（21）空间几何体-2025届高考数学一轮复习例题训练集

（21）空间几何体——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2 B. C.4 D. 2．如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为( ) A.3 B.6 C. D. 3．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 4．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气等的主要成分.甲烷的分子结构模型如图所示，已知任意两个氢原子之间的距离相等，碳原子到四个氢原子的距离（键长）均相等，任意两个键之间的夹角均相等，且它的余弦值为，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为( ) A. B. C. D. 5．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，，则此直三棱柱的表面积是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图①）.图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的( ) A.高为 B.体积为 C.表面积为 D.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为 7．已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为，则下列说法正确的是( ) A.正方体的外接球的表面积为 B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为 三、填空题 8．已知某圆台的高为4，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为__________. 9．已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上，点O在线段上，且，记圆台的体积为，球O的体积为，则___________. 10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P从点B出发绕表面一周到再回到点B，其路程为___________. 参考答案 1．答案：B 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以圆锥的母线长为，故选B. 2．答案：D 解析：的面积，设的边AB上的高为h，则的面积.又，且，所以，即的边AB上的高为.故选D. 3．答案：A 解析：在中，，，，所以；同理，，过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为，故，故平面ABD，且为等腰三角形.因为，故，则的面积为，则三棱锥的体积为. 4．答案：A 解析：设任意两个氢原子之间的距离为x，又，所以由余弦定理可得，则，故该正四面体的棱长为.由正弦定理可得该正四面体底面外接圆的半径，所以该正四面体的高，故该正四面体的体积为. 5．答案：D 解析：如图所示，设，因为，所以. 于是（r是外接圆的半径），即.又球心到平面ABC的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为，所以球的表面积为，解得. 因此，. 于是直三棱柱的表面积是.故选D. 6．答案：AC 解析：设圆台的上底面圆半径为r，下底面圆半径为R，则，，解得，.又圆台的母线长，则圆台的高，选项A正确； 圆台的体积为，选项B错误；圆台的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，选项C正确；由C选项可知上底面面积、下底面面积和侧面积之比为，选项D错误.故选AC. 7．答案：ABC 解析：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为，内切球半径为棱长的一半，为.M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，，解得，正方体的棱长为2，C正确. 正方体的外接球的表面积为，A正确. 正方体的内切球的体积为，B正确. 线段MN的最大值为，D错误.故选ABC. 8．答案： 解析：设圆台上、下底面圆的半径分别为r，R，则母线、高、构成一个直角三角形，母线为斜边5，高为直角边4，由勾股定理得到，即.圆台的侧面积公式，所以，，所以圆台的体积为.故答案为. 9．答案： 解析：由可设圆台的上、下底面半径分别为r，2r，球O的半径为R，，因为，所以，所以，，所以，， 所以. 10．答案： 解析：四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，则，如图，取SC的中点E，连接BE，DE， 则有，，又，平面，平面BDE，所以平面BDE.因为动点P在表面上运动，并且总保持，所以点P的运动轨迹为线段BE，DE，DB.在正方形ABCD中，，则，在等边三角形SBC中，，同理得，故动点P从点B出发绕表面一周到再回到点B，其路程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$