江苏省2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷（2024.08.07）

数学试题 第 1 页 共 4 页 2024年云帆杯 8月学情调研考试 数 学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合           0 2 2 x xxA ，  51  xZxB ，则  BA A.  2,1 B. 2,1,0,1 C.  2,1 D. 1,0,1 2. 若 i i z 71 11    ，则 z A.10 B. 24 C.5 D. 28 3. 已知空间向量  1,2,6  a ，  3,,2   xb ，若         aba 2 ，则 x= A.4 B.6 C. 4 23 D. 4 21 4. 已知   3 1cos   ，   2 3sin   ， 0 63   ，则    2sin A. 3 13  B. 6 223  C. 3 13  D. 6 322  5. 已知函数    1 ,log 2 32 2          a axx axxf a xx ， 在  ，0 上单调递增，则 a的取值范围为 A.  ，3 B.  ,3 C.  3,1 D.  ，4 6. 已知实数 x , y满足（x-2）2+（y-3）2=3，则 y-2x的最小值为 A. 16  B. 72 C. 23 D. 115  7. 锐角△ABC中， 3 1sin C ，   4 1sin  BA ，AB=8，则 AB边上的高 CD长为 A. 5 236 B. 7 1119 C. 3674  D. 28153  数学试题 第 2 页 共 4 页 8. 已知数列 na 满足 311 6 11 nnn aaaa  ， ，记 Sn为数列 na 的前 n项和。数列 nb 满 足 1 nnn aab ，下列结论一定正确的是 A. 425 S B. 2 1, 2 1     n i iibaNn C. 3 1 2 1     n i iibaNn ， D. 525 S 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. 已知函数   xxf 2sin ，则下列函数为周期函数的是 A.  xf cos B.        2 sin xxf C.       2 2 1 xf D.  xxf 2sinsin 22  10. “大鹏曲线”的方程为 1 4 : 2  yyxC ，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名。 直线 baxy  与 C的交点可能个数的集合记为 D（a,b），下列选项正确的是 A.    2,1,02, aD B.    2,1,03,  aaD C.“    3, baD ”的充要条件是“ 2 1 a 且 0b ” D.“    2,1,0, baD ”的充分条件是“ 8 3,22  aba 或 2 1 a ” 11. 如图，平面 m与平面 n交线为 l1，空间内有另一条直线 l2，记 l1, l2 的夹角为θ，l2与平面 m的夹角为α，l2与平面 n夹角为β，二面角 m-l1-n为γ（ 2   ），则 A.θ > α B.θ < β C.α+β+ γ ≤ π D.α+β+ γ ≥π 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 二项式  623 x 中展开式中 x3项的系数为 13. 抛物线 C： xy 42  的焦点为 F，A为 C上第一象限的一点，B为 A在 C的准线上的垂足， 直线 BF在第四象限交抛物线 C于点 D，若 F为 BD中点，则    CAF BAD sin sin 数学试题 第 3 页 共 4 页 14. 已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计 11个点。从这 11个点中任选 4个点，这四个 点不共面的概率为 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计 甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取 300件产品，产品的质量如下： 合格 不合格 合计 甲村 270 30 300 乙村 290 10 300 合计 560 40 600 （1）分析能否有 99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？ （2）该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在 2024年上半年 的月销量符合正态分布（290,25），乡镇人员现从 2024年的前 6个月中随机选取三个月的销 量数据，其中销量数据不低于 290的记为 ，求随机变量 的分布列和数学期望。 附：      2 2 ( )n ad bcK a b c d a c b d       ，  2P K k 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 16.（15分） 已知函数     xxaxxxf 32 2 1ln 2  . （1）若 a=1，求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）有两个极值点，求 a的最小整数值. （参考数据：ln2≈0.7） 数学试题 第 4 页 共 4 页 17.（15分） 三棱柱 ''' CBAABC  中，AB=BC，AB⊥BC，P，Q分别为线段 AB，BC上面的点，且 A’P⊥AQ，B’C⊥AQ. （1）证明：AP=BQ； （2）若 B’C=A’B’=2，A’P=3， 5AQ ，求平面 A’PQ与平 面 BCC’B’的夹角的余弦值. 18.（17分） 双曲线  001: 2 2 2 2  ba b y a xW ， 的离心率为 5，等边三角形 ABC的顶点 A在 y轴 上，点 B,C在 W的右支上，当 BC⊥x轴时， 11 114 AB . （1）求 W的方程； （2）设直线 BC交 y轴于点 D，证明：以 AD为直径的圆过定点. 19.（17分） 设 n为正整数，数列 na 为正整数数列，且满足数列 naa 和 1naa 均为等差数列，则称 数列 na 为“五彩的”。 （1）判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由； ①有穷数列数列 W：1,5,2,4,3,2 ②无穷数列{cn}，通项公式为 ncn  （2）若数列 na 为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列  na a 和 1naa 公差相等； （ii）证明：数列 na 一定为等差数列. 数学参考答案 第 1 页 共 4 页 2025年普通高等学校统一招生模拟考试（云帆杯） 数 学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1-4 BCCB 5-8 ADDD 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.ABD 10.BD 11.AC 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.-4320 13.2 14. 26 33 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1）设零假设 H0：有 99%的把握认为甲乙两村的产品质量没有差异 ……1分 635.67.10 30030040560 302902700600 ))()()(( )( 222        ）（ dbcadcba bcadnK ……3分 故零假设 H0不成立 ……4分 所以有 99%的把握认为甲乙两村的产品质量有差异. ……5分 （2）由题意，月销量符合正态分布（290,25） 则   5.0290 P ……6分 由题意， 的取值为 0,1,2,3 ……7分 ∴   8 10 P ，   8 31 P ，   8 32 P ，   8 13 P ……11分  的分布列如下表： ……12分  0 1 2 3 P 8 1 8 3 8 3 8 1 数学期望 2 3 8 32 8 31 8 3 ）（E ……13分 16.（15分） 解：（1）   xxxf  ln' ……2分 设 xxxg  ln)( ， x xxg  1)(' ， ……3分 则 g(x)在  1,0 单调递增，在  ，1 单调递减. ……4分 ∴     11  gxg ，即 0)(' xf ……5分 故  xf 在  ，0 单调递减. ……6分 （2） 22ln)('  aaxxxf ……7分 数学参考答案 第 2 页 共 4 页 即原题等价于 f’(x)有两个零点，设   22ln  aaxxxh ， x axxh  1)(' ……8分 当 0a 时， 0)(' xh ， 则  xh 在定义域单调递增，f’(x)最多有一个零点，与题意不符。 ……10分 当 0a 时，令 a xxh 10)('  即 )(' xh 在       a 10， 单调递增，在       ， a 1 单调递减. ……12分 当    xhx ,0 ，    xhx ， ……13分 由于 f’(x)有两个零点，则 01       a h 这等价于 03ln2  aa ① ……14分 注意到 a=1时①式不成立，而 a=2时成立，故 a的最小整数值为 2. ……15分 17.（15分） 解：（1）过 A作 BC的平行线 AD，且 AD=BC，连接 A’D，CD。 则有 '''' BAABCDBAABCD 且∥∥ 故四边形 A’DCB’为平行四边形.∴A’D∥BC且 A’D=B’C ……2分 AQPAAQCB  '' ， AQDA  ' 又 DPAPADA '',' 面 DPAAQ '平面 ……4分 又因为 DPADP '平面 ∴AQ⊥DP  90DPAADPDPAQAP ∴∠ADP=∠BAQ ∴AP=ADtan∠ADP=ABtan∠QAB=BQ ……6分 （2）由题意， 2''53'  CBDAAQDPPA ，， ∴由勾股定理知 DPDA ' 又因为 A’D⊥AQ ∴A’D⊥平面 DPAQ ∴A’D⊥平面 ABCD ∴A’D，DA，DC两两垂直， ……8分 以 D点为坐标原点，DA为 x轴，DC为 y轴，DA’为 z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。 ……9分 ∴     )0,2,1(,0,1,22,0,00,0,0 QPAD ）（，， ∴ ），（），，（ 22,1'21,2'   QAPA ……10分 设  zyxn ,, 为平面 A’PQ的法向量 则有      022 022 zyx zyx ，取 x=2，则平面 A’PQ的一个法向量为（2,2,3） ……12分 而 m（0,1,0）可以为平面 B’BC’C的一个法向量 ……13分 ∴ 17 172cos    nm nm  即平面 A’PQ与平面 BCC’B’的夹角的余弦值为 17 172 ……15分 18.（17分） 解：（1）由题知 212  e a b ……① ……1分 数学参考答案 第 3 页 共 4 页 当 BC⊥x轴时，不妨设直线 BC：x=m 与双曲线联立知 222 2 2 2 1 am a by mx b y a x        ……2分 又因为 222 11 114 amCABCAB  ……3分 ∴ 11 11442 22  amyBC ……② ……4分 又因为 A在 BC的中垂线上，故 A（0,0） ∴ 11 33260sin  。ABm ……③ ……5分 将③代入①②知 a=1，b=2. ……6分 即双曲线 W方程为： 1 4 2 2  yx ……7分 （2）由题意知直线 BC的斜率存在，不妨设 BC：y=kx+m 设        mDyxCyxByA A ,0,,,0 2211 ，，， 直线 BC与双曲线联立   0424 1 4 2222 2        mmkxxkyx mkxy ∴ 0 4 40 4 2 2 2 21221      k mxx k mkxx ， ……9分 取 BC中点为 P，则易知 AP⊥BC， 2 2121 2 21 4 4 2 2)( 242 k mmxxkyyy k mkxxx pP           ， ……10分 又因为 1 APBC kk ∴可以设直线 AP的方程为： 222 4 51 4 4 4 1 k mx kk m k mkx k y            ∴ 24 2 k myA   ……12分 由于△ABC为等边三角形，∴ BCAP 2 3  .   048121141 2 3 4 11 2221 2 21 2 22   kmxxxxk k mk k m yA 11 60  ……14分 设以 AD为直径的圆的圆心为 O，则        2 0 0yyO A， 则以 AD为直径的圆的方程为  2 2 2 4 1 2 DA DA yyyyyx        ④ 由于 11 60 DA yy 数学参考答案 第 4 页 共 4 页 故④化简得   11 60)(2  DA yyyyx ……15分 令 y=0，解得 11 1652 x ∴以 AD为直径的圆过定点        0 11 1652 ， ，证毕。 ……17分 19.（17分） （1）①不是 ②是 证明过程略 ……4分 （2）（i）对正整数 n，设 ndbadnca nn aa '1  ， ， 其中 d,d’为正整数，整数 b,c满足 0',0  dbdc ……5分 由于数列 na 单调递增，则对于任意正整数 n， 11  nnn aaa ……7分 即 11  nnn aaa aaa 即  1'  ndcndbdnc 同除以 n并令 n趋近正无穷得 'dd  ，即证。 ……9分 （ii）对于正整数 n，设 nnn daa 1 由数列 na 单调递增，知 1nd 又因为 daadddaad nnnnn aaaaannn    11 111  故数列 nd 必然存在最大项 A，最小项 B ……11分 下证 A=B即可，设正整数 t使得 dt=A 一方面，由于数列  na a 以 d为公差   dAaadaa ttaa nana   11 ……13分 另一方面， dAaadddaa tttatatanana aaaaaaa   11111  从而 Addd tatata aaa   111  ……15分 又 cbaad ttta aaa  1 ∴A=b-c ……16分 同理可得 B=b-c，即 A=B，即证。 ……17分