2025年中考数学一轮专题复习讲义：等腰三角形问题

等腰三角形问题 —阶方法突破练 1.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C，使得. 是以AB 为腰的等腰三角形. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 与x轴交于点B,A(2,3)在直线上，在x轴上有一点C，使得 是以 AB 为底的等腰三角形，求点 C 的坐标. 3.如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,连接AC,点 P 是y轴上一点,若. 是等腰三角形，求点 P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 二阶 设问进阶练 例 如图，直线. 与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C. (1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点 D，使得 是以BC 为底的等腰三角形，求点 D 的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使 是以 AC 为底的等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③,连接 BC,在直线 AC 上是否存在点 F,使 是以 BC 为腰的等腰三角形?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点 K，使 是等腰三角形?若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使 是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 三阶综合强化练 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线l： 交于A,B两点. (1)求A,B两点的坐标; (2)若点M是直线AB下方抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，设点 M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出 MN的范围； (3)(y轴上的动点)在y轴是否存在一点C，使得 是等腰三角形?若存在，请求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 2.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 BC的解析式为 点P是x轴上的一个动点，过点P作直线. 轴交直线 BC 于点 E，交抛物线于点 F. (1)求抛物线的解析式； (2)创新题·探究角的数量关系 若点 P在线段OB上运动(且不与点 O重合)，当 时，请你猜想. 与 的数量关系，并说明理由； (3)(x轴上的动点)是否存在点 P，使得 是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 备用图② 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点 C(0,3),且 (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD，与 BC交于点E，求 的最大值； (3)(对称轴上的动点)若点M为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点 M，使得. 为等腰三角形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 考向1 等腰三角形问题 一阶 方法突破练 1.解：格点 C的位置如解图所示. 2. 解:∵直线y=x+1 与x轴交于点B,A(2,3), ∴B(-1,0),∠ABO=45°,∴AB=3 , 当AB 为底边时，如解图，作线段 第2题解图AB的垂直平分线交x轴于点 C，连接AC， ∴AC=BC=3, ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴ C(2,0). 3. 解:∵抛物线 与x轴交于 A,B两点,与y轴交于点 C， ∴A(3,0),B(-1,0),C(0,-2), ∴OA=3,OC=2,AC= . ∵点P 在y轴上, 设点 P 的坐标为(0,m), 则 如解图,①当PA=CA时,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交y轴于点 P₁，此时点A在CP的垂直平分线上, ②当. 时，以点 C为圆心，AC长为半径画弧,交y轴于点 P₂,P₃, 即 解得 或 ③当PC=PA时,作线段AC的垂直平分线交y轴于点 P₄， 即 解得 ∴P₄(0, ). 综上所述,点P的坐标为(0,2)或(0, 或(0, 或 二阶 设问进阶练 例 解:(1)∵直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴A(-3,0),C(0,3), ∵ 抛物线 与x轴交于点B， ∴B(1,0), 如解图①，当△BCD 是以 BC 为底的等腰三角形，作 BC 的垂直平分线交y轴于点 D,则有 BD=CD, ∵ 点 D 是y轴上的点, ∴设D(0,d),. 即 解得 ∴ 点D 的坐标为 (2)存在. 如解图②,过点 O 作直线 OP⊥AC 于点 P,交抛物线于点 E₁,E₂,则点 E₁,E₂即为所求. ∵OA=OC=3, ∴OP 是线段AC 的垂直平分线， ∵A(-3,0),C(0,3),∴ ∴直线OP 的解析式为y=-x, 联立 解得 ∴点E的坐标为 或 (3)存在. ①当BC=BF时,如解图③,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧,交直线AC于点 F₁,设F₁(f,f+3),由题意可得， 解得.f₁=0(舍去),. ∴F₁(-2,1); ②当BC=CF时,如解图③,以点C为圆心，CB 长为半径画弧,交直线AC于点 F₂,F₃,设F(m,m+3), 由题意可得 ∵CF=BC,∴CF²=BC², 解得 或 综上所述,点F 的坐标为(-2,1)或( 或 (4)存在. ∵ 抛物线的解析式为 ∴H(-1,4), ∵A(-3,0),∴AH=2 , ①如解图④,当AH为△AHK 的底时,作AH 的垂直平分线K₁L交x轴于点 K₁,交 AH 于点 L, ∴L(-2,2), 设直线AH 的解析式为y=kx+b,将A,H两点坐标代入,得y=2x+6, ∴设直线 K₁L的解析式为 将L(-2,2)代入得c=1, ∴ 直线 K₁L 的解析式为 ∴令y=0,得x=2,∴K₁(2,0); ②如解图④,当 AH 为△AHK 的腰时,以点 A 为圆心,AH为半径画弧,与x轴交于点 K₂,K₃, 此时 同理，以点 H为圆心，AH为半径画弧，与x轴交于点 K₄,此时 K₄ 与点 B 重合,即K₄(1,0). 综上所述，点K的坐标为(2，0)或(2 -3,0)或 或(1,0); (5)存在. 由题意得，抛物线 的对称轴是直线x=-1,∴设G(-1,n), 当△ACG是等腰三角形时，分以下三种情况： ①当AG=AC时,如解图⑤,以点A为圆心,AC长为半径画弧，交对称轴于点 G₁，G₂， 解得 ②当CA=CG时,如解图⑤,以点C 为圆心,CA长为半径画弧，交对称轴于点G₃，G₄， 解得 ③当GA=GC时，如解图⑤，作AC的垂直平分线交对称轴于点 G₅， 解得n=1, ∴G₅(-1,1). 综上所述，点 G 的坐标为( 或(-1, 或 或 或(-1,1). 三阶 综合强化练 1. 解:(1)∵抛物线 与直线l:y=x-1交于A,B 两点, ∴联立 解得 ∴A(-3,-4),B(0,-1); (2)设点M的坐标为( 则点 N的坐标为(m,m-1), ∵ 点M是抛物线上A，B 两点之间的一个动点(不与A,B 重合),∴-3<m<0, 的最大值为 , ∴ MN的取值范围为 (3)存在. ∵A(-3,-4),B(0,-1),∴AB=3 , ①如解图，当AB 是△ABC的底时，作线段AB 的垂直平分线,交AB 于点D,交y轴于点C₁, ∵C₁D⊥AB, ∴设直线C₁D的解析式为：:y=-x+b,将点 代入,得b=-4, ∴直线C₁D的解析式为：:y=-x-4,∴C₁(0,-4); ②如解图,当AB是△ABC的腰时,分别以点 A,B 为圆心,以AB长为半径作圆,交y轴于点 C₂,C₃,C₄, 综上所述,C点坐标为(0,-4)或(0,-7)或(0, 或 2. 解:(1)∵直线 BC分别与x轴,y轴交于点 B,C,∴B(6,0),C(0,-6). ∵抛物线 经过点B,C, ∴将B，C两点坐标代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)∠AEP+∠ACO=90°. 理由：由(1)知抛物线的解析式为 令y=0,解得x₁=-2,x₂=6,∴A(-2,0),∴OA=2, ∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC, ∴∠ACO+∠OCB=∠PAE+∠CBO. ∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO=45°, ∴∠ACO=∠PAE. ∵∠AEP+∠PAE=90°, ∴∠AEP+∠ACO=90°; (3)存在. 设P(m,0),则 当△CEF是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当CE=EF时, 解得m=0(舍去)或 或 或 ②当CE=CF时,点C在EF的垂直平分线上, 解得m=0(舍去)或m=2, ∴P(2,0); ③当CF=EF时,. 解得m=4或m=0(舍去). ∴P(4,0). 综上所述，点 P 的坐标为 或 或(2,0)或(4,0). 3. 解: ∴A(- ,0),B(3 ,0), ∵C(0,3), ∴ 抛物线的解析式为 ∴将A，B 两点坐标代入抛物线解析式， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)【思路点拨】看见求比例关系或线段比值，可考虑利用相似三角形的比例关系求解. 如解图①,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点 A 作AK⊥x轴交直线 BC 于点 K, 设直线 BC的解析式为y=kx+d(k≠0),将B(3 ,0),C(0,3)分别代入y=kx+d, 得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 设点 则 ∵DG⊥x轴,AK⊥x轴, ∴AK∥DG,△DFE∽△AKE, ∴当 时 取得最大值，最大值为 ; (3)存在，点M的坐标为 或( ,2 )或( ,0)或( 或 【解法提示】∵ 点 M 是抛物线对称轴上一点，∴ 设M( ,m),∵B(3 ,0),C(0,3),∴BC²=36,BM²= 如解图②，分三种情况：①当CM=BM时,作线段 BC 的垂直平分线,交BC于点 F，交抛物线对称轴于点 ∵ 直线 BC 的解析式为 ∴设直线 M₁F的解析式为 ，将点 F 的坐标代入得 x-3,∴M₁( ,0);②当BC=BM时,以点B为圆心,BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于点M₂，M₃， 解得 ;③当 CM=BC时，以点C 为圆心，BC长为半径画弧，交抛物线对称轴于点 解得 综上所述，点M的坐标为( ,0)或( ,2 )或( 或 或 $$