2025年中考数学一轮专题复习讲义：已知角度为定值求动点坐标

已知角度为定值求动点坐标 一阶 方法突破练 1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为( 过点 A作 轴于点 B. (1)若 ,求m的值; (2)若. ,求m的值. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A,B,直线 与x轴交于点C，与直线 交于点D，P是x轴上的一点，且. 若 求t的值. 3.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点 C，点 P 是抛物线上一点，若 ，求点 P的坐标(点 P 的横、纵坐标均为整数). 学科网（北京）股份有限公司 4.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，点 P是抛物线的对称轴上一点，若 求点 P的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，点P为x轴上一点，若 ，求点 P的坐标. 6.如图，在平面直角坐标系中，直线. 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点Q为y轴上一点，若 ，求点Q的坐标. 二阶 设问进阶练 例 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C. (1)若点 F是抛物线对称轴上一点，当 时,求点 F的坐标； (2)若点N为抛物线上一点，当 时，求点N的横坐标； (3)若点P为抛物线对称轴上一点，当 时,求点 P的坐标； (4)如图④,连接AC,BC,点 D 在线段AC上(不与点 A,C重合)且 ，求点 D的坐标； (5)如图⑤，已知点Q(0，1)，连接BQ，抛物线上是否存在点M,使得 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (6)创新题·定角求平移距离 如图⑥，将抛物线向下平移m个单位,交BC于点E,R,若 求m的值. 阶 综合强化练 1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为P，A，B为抛物线上两点，且线段 轴，过点A作 轴于点 D,过点 B 作. 轴于点 C,连接BP,PD,BD. (1)求证: (2)创新题·猜想角度定值条件 小樱证明完(1)中的 为 后，她猜想：所有抛物线 中的“ 都为 ，为验证她的猜想，她提出如下问题：如图①，抛物线 中字母 a，c满足什么条件才能使 .请回答小樱的问题并说明理由； (3)如图②,抛物线 中字母a，b，c满足什么条件才能使. 请直接写出 结论. 作图区 答题区 2.如图，抛物线 与x轴交于A(4,0),C两点,交y轴于点. 点P为y轴右侧抛物线上一个动点. (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作. 轴，过点 P作 于点D,且. 求点P 的坐标； (3)(三角函数值确定)当点F为AB的中点，且 时，求点 P 的横坐标. 作图区 答题区 3.在平面直角坐标系中，抛物线 )与x轴交于A,B 两点(点A在点 B左 侧)，与y轴交于点 C(0，3)，点 D为抛物线的顶点，点P 是抛物线的对称轴上一点. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标； (2)如图①,连接PB,PD,求 的最小值； (3)(特殊角+定边)如图②,连接CP,PB,BC,若 ，求点 P的坐标. 作图区 答题区 考向 1 已知角度为定值求动点坐标 一阶 方法突破练 1. 解:(1)∵∠AOB=30°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=2m, 由勾股定理得， 解得 或 (2)∵∠AOB=60°,A(2m-1,m),AB⊥x轴,∴OB=2m-1,AB=m,△AOB是直角三角形,∴OA=4m-2, 由勾股定理得， 解得 或 2. 解:如解图,过点 D作DE⊥x轴于点E,设点坐标，表示出线段长. 设P(m,0),D(xD,yD), 由题意得 解得 ∴D(6-6t,3-2t),E(6-6t,0), ∵B(0,1),P(m,0), ∴OB=1,PE=|6-6t-ml,OP=|ml,DE=|3-2t|, ∵∠BPD=90°, ∴∠BPO+∠DPE=90°,∠BPO+∠PBO=90°, ∴∠DPE=∠PBO, ∵ ∠BOP = ∠PED = 90°,BP=PD, ∴△PBO≌△DPE(AAS),利用全等关系式求未知数. ∴BO=PE=|6-6t-m|=1,OP=DE=|m|=|3-2t|,当m=3-2t时,|6-6t-3+2t|=|3-4t|=1,解得 或t=1(点B,D重合,舍去),当m=-(3-2t)时,|6-6t+3-2t|=|9-8t|=1,解得 或t=1(舍去), 综上所述， 或 3.解：根据已知条件构造辅助圆，以AB 为斜边作等腰Rt△AGB,则AG=BG,∠AGB=90°,以点G为圆心,AG长为半径画圆，则点 P 在优弧AB上时总有∠APB=45°, 分两种情况讨论，如解图①，若点 G在x轴上方时，⊙G 与抛物线的交点只有 A，B，即没有点 P 使∠APB=45°; 如解图②,若点 G在x轴下方时,过点 G 作 GM⊥x轴于点 M,连接PG. ∵抛物线的解析式为 ∴令y=0,得 解得 ∴A(-2,0),B(8,0),∴AB=10. 设 即 ∵ 点 P的横纵坐标均为整数， ∴有 此时无解， 或 解得 此时两点为A，B两点，舍去， 或 解得 当p=-4或p=10时, 综上所述，符合条件的点P的坐标为(-4，-6)或(10，-6). 4.解：由题意得，抛物线的对称轴为直线 令 解得x=-2或x=4, ∵点A 在点 B左侧,∴A(-2,0),B(4,0), ∴AB=6, ∵∠APB=150°,点P在抛物线的对称轴上, 150°角的补角的2倍是60°角，可以以AB为边作等边三角形找圆心，构造辅助圆. ∴分两种情况讨论： ①当点 P在x轴下方时，如解图，以AB为边在AB上方构造等边△AEB，设抛物线对称轴与x轴交于点D，以点 E为圆心，AB长为半径构造⊙E，则⊙E 与抛物线对称轴在x轴下方的交点即为点 P， ∵ AB=6,∠EAB=60°, ∴ ⊙E 的半径为 6,ED =AE·sin∠EAB=3 , ∴DP=EP-ED=6-3 , ∴点P的坐标为(1,3 -6); ②当点 P 在 x 轴上方时,利用对称性可知，点 P 的坐标为 综上所述，点P的坐标为( 或 5. 解:∵直线y=-x+2 与x轴交于点 A,与y轴交于点 B, ∴A(2,0),B(0,2),∴OA=OB=2,∴∠OBA=45°,分两种情况讨论： 如解图，当点 P在点 A 左侧，即P₁处时， ∴点 P₁ 的坐标为 当点 P 在点 A 右侧,即P₂处时， ∴点P₂的坐标为(2 ,0), 综上所述，点P的坐标为 或(2 ,0). 6. 解:如解图,∵ 直线y=-x+2 与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2,0),B(0,2), ∴OA=OB=2,∴∠OAB=45°.将非特殊角转化为特殊角 ∴点 Q 只能在y轴负半轴. ∵ ∠QAB=75°, ∴∠QAO=∠QAB-∠OAB=30°, ∴ 点Q 的坐标为 二阶 设问进阶练 例 解：(1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C, 令x=0,得y=3,令y=0,解得: ∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 设点 F的坐标为(1,f), 则 ∵∠AFC=90°, 即 解得f=1或f=2, ∴当∠AFC=90°时,点F的坐标为(1,1)或(1,2); (2)①当点 N在x轴上方时,如解图①,设BN与y轴交于点 K， ∵B(3,0),∴OB=3,∵∠NBA=30°, ∴直线 BN的解析式为 联立直线 BN 和抛物线的解析式得 解得 x = 3(舍去) 或 x = ∴ 点 N的横坐标为 ②当点 N 在x轴下方时， 同理可得，点 N的横坐标为 综上所述，点N的横坐标为 g (3)如解图②,连接AC,取AC 的中点S,过点 S作SE⊥AC交抛物线对称轴于点 E,连接AE,CE, ∵A(-1,0),C(0,3), ∴ 直线 AC的解析式为y=3x+3. ∵S为AC的中点,SE⊥AC, ∴s(- ,),CE=AE. 设直线SE的解析式为 将点 S的坐标代入，得 解得 ∴直线SE的解析式为 ∴ 点 E 的坐标为(1,1). 由(1)可知,∠AEC=90°, ∴以点 E 为圆心,AE 长为半径作⊙E，⊙E与抛物线对称轴的交点即为点 P，连接AP，CP,AP',CP', ∴AE=EP. ∴点 P 的坐标为( 或 (4)如解图③,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H, 则∠BHD=90°, ∵ A (-1,0),B(3,0),C(0,3),∴AB=4,AC= ∵ sin ∠BAH = sin ∠BAC = 在 Rt△BDH中, 由(3)可知直线AC的解析式为y=3x+3, 设D(t,3t+3), ∵B(3,0), 解得 (舍去), 当 时, ∴ 点 D 的坐标为 (5)存在. 取线段BQ 的中点G，再将QG绕点 Q 旋转90°得到QG',则 直线 BG'与抛物线的交点即为点 M. ①如解图④,将QG绕点 Q 顺时针旋转90°,过点 Q作NZ∥x轴,过点 G',B 分别作 G'N⊥NZ 于点 N,BZ⊥NZ 于点 Z,易得△NQG'∽△ZBQ,且相似比为 . 由题意得BZ=OQ=1,QZ=OB=3,∴NG'= Qz= 点 G'的坐标为 又∵ B(3,0),∴ 直线 BG'的解析式为 联立 解得 舍去), ②如解图⑤，将线段 QG 绕点 Q 逆时针旋转90°得到 QG",过点 G"作G"L⊥CQ 于点 L, 同理，可得点 ∴ 直线 BG"的解析式为y=-x+3. 联立 解得 艺 (舍去),∴点M(0,3). 综上所述，点M的坐标为 或(0,3); (6)如解图⑥,将△OCE 绕点 O 顺时针旋转90°得到△OBS,连接RS, ∵OB=OC=3, ∴∠OCB=∠OBC=45°, ∵∠EOR=45°, ∴∠EOC+∠ROB=∠SOB+∠ROB=45°, ∴∠EOR=∠SOR=45°, ∵OR=OR,OE=OS, ∴△EOR≌△SOR(SAS), ∴ER=RS, 由旋转性质得, ∠SBO =∠OCB=45°, ∵∠RBS=∠RBO+∠SBO= 即 设E(x₁,y₁),R(x₂,y₂), 则 设平移后的抛物线的解析式为 联立 得 ∴E,R关于直线y=x对称, ∴CE=BR,设CE=BR=a,则 或 (舍去), 解得 三阶 综合强化练 1. (1)证明:设点D(-m,0),由题意可知A,B两点关于y轴对称， ∴△BPD是直角三角形,∴∠BPD=90°; (2)解:ac=-1; 理由:∵y=ax²+c,∴P(0,c), 设点D(-n,0),∴B(n,an²+c), ∴2c=-2, ∴ac=-1; (3)解: 【解法提示】设 ∴P(h,k),设D(h-p,0),则 2. 解:(1)∵抛物线 与x轴交于A(4,0),C两点,与y轴交于点B(0,-4), ∴将点A(4,0),B(0,-4)代入抛物线解析式， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)【思路点拨】点 P 为抛物线上的点，可以设出点P 的坐标，由所给的 BP 与 PD 的关系，分点P 在点D上方和下方两种情况讨论，从而得到点 P的坐标.设点 ∵B(0,-4),∴D(m,-4), ①当点 P在点 D 上方时，即 且m>0,解得m>3, 解得m=0(舍去)或 ∴点 P 的坐标为 ②当点 P在点 D下方,即0<m<3时, 解得m=0(舍去)或 ∴点 P的坐标为 综上所述，点P的坐标为 或 (3)【思路点拨】由中点坐标公式得到点F的坐标，作CF的垂线FM，构造直角三角形，通过等量代换得到角相等，利用三角形相似和相似比可得到点M的坐标，从而得到MC的解析式，与抛物线解析式联立求解即可. ∵A(4,0),B(0,-4),∴点F的坐标为(2,-2), ∴分两种情况讨论： ①若点 P 在直线 CF 上方,如解图①,过点 F 作 CF的垂线FM₁，且使得 连接CM₁并延长，交抛物线于点 P₁，则点 P₁ 即为所求.过点 F 作x轴的平行线RS,分别过点 C,M₁ 作 RS的垂线交 RS 于点 S,R, ∵∠CFM₁=90°,∴∠CFS+∠M₁FR=90°, ∵∠CFS+∠FCS=90°,∴∠M₁FR=∠FCS, ∴△FRM₁∽△CSF,且相似比为 , ∵ 抛物线 与x轴交于A，C两点， ∴C(-1,0). ∴ 直线M₁C 的解析式为 令 解得x=-1(舍去)或 ∴点P₁的横坐标为 ; ②若点 P在直线 CF下方,如解图②,过点 F 作 CF的垂线FM₂，且使得 连接CM₂并延长，交抛物线于点 P₂，则点 P₂即为所求，过点 F 作y轴的平行线交x轴于点 N，过点 M₂作NF的垂线与NF的延长线交于点 Q， 同理可得， .直线M₂C的解析式为 令 解得x=-1(舍去)或 ∴点P₂的横坐标为 ; 综上所述，点P的横坐标为 或 . 3. 解:(1)将C(0,3)代入抛物线解析式γ=a(x+1)(x-3),解得a=-1, ∴ 抛物线的解析式为 ∴点D 的坐标为(1,4); (2)【思路点拨】此题求最小值，通过观察可知为“胡不归”问题，可通过抛物线的对称性求解. 如解图①,连接CD,过点 P 作PH⊥CD,交 DC 的延长线于点 H， 由(1)得,C(0,3),D(1,4), ∴易得∠CDP=45°, ∴当点 B,P,H三点共线时, 的值最小，连接BC，设抛物线的对称轴与 BC交于点 E，易知∠BCO=45°,∴∠CED=∠BCO=45°, ∵∠CDP=45°,∴∠DCB=90°,∴BC⊥CD, 的最小值为BC的长， ∵C(0,3),B(3,0),∴BC=3 , 即 的最小值为3 ; (3) 【思路点拨】遇到135°这种角度的时候，可通过构造辅助圆解决问题，分点 P 在线段 BC 的上方和下方两种情况讨论，结合圆的性质和勾股定理求解点P的坐标. 如解图②，当点 P 在线段BC的上方时，以点 O 为圆心，OC长为半径作⊙O，交线段 BC 上方抛物线的对称轴于点P，交x轴负半轴于点 G,连接CG, ∴∠AGC=45°, ∴∠CPB=135°, 设抛物线的对称轴交x轴于点 F，连接OP，则OP=OC=3, ∵D(1,4),∴抛物线的对称轴为直线x=1, ∴点P 的坐标为(1,2 ); 如解图③，当点 P 在线段 BC 下方时，以 BC 为斜边在 BC上方作等腰Rt△CBM,以点 M 为圆心,CM长为半径作⊙M，交BC下方抛物线的对称轴于点P，同理此时∠CPB=135°, 过点 P 作 PH⊥BM 于点 H, ∵ PM=CM=3,PH=3-1=2, ∵∠CBO=45°,∠CBM=45°, ∴BM⊥x轴,同理CM⊥y轴, ∴点M的坐标为(3,3), 综上所述，点P的坐标为(1，2 )或( $$