数图象开口向下， ∵当 时，y随x的增大而减小， ∴对称轴在区间左侧， 综上所述，a的取值范围为 或 (3)【思路点拨】临界情况为P，Q在对称轴两侧，根据二次函数图象的开口方向和大小及y的大小关系判断点P，Q 离对称轴的远近求解即可. 由(2)得二次函数图象的对称轴为直线 当a>0时，抛物线开口向上，如解图①， 若点 P'，Q'位于对称轴两侧，且点 P'在点 Q'的左侧，当 时, 时，都有 ∴点 Q'距对称轴的距离小于点 P'距对称轴的距离， 或 若点 P"，Q"都位于对称轴同侧， 时，都有 ∴P"，Q"两点都在对称轴的左侧， 或 当a<0时，抛物线开口向下，如解图②， 若点 P'，Q'位于对称轴两侧，当 时, 时,都有y₁>y₂, ∴点 P'距对称轴的距离小于点 Q'距对称轴的距离， 若点 P"，Q"都位于对称轴同侧， 时，都有γ₁>y₂,∴ P",Q"两点都在对称轴右侧， 综上所述，a的取值范围为( 或 或a<0. 2. (1)解:∵ 抛物线 若抛物线始终经过定点，则此时与m的取值无关， 解得 当x=1时,y=1,∴定点的坐标为(1,1); (2)解:∵ 抛物线 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵对称轴与区间的位置关系不确定， ∴分情况讨论：①当 时, (i)当m>0时，抛物线开口向上，区间在对称轴右侧,此时在x=5 时,y取得最大值,即2=25m-5(2m-1)+m,解得 舍去); (ii)当m<0时，抛物线开口向下，区间在对称轴右侧， 此时当x=2时,y取得最大值,即2=4m-2(2m-1)+m,解得m=0(舍去); ②当 时，即 抛物线开口向下，对称轴在区间内，此时在对称轴处取得最大值，即 解得 ③当 时，即 抛物线开口向下，区间在对称轴左侧，此时在x=5时，y取得最大值，即2=25m-5(2m-1)+m,解得 (舍去),综上所述，m的值为 (3)证明:∵抛物线 不经过第 二象限且经过定点(1，1)， ∴抛物线开口向下，m<0， 把(-3m,m)代入 解得 (舍去), (舍去) ∴一元二次方程为 整理得 1=0. ∵a,b是方程 的根， 1+21b-1=27a-9-6a+21b=21(a+b)-9=54, .左边 右边， ∴原等式 成立. 3.解：(1)该二次函数是“最值函数”，理由如下：当m=1，c=3时，二次函数解析式为 ∴该二次函数的对称轴为直线x=1. ∵a=1>0,0≤x≤1, ∴抛物线开口向上，区间在对称轴左侧， ∴当x=1时, 当x=0时, ∵2>0,2×2=4>3, ∴该二次函数是“最值函数”； (2)【思路点拨】将m 的值代入二次函数的解析式，求出二次函数的对称轴，根据“三角形函数”的最大值与最小值的关系求解即可. 当 时，该二次函数为 其对称轴为直线 抛物线开口向上，区间在对称轴左侧， ∴当.x=1时, 当x=0时,, ymax=c. ∵ 该二次函数为“最值函数”， ∴c-2>0,且2(c-2)>c,解得c>4, ∴c的取值范围为c>4; (3)【思路点拨】将c的值代入二次函数的解析式中，求出二次函数的对称轴，根据所给的x的区间及点到对称轴的距离对区间内最值的影响分四种情况：①m≤0,②0<m≤ ,③ <m≤1,④m>1,求解即可. ∵当c=1时, ∴对称轴为直线x=m， ①如解图①，当m≤0时，区间在对称轴右侧，当x=0, ymin=1, 当x=1, ymax=-2m+2,.则2>-2m+2,解得m>0(舍去); ②如解图②，当 时，对称轴在区间内，0到对称轴的距离小于1到对称轴的距离， 当 当x=1, ymax=-2m+2,则解得 ③如解图③，当 时，对称轴在区间内，0到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，当 当:x=0, ymax=1,则 解得 ④如解图④，当m>1时，区间在对称轴左侧，当x=1, ymin=-2m+2,当x=0, ymax=1,则 解得 (舍去),综上所述，m的取值范围为 $$