2025年中考数学一轮专题复习讲义：平行四边形问题

平行四边形问题 一阶 方法突破练 1.如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，在平面内确定一点 P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形.请在图中画出符合要求的点 P，保留作图痕迹并写出作图过程. 2.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请找出两组格点 C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 3. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,2),C(0,4)三点，在平面内确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点 D 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 4.如图，平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点 B，直线 与y轴交于点 C，且两直线交于x轴上的A点.若点 P 是直线 上的动点，点 Q 是直线. 上的动点，当以点O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P的坐标. 5.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC.设抛物线的对称轴与线段BC交于点 M，平面内存在点 N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标. 6.如图，抛物线 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C.点 D为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 二阶 设问进阶练 例 如图，抛物线 与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点 C.直线1 经过点 C，与抛物线的对称轴交于点 D，点 E 为抛物线的顶点. (1)点F为y轴上一点，若四边形 CDEF为平行四边形，求点F 的坐标; (2)在平面内存在一点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标； (3)已知点H为直线l与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使以B，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若直线l与抛物线的另一交点为F，点 P是抛物线上一点，点Q 为平面内一点，当四边形 FCPQ 为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，求点 P 的坐标； (5)如图⑤，将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点 C，与x轴交于J，K两点，且新抛物线的对称轴与x轴交于点L，平面内是否存在点S，使得以C，L，K，S为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由. 三阶 综合强化练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 交x轴于A,B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,3),D(2,4)为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上有一点E，点E 关于抛物线L的对称轴直线l的对称点为F，若点 E的横坐标为 ,连接CD,CF,DF,求. 的面积； (3)创新题·“全等抛物线”解析式定义：对于任意两条抛物线 和 当 时，我们称这两条抛物线为“全等抛物线”.若点 M 是平面内任意一点，以点A，B，C，M为顶点作平行四边形，是否存在过该平行四边形中三个顶点且与抛物线L是“全等抛物线”的抛物线，若存在，请求出所有抛物线的解析式；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 2.如图，抛物线 与x轴交于A(3,0),C两点,与y轴相交于点. ,点 M 为直线AB 上的点. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若 ,求 AM 的长; (3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 3.如图，抛物线 与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C,点E为x轴上一动点. (1)求抛物线的解析式； (2)点C关于x轴的对称点为( 求 的最小值及此时点 E的坐标； (3)(x轴上的动点+抛物线上的动点)若点F在抛物线上，是否存在点 F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 答题区 4.如图①,抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.且( (1)求抛物线的解析式； (2)如图②,若D 为线段 BC 上一动点(不与 B,C 重合),将射线DC绕点 D 顺时针旋转 交抛物线于点 P，过点 P作. 轴,交BC于点 E.当. 的周长取得最大值时，求点 P的坐标和 周长的最大值； (3)(y轴右侧抛物线上的动点)若点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M 作直线MN∥AC交直线BC于点 N，是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由. 作图区 考向1 平行四边形问题 一阶 方法突破练 1. 解:如解图①,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为点 P.点 P₁,P₂,P₃即为所求. 【一题多解】如解图②,连接AB,AC,BC,分别以点A,B，C为圆心，BC，AC，AB长为半径画弧，交点即为点P.点 P₁,P₂,P₃即为所求. 2. 解：以AB 为边的平行四边形ABCD 如解图①所示(答案不唯一)；以AB为对角线的平行四边形ACBD如解图②所示(答案不唯一). 3. 解:如解图,连接AB,AC,BC, ∵ AB 为平行四边形的一条边， ∴过点 C 作AB的平行线,截取CD=AB, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵ 点 B 先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点A， ∴点C先向下平移2个单位长度，再向左平移2个 单位长度即得到点 D₁，∴D₁(-2,2). 同理可得 D₂(2,6). 综上所述，点D的坐标为(-2，2)或(2,6). 4. 解:∵点A 是直线 l₁ 与直线l₂的交点,且在x轴上,∴A(3,0),设 而 A(3,0),O(0,0), ①当PQ,AO 为平行四边形的对角线时,则PQ,AO的中点重合， 解得 ②当PA,QO 为平行四边形的对角线时,则PA,QO的中点重合， 解得 ③当PO,QA 为平行四边形的对角线时,则PO,QA的中点重合， 解得 综上所述，点P的坐标为 或 5. 解:∵ 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C， 抛物线的对称轴为直线 ∴ 直线 BC 的解析式为 ∵ 点 M 为 BC 与对称轴的交点, ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴分三种情况讨论， ①如解图①，当CM为平行四边形的对角线时，过点C 作AM的平行线，过点 M作AC 的平行线，交于点N₁，由点 A 平移到点 M 的平移规律得 ②如解图②，当 AC 为平行四边形的对角线时，过点C 作 AM 的平行线，过点 A 作 CM的平行线，交于点N₂，由点 M 平移到点 C 的平移规律得 ③如解图③，当 AM 为平行四边形的对角线时，过点 M 作AC 的平行线,过点 A 作 CM的平行线，交于点 N₃，由点 C平移到点 M 的平移规律得 N₃ 综上所述，点 N 的坐标为(2, )或 或 6.解:存在. ∵ 抛物线y=x²-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)²-4, ∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3). ①当BC 为平行四边形的一边时，如解图①，则DE∥BC,且DE=BC, ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴ 点 E 的横坐标为1. ∵ 点 B向左平移3个单位再向下平移3个单位到点 C,∴点 D的横坐标为-2或4, 将 D 点横坐标代入抛物线解析式， ∴D₁(-2,5),D₂(4,5), 同理,由平移规律得E₁(1,8),E₂(1,2); ②当BC为平行四边形的对角线时，如解图②，则BE=CD,∴点D的横坐标为2, ∴D₃(2,-3),∴CD∥x轴, ∴点E在x轴上,∴E₃(1,0). 综上所述,点E的坐标为(1,8)或(1,2)或(1,0). 二阶 设问进阶练 例 解:(1)∵ 直线 经过点C,∴C(0,4), ∵抛物线 抛物线的对称轴为直线 ∵ 点 D 为抛物线的对称轴与直线l的交点， ∴将 代入 得,y=2, 由平行四边形的性质得DE=CF， ∵C(0,4),且四边形CDEF是平行四边形, ∴点 F 只能在直线 CD 的上方, ∴点F 的坐标为 (2)∵平行四边形以AC 为边,A(1,0),C(0,4),D(- ,2),∴AC∥DG,AC=DG, ①由点 C向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 A, 得点 D 向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点 ②由点A向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 C, 得点 D 向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点 ∴ 点 G 的坐标为 或 (3)存在, 设点 N的坐标为((n,-n²-3n+4),B(-4,0),H(-3,0). ①当BH为平行四边形的一边时，BH∥MN， 解得 或 或 ②当BH为平行四边形的对角线时，∵平行四边形的对角线互相平分，. 解得 综上所述，点N的坐标为 或 或 (4)∵四边形 FCPQ 为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点 P恰好有三个，如解图①， ∴直线 PQ 与 CF 上方的抛物线只有一个交点， ∵P₁Q₁∥CF,设直线 P₁Q₁ 的解析式为 4+a, 联立 得 解得 解得 当 PQ 在 CF 下方时，PQ 与抛物线有两个交点， 由题意知,直线 P₂Q₂可由 CF 向下平移 个单位得到，故直线 P₂Q₂的解析式为 联立 解得 综上所述，点P的坐标为 或 或 (5)存在. ∴设平移后的抛物线解析式为 (t>0), ∵新抛物线经过点C,∴将C(0,4)代入,得t=3, ∵新抛物线与x轴交于 J，K两 点，对称轴与x轴交于点 L， ∴L( ,0),K(4,0), 分三种情况讨论，如解图②. ①当CK 为平行四边形的对角线时，由点 L平移到点 C 的平移规律得点 K 平移到点 S₁的平移规律，即 ②当LK 为平行四边形的对角线时，由点 C 平移到点 L 的平移规律得点 K 平移到点 S₂的平移规律，即 ③当CL为平行四边形的对角线时， 由点 K平移到点 L的平移规律得点 C 平移到点 S₃的平移规律，即 综上所述，点S 的坐标为( ,4):或 或 三阶 综合强化练 1.解：(1)抛物线的解析式为 (2)【思路点拨】要求△CDF 的面积，可将其分成两个同底的三角形，再利用抛物线的对称性，得到F点到y轴的距离，即可求得△CDF的面积. 如解图①，设直线l与线段 CF交于点 G， ∵ 点 E 的横坐标为-1，点 E 关于直线l的对称点为点 F, 由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2， ∴点F的横坐标为5， ∴F(5, ), 设直线 CF的解析式为y=kx+p,把(C(0,3)和F(5, ).代入，得 解得 ∴ 直线CF的解析式为 当x=2时, (3)存在. 如解图②，当四边形ACBM₁为平行四边形时，由点 C平移到点A的平移规律，得点 M₁的坐标为(4，-3)；当四边形ABM₂C 为平行四边形时，由点 A 平移到点C的平移规律，得点M₂的坐标为(8，3)； 当四边形ABCM₃为平行四边形时，由点 B 平移到点C的平移规律,得点 M₃的坐标为(-8,3), 过点A，B，M₁的抛物线解析式 过点 B，C，M₂的抛物线解析式 过点A，C，M₃的抛物线解析式 ∵ 抛物线 L 的解析式为 ∴抛物线 和抛物线 和抛物线 与抛物线L是“全等抛物线”. 2.解：(1)抛物线的解析式为 顶点坐标为(1,-4); (2)∵抛物线 当y=0时,解得x=3或x=-1,∴C(-1,0). ∵B(0,-3),A(3,0), ∴OA=OB=3,OC=1,∴AC=4,AB=3 . ∵∠AOM=∠ABC,∠MAO=∠CAB, ∴△AMO∽△ACB, 即 (3)【思路点拨】根据特殊角∠OAB=45°,可得到△OAB为等腰直角三角形，得点M的坐标，分AM 为边和AM为对角线两种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质及点 M 的坐标可得点 F 的横坐标，代入抛物线解析式即可得到点 F的坐标. 存在. 由(2)可知AM=2 ,OA=OB,∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°,如解图①,过点M作MH⊥x轴于点H,∴MH=AH=2, ∵OA=3,∴OH=1, ∴M(1,-2). 分两种情况：①当AM为平行四边形的边时，由点 A 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为2或-2, 如解图②,当x=2时,y=-3,∴F₁(2,-3); 当x=-2时,y=5,∴F₂(-2,5); ②当AM为平行四边形的对角线时，由点 E 平移到点 M 的规律得点 F 的横坐标为4，如解图③,当x=4时,y=5,∴F₃(4,5). 综上所述,点F的坐标为(2,-3)或(-2,5)或(4,5). 3.解：(1)抛物线的解析式为 (2)【思路点拨】一般求线段和的最小值问题时，考虑用对称性，找到点C关于x轴的对称点C'，通过构造直角三角形，并结合三角函数得到 的最小值，进而求得点E 坐标. ∵抛物线与y轴交于点 C,∴C(0,3), ∵ 点 C'与点 C 关于 x 轴对称,∴ 点 C'的坐标为(0,-3), 如解图①,过点 E 作 EM⊥AC 于点 M,过点 C'作 C'H⊥AC于点 H,交OA 于点E', 在 中,令y=0,则 令x=0,则y=3. ∴A(-4,0),C(0,3),∴AC=5, ∴∠CAB=∠HC'C,∴cos∠CAB=cos∠HC'C. ∵CC'=6, 即 的最小值为 , 此时点 E 与点 E'重合, ∴ 点 E 的坐标为 (3)【思路点拨】可通过作平行线，得到交点，联立解析式求点F坐标，也可以平移直线AC，平移后的直线与抛物线的交点即为所求点 F. 存在. 如解图②,①过点 C 作CF₁∥x轴交抛物线于点 F₁,过点 F₁ 作 F₁E₁∥AC 交 x 轴于点 E₁,此时四边形ACF₁E₁为平行四边形. ∵C(0,3),∴点 F₁的纵坐标为3, 令y=3得 解得x=0(舍去)或x=-3, ②平移直线AC交x轴于点E₂，E₃，交x轴下方的抛物线于点 F₂,F₃连接AF₂,CE₂,CE₃,AF₃,E₂F₂,E₃F₃. 当 时，此时四边形ACE₂F₂为平行四边形，当 时，此时四边形ACE₃F₃为平行四边形. ∵ C(0,3),∴F₂,F₃|的纵坐标都是-3. 令y=-3,得 解得 或 综上所述，点F 的坐标为(-3，3)或 或 4. 解:(1)抛物线的解析式为y=-(x+1) (x-4)= (2)【思路点拨】根据点的坐标可得到直线 BC的解析式，设出点E 的坐标，用字母表示PE 的长，再根据角相等得到△PDE∽△COB，三角形周长比即为相似比，通过列方程求出△PDE 周长的最大值. ∵OB=OC=4,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°, ∵B(4,0),C(0,4), ∴ 直线 BC的解析式为y=-x+4,设 其中0<t<4, ∵点E 在直线y=-x+4上,PE∥x轴, ∴令 解得 ∵PD⊥CB,∴∠COB=∠PDE=90°, 又∵PE∥x轴, ∴∠OBC=∠DPE,∴△PDE∽△COB, ∵ BO=4,OC=4,∴ BC=4 , ∴△BOC的周长为: 令△PDE的周长为l,则 ∴当t=2 时，△PDE 周长取得最大值，最大值为 .此时,点P 的坐标为(2,6); (3)【思路点拨】分点M在BC下方和 BC 上方两种情况,由已知可证△AOC≌△MFN,设出 M,N两点的坐标，根据两点之间的关系列方程求M点坐标. 存在,点M的坐标为(5,-6). 【解法提示】①当点 M在直线 BC的下方时，如解图①,过点 N作 NE⊥y轴于点 E,过点 M 作 MF⊥NE于点 F,∵四边形ACNM 为平行四边形,∴AC∥MN,AC=MN.易证△AOC≌△NFM.∴NF=OA=1,MF=OC=4.设 则N(m+1,-m²+3m+8). ∵ 点 N 在直线 AC 上,. -(m+1)+4,解得 (舍去),m₂=5.∴M(5,-6); ②当点 M在直线 BC 的上方时，如解图②，过点 M作ME⊥y轴于点E,过点 N作NF⊥ME于点 F,由①得△MNF≌△ACO,可得 NF=OC=4,MF=OA=1.设 则 N(m-1， ∵点 N 在直线 BC上, 化简得 平行四边形问题 这种情况下不存在M 点.综上所述,点M的坐标为(5,-6). $$