2025年中考数学专题复习：线段最值专项练习

线段最值专项练习 利用“垂线段最短”解决线段最值问题 方法突破练 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 1.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 分别交x轴，y轴于点A，B，点P为直线l上任意一点，连接OP，求线段OP的最小值. 2.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，顶点为C，点D为线段AC上一点，点E为抛物线对称轴上一点，连接AE，DE，求 的最小值. 3.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在平面内有一定点 D(3，4)，点P，Q分别是抛物线、直线BC 上的动点，求 的最小值及此时点 P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 利用“胡不归”求线段最值 4.如图，在平面直角坐标系中， 点P 是x轴上任意一点，连接AP，求 的最小值. 5.如图，已知抛物线 与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，D为抛物线的顶点.若R 为y轴上的一个动点，连接AR ,求 的最小值. 6.如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，直线 与抛物线对称轴交于点C，点D是直线 上一点，连接AD，求 的最小值. 设问进阶练 例如图，已知抛物线 与x轴交于点A，B(点B在点A左侧)，与y轴交于点 C，抛物线顶点为点 D，对称轴为直线l.(1)如图①，若点 P为x轴上一点，点N为直线AC上一点，求 的最小值； (2)如图②，若点P为y轴上一点，连接BP，求 的最小值; (3)如图③，若点 P 为抛物线对称轴上一点，点 M 为 AB 上一点，且 连接MP,BD,求 的最小值. 综合强化练 1. 创新题·探究性试题学习了二次函数之后，我们知道二次函数的图象是抛物线，有同学猜想，抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，经过小组探究，发现：如图，点P是平面内一动点，点Q 是y轴正半轴上一点，设( 连接PQ,若点 P 到直线y=-n 的距离等于 PQ 的长 度，则所有符合的点 P形成的轨迹是抛物线 【初步感知】 (1)当x≠0时，a与n的数量关系为 ； (2)若动点P(x,y),Q(0,3),连接PQ,且点P 到直线. 的距离等于 PQ 的长，直接写出所有符合的点 P形成的轨迹的抛物线解析式； 【灵活应用】 (3)若点D的坐标是(1，5)，在(2)中求得的抛物线上是否存在点M，使得 最短?若存在，求出点 M的坐标，若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 (4)由上述发现可知，二次函数 的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直线 =-n 的距离，所有符合这一条件的动点所形成的图形，求点 F 的坐标和n的值. 作图区 答题区 考向4 利用“垂线段最短”解决线段最值问题 一阶 方法突破练 1.解：确定线段长最小值时动点的位置.当 OP⊥AB时，线段 OP 的值最小. ∵直线l的解析式为 ∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5. (求出线段长度)， ∴线段 OP 的最小值为 . 2.解：∵确定定点坐标.抛物线 的顶点为 ∴C(1,-4). 令y=0,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,0),如解图,连接BE,过点 B 作BD'⊥AC 于点 D',与抛物线对称轴交于点 E'， ∵ 点 A 与点 B 关于对称轴对称， ∴AE=BE, ∴ AE + DE = BE + DE ≥ BE'+ ∴ AE+DE 的最小值为 BD'的长. ∵AC=2 ,AB=4,连接BC, ∴AE+DE的最小值为 3. 解:如解图,过点 D 作 DQ⊥BC 于点 Q,交抛物线于点 P,此时 DP+PQ 取得最小值,最小值为 DQ 的长，则P，Q即为所求作的点. 过点 Q作QE⊥x轴于点 E,连接BD, ∵抛物线的解析式为 ∴B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠CBO=45°. ∵D(3,4),∴∠DBO=90°,BD=4, ∴DP+PQ的最小值为2 . ∵QE⊥x轴,∠QBE=45°, ∴∠BQE=∠QBE=45°, ∴OE=OB-BE=1,∴ 点 Q的坐标为(1,2). ∵D(3,4),Q(1,2),∴直线DQ的解析式为y=x+1,联立 解得x=2或x=-1(舍去),当x=2时,y=3. ∴点P的坐标为(2,3). 4. 解:如解图,作∠OBC=30°,交y轴正半轴于点 C,过点A作AD⊥BC 于点 D,交x轴于点 P',过点 P 作PD'⊥BC 于点 D'. 构造直角三角形及特殊角. (“化折为直”，确定动点位置)， ∴当点 P'与点 P 重合时,PA+ 的值最小，即AD的长. ∵A(0,-2),B(3,0), ∴OA=2,OB=3, ∵∠OBC=30°,∴∠OCB=60°, (求出线段的长), 的最小值为 5. 解:如解图,连接BC,过点R作RH⊥BC于点H,过点A 作 AG⊥BC 于点 G. ∵ 抛物线的解析式为 ∴A(1,0),C(-3,0),B(0,3),∴OB=OC=3. ∵∠COB=90°, ∴BC=3 ,∠HBR=45°. 在 Rt△BHR中, ∴当H,R,A三点共线且AH⊥BC时, 的值最小，最小值为AG的长，连接AB. 的最小值为2 . 6. 解:∵ 抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点 B 的左侧), ∴令y=0,解得x=2或x=4,∴A(2,0). ∵ 直线 与抛物线对称轴交于点 C，抛物线对称轴为直线x=3， ∴当x=3时, ∴C(3,4). 如解图,过点 C 作CE⊥y轴于点 E,过点 D 作 DF⊥CE 于点 F,过点A 作AG⊥CE于点G,交直线 于点 D',∴CE=3,OE=4,OC=5, ∴ 当点 D 与点 D'重合时, 的值最小，即为AG的长, ∵四边形 OAGE 为矩形, ∴AG=OE=4, 的最小值为4. 二阶 设问进阶练 例 解:(1)将y=0代入抛物线 中,解得 ∵点B在点A左侧,∴A(4,0),B(1,0). 当x=0时,y=-2,∴C(0,-2). ∴OA=4,OC=2,∴AC=2 . 如解图①,作点C关于x轴的对称点 F(0,2),过点 F作 FN⊥AC于点N,交x轴于点 P. 由轴对称的性质及垂线段最短可知，此时CP+PN=FP+PN的值最小,最小值为 FN的长. 易得△ACO∽△FCN, ∴ CP+PN的最小值为 (2)如解图②,过点C作∠OCE=30°,交x轴负半轴于点 E,过点 B 作EC的垂线交EC于点 F,交y轴于点P，点 P 即为所求作的点. ∵∠OCE=30°,∴∠BEC=60°,PF= PC, 的最小值为BF 的长， 由(1)得,A(4,0),B(1,0),C(0,-2), ∴OC=2,OB=1, 的最小值为 (3)如解图③,过点 P作PE⊥BD于点 E,设抛物线的对称轴与x轴交于点 F,由(1)得B(1,0). 易知M(3,0),BM=2, 过点 M作MH⊥BD于点 H,则 PE+MP的最小值即为MH的长,连接DM,∴ 的最小值为 的最小值为 . 三阶 综合强化练 1. 解: 【解法提示】由题意可知,PQ=PB,Q(0,n),设点 P 的坐标为(x,y),∴ ≠ 【解法提示】由(1)知,此时n=3,∴ 所有符合的点 P 形成的轨迹的抛物线解析式为 (3)存在；如解图①，过点 D作直线y=-3的垂线，垂足为E,与抛物线交于点 M,此时 MQ+MD=ME+MD=DE(垂线段最短),此时 (4)如解图②，构造新的平面直角坐标系x'O'y'， ∵ 二次函数的解析式为 ∴二次函数的顶点坐标为(1，2)， 由(1)可知n=1，即在新的平面直角坐标系中n=-1， ∴二次函数 的图象可以看作到定点F(1，3)的距离等于它到定直线y=1的距离，所有符合的动点所形成的图形， ∴定点 F的坐标为(1,3),n的值为-1. 2. 解:(1)∵抛物线经过点C(0,2 ), ∴ 抛物线的解析式为 将A，B两点的坐标代入抛物线解析式， 得 解得 ∴ 抛物线的解析式为 (2)【思路点拨】作点 G关于x轴的对称点 N，过N作BC的垂线，垂足为点 M，则GH+HM 的最小值为NM 的长. 如解图①，作点 G关于 x轴的对称点 N，过点 N 作NM⊥BC于点M，交x轴于点 H(确定线段和最小时动点的位置)， ∴ GH =NH,∴ 此时 GH+HM 最小,最小值为 NM的长. ∵B(4,0),C(0,2 ),∠COB=90°,G(0,1), BC=2 ,N(0,-1), ∵NM⊥BC, ∴GH+HM的最小值为 (3)存在. 如解图②，过点C作与y轴夹角为30°的射线 CQ交x轴负半轴于点 N(构造角度，使 过点 B作BR⊥CQ于点 R,交线段 OC 于点 P(构造直角三角形，确定动点的位置)， 则RP= CP,∠CON=90°,∠OCN=30°, 即 BR 的值为 的最小值(画折为直，求出线段的长). ∵C(0,2 ), ∴NO=2, ∴点 N与点 A 重合. ∵A(-2,0),B(4,0), ∴AB=6. ∵∠OCN=30°, ∴∠CNO=60°, 在 Rt△NRB中, 的最小值为3 . $$