精品解析：山东省日照市日照港中学2023-2024学年九年级下学期中考数学模拟试题

2024年初中学业水平模拟检测数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，，0.3这四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.3 2. 海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将平面直角坐标系平移，使原点O移至点处，这时在新的坐标系中原来点O处的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则 B. 甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定 C. “打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是必然事件 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，联结、和．如果四边形是矩形，那么的值为(　　) A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值为2，其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11 计算：________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，B为切点，是的直径，则的长度为____________． 13. 如图，在中，，若是关于的方程的两根，且的周长是10，则____________． 14. 已知二次函数（其中a是常数，且），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为____________． 三、解答题：本题共8小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解不等式组，并将解集表示在所给数轴上． （2）先化简，再求值：，从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值． 16. 某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 76 3 b 85 4 c 94 请根据以上信息，解答下列问题： （1）____________； （2）“”这组数据的众数是____________分； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是____________分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数． （5）该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 17. 莒国古城北门为拱辰门，曾名“景泰门”，清康熙后改此名．“拱辰”者，典出《论语》：“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共（拱）之”．意指有德的国君在位，得到天下臣民的拥戴，寓意着“拱卫北辰，四方归向”．拱辰门作为莒县古城的地标性建筑，明清风格的建筑和独特的地理位置，吸引着不少游客在此拍照打卡．莒子中学学生利用测角仪、皮尺等测量工具开展测量拱辰门楼的活动，测量步骤：第一步，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；第二步，前进了7米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计）在A处测得P点的仰角为．请根据测量数据，计算拱辰门楼PO的高度（结果保留整数）参考数据：，，，，，． 18. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元． （2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． （1）求证：是切线； （2）若半径为3，，求的长． 20. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行“E”形图边长． 21. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片ABC，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为____________； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，如图2，探究当直线经过点B时，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 22. 已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，且满足的面积与的面积相等，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点M在第二象限抛物线上时，作直线分别与直线交于点G和点I，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平模拟检测数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，，0.3这四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：在所给的四个数中，是无理数， 故选：C． 2. 海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：2900000． 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；        B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 将平面直角坐标系平移，使原点O移至点处，这时在新的坐标系中原来点O处的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．作出图形更加形象直观．坐标系平移，原来的点相当于反向移动，根据平移中点的变化规律得出在新坐标系中原来点O的坐标是． 【详解】解：如图，在新坐标系中原来点O的坐标是 ． 故选：B． 5. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵一束平行于主光轴的光线， ∴， 故选：C． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则 B. 甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定 C. “打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是必然事件 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根的判别式、方差判断稳定性，随机事件的判断及矩形的判定，根据这些知识点依次判断即可 【详解】解：A、∵若关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴，选项错误，不符合题意； B、甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，选项正确，符合题意； C、“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是随机事件，选项错误，不符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意； 故选：B 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和作垂线的尺规作法，角平分线性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由作法得平分，垂直，由角平分线性质定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，，即可求解；理解作法，掌握相关的判定方法及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由作法得： 平分， 垂直， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，联结、和．如果四边形是矩形，那么的值为(　　) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，，即，如图，联结交于，过作于，则，，是中点，在中，由勾股定理求的值，证明，则，求的值，进而可得的点坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求解值即可． 【详解】解：当，，即， 如图，联结交于，过作于， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴是中点， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值为2，其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即结论①正确； ∵， ∴， ∴，不一定相等，即结论③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时中，， 又∵， ∴的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，B为切点，是的直径，则的长度为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，三角函数，弧长公式；由切线的性质得 ，由余弦的定义得，可求，由弧长公式即可求解；掌握切线的性质及弧长公式：是解题的关键． 【详解】解：点，， ， ， 为的切线， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的长度为： ； 故答案：． 13. 如图，在中，，若是关于的方程的两根，且的周长是10，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，若是一元二次方程 的两根时， ，先利用根与系数的关系得 ，再证得，得到则，接着利用面积法得到，然后根据勾股定理得到即所 从而可方程得到的长即可． 【详解】解：∵是关于的方程：的两根， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ∵的周长是， ∴， ， 解得：， 故答案为：． 14. 已知二次函数（其中a是常数，且），当时对应函数值y均为正数，则a的取值范围为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，得到时函数的最小值为正数，即可． 【详解】解：∵， ∴函数的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴当时，函数有最小值为， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为，解得：； ∴； 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． （2）先化简，再求值：，从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1），数轴见解析；（2）； 【解析】 【分析】第（1）题考查了学生解一元一次不等式组的能力，解题关键是：在解题中要注意开口方向的变化与否；第（2）题考查了用完全平方公式和分式的运算法则，化简分式和分式有意义的条件，解题的关键是：取值计算时要注意使得化简过程中所有的分母均不能为0． （1）分别解出两个不等式的解集，求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可； （2）用完全平方公式和分式的运算法则化简，再使分母有意义找到可取的的值，代入求解． 【详解】解：（1）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为：， 数轴上表示如下： （2） ，， 且， 当时，原式． 16. 某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 76 3 b 85 4 c 94 请根据以上信息，解答下列问题： （1）____________； （2）“”这组数据的众数是____________分； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是____________分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数． （5）该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20； （2）86； （3）； （4）估计全校3000名学生中优秀学生的人数约2160人． （5） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，统计表，中位数、众数的定义，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用1组的频数除以可得样本容量，再用样本容量乘4组所占百分比可得c的值； （2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数即可； （3）根据题目中的数据和中位数的定义，即可计算出中位数； （4）用总人数3000乘样本中成绩达到85分以上（含85分）所占比例可得答案； （5）利用列表法或树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为：， ． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：“”这组的数据的众数是86； 故答案为：86； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴第25，26名学生的成绩分别为85,86， ∴随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计全校4000名学生中优秀学生的人数约2160人． 【小问5详解】 列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能结果，其中恰好为一男一女的结果有4种， ∴． 17. 莒国古城北门为拱辰门，曾名“景泰门”，清康熙后改此名．“拱辰”者，典出《论语》：“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共（拱）之”．意指有德的国君在位，得到天下臣民的拥戴，寓意着“拱卫北辰，四方归向”．拱辰门作为莒县古城的地标性建筑，明清风格的建筑和独特的地理位置，吸引着不少游客在此拍照打卡．莒子中学学生利用测角仪、皮尺等测量工具开展测量拱辰门楼的活动，测量步骤：第一步，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；第二步，前进了7米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计）在A处测得P点的仰角为．请根据测量数据，计算拱辰门楼PO的高度（结果保留整数）参考数据：，，，，，． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切函数得，可求，同理得，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解的关键． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 答：拱辰门楼的高度为米． 18. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元． （2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元 （2）购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等式列出不等式． （1）设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，根据题意列不等式，求出的取值范围，令利润为，得到关于的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元； 【小问2详解】 解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克， 由题意得：， 解得：， 令利润为， 则， ， ∴w随a的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为，此时， 即购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元． 19. 如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）根据题意得，，结合正弦函数得出，，求出，则，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 20. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【解析】 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 21. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片ABC，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为____________； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，如图2，探究当直线经过点B时，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】问题1：（1）3；（2）；问题2：；问题3： 【解析】 【分析】问题1：（1）先由折叠性质得，，然后证明，利用相似三角形的性质可求得； （2）连接，先由旋转性质得，，再证明即可得到结论； 问题2：先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； 问题3：如图2，连接、，由知，当A、F、D共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则，证明，利用相似三角形的性质求得 ，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：问题1：（1）由折叠性质得，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴， 故答案为：3； （2）如图1，连接， 由旋转性质得，，又， ∴， ∴； 问题2：如图2，∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 设，则， 中，由得， 解得， ∴； 问题3：如图1，连接， 则，当A、F、D共线时取等号，此时最小， 如备用图： ∵， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，涉及折叠性质、旋转性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，且满足的面积与的面积相等，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点M在第二象限抛物线上时，作直线分别与直线交于点G和点I，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）直线的解析式为． （3）点的坐标为或． （4）1 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想． （1）由待定系数法即可求解； （2）得到，即可求解； （3）由题意的：，即可求解； （4）根据题意，设点，且，利用待定系数法分别确定直线的解析式为，直线的解析式为：，然后根据二次函数的顶点确定，，然后表示出， ，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得抛物线的解析式为． 令，则，得． ∴B点的坐标为． ， ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵在直线上， ∴． ∴． ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 设P点坐标为． ∵点P在直线和抛物线上， ∴． ∴． 解得（舍去）． ∴点P的坐标为． 由翻折，得． ∵， ∴． ∴． ． 设点E的坐标为，则． ． 当时，点E的坐标为． 设, 由，得： ， 解得：， 则点的坐标为． 当时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【小问4详解】 设点，且， 根据题意得：，B点的坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为：， ∵抛物线的解析式为， ∴， 当时，，， ∴， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$