（30）圆锥曲线综合-2025届高考数学一轮复习例题训练集

（30）圆锥曲线综合——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为( ) A. B. C. D. 2．已知点M，N是抛物线和动圆的两个公共点，点F是的焦点.当是圆C的直径时，直线的斜率为2，则当r变化时，的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为( ) A.5 B.6 C. D. 4．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M.若与C的焦距的比值为，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 5．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（） A. B. C. D. 二、多项选择题 6．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则( ) A.C的焦距为 B.C的离心率为 C.圆D在C的内部 D.的最小值为 7．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( ) A. B.若，则直线MN恒过定点 C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 D.若，则直线MN的斜率为 三、填空题 8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为__________. 9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左顶点，点B在C的右支上，若，且直线被圆（c为半焦距）截得的弦长为，则双曲线C的离心率为___________. 四、解答题 10．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，且椭圆过点. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）椭圆上一点P在x轴下方，过点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，求的面积的最大值. 参考答案 1．答案：C 解析：椭圆的焦点为，又双曲线（，）的一条渐近线方程为，所以解得所以双曲线的方程为.故选C. 2．答案：B 解析：圆的圆心.因为当是圆C的直径时，直线的斜率为2，所以直线的方程为，即.由消去y可得.设，，所以.因为C是线段的中点，所以，即，解得，故，准线.如图，过点M作于点H，过点C作于点P，由抛物线的定义可知，所以，当C，M，P三点在一条直线时取等号.故选B. 3．答案：D 解析：依题意，，，设椭圆C的左焦点为，圆的圆心为，半径为1，，当P，，Q三点共线，且在P，Q之间时，等号成立.而，所以，当P，，M，Q四点共线，且在P，Q之间，Q是的延长线与圆M的交点时，等号成立.故选D. 4．答案：D 解析：设双曲线的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，故其方程为，令，则，结合A在y轴正半轴上，得，令，则或，故.故，故直线.设，由题意知，故，整理得，故，故，所以， 故，解得或，又因为，则，则，.故选D. 5．答案：B 解析：设，过点P的椭圆E的切线的斜率都存在时， 设切线方程为，其中,分别为,的斜率， 由消去y得：， 则，即有，又， 于是，显然，,是这个方程的二根， 有,，令直线,的倾斜角分别为,，有， 又， 即，即有， ，整理得， 而当时，或，此时有或， 即，满足， 因此点P的轨迹T的方程为， 由与联立，整理得： ， 于是当时，有最大值，因此， 整理得，解得，则半焦距， 所以E的离心率. 故选：B. 6．答案：BC 解析：由椭圆方程知：，，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确； 由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确； 设，则，而，又，可知，故，故D错误. 故选：BC. 7．答案：AD 解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误； 因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD. 一题多解：对于D选项，因为，，所以，.又，，解得，.不妨设，由，得，，则，，.根据对称性知，故D正确. 8．答案： 解析：由椭圆知，椭圆的右顶点为， 上顶点为，过A，B作椭圆的切线， 则交点坐标为， 因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 所以在曲线上， 所以，解得， 则椭圆C的离心率为. 故答案为. 9．答案： 解析：由条件可得，直线的斜率存在，设 其方程为（不妨设），即，则圆心到直线的距离为，得，得，则，故.连接，由及可得，由余弦定理可得，即，即，得，得（舍去负值）. 10．答案：（1）椭圆的标准方程为；抛物线的标准方程为 （2） 解析：（1）由，得，故抛物线的标准方程为. 由，得，得， 由椭圆过点，得， 得，， 故椭圆的标准方程为. （2）设，，由得，， 故抛物线在点A处的切线方程为，化简得， 同理可得抛物线在点B处的切线方程为. 联立得，得， 易得直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 联立得，得， ， 故，， 因此， 由于点在椭圆上，故. ， 点P到直线AB的距离， 故. 令，又， 故，其中， 因此当时，t最大，则， 所以，即的面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$