双曲线-2025届高考数学一轮复习例题训练集

（27）双曲线——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 2．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.3 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线C的右支于点P，交y轴于点M，的内切圆与相切于点Q，若，，则双曲线C的焦距为( ) A. B. C. D. 4．已知双曲线（，）的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则( ) A. B.4 C. D.2 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆O的方程为，过点作圆O的切线，与C的右支交于M点，与y轴正半轴交于R点，且.若是以R为顶点的等腰三角形，则( ) A. B.2 C. D. 二、多项选择题 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.则下列说法正确的是( ) A.若，则双曲线C的渐近线方程为 B.若点Q为线段的三等分点，则双曲线C的离心率为3 C.若点Q为线段的三等分点，，则双曲线C的方程为 D.若的面积为1，则双曲线C的焦距长的最小值为4 7．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，焦距为，P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A，B，O是坐标原点，则下列结论中正确的是( ) A.双曲线的方程为 B.双曲线的离心率为 C.的面积为定值 D.的最小值为 三、填空题 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线l交E的左支于A，B两点.若（O为坐标原点），点O到直线l的距离为，则E的离心率为__________. 9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是__________. 四、解答题 10．在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的双曲线（，）的左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，过点的直线交双曲线C的右支于D，E两点，且，证明：为定值. 参考答案 1．答案：A 解析：曲线为椭圆，焦点在y轴上，且.因为所求双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线为，即，则，解得，所以所求双曲线方程为.故选A. 2．答案：B 解析：根据双曲线的定义，可得.由已知可得.两式作差得.又，所以，即，得.两边平方得，即，即，则，所以双曲线的离心率，故选B. 3．答案：D 解析：由题意可知直线的方程为，，因为，所以点P的纵坐标，代入直线的方程得，所以.设的内切圆与，分别切于点R，S，由双曲线的定义得，易知，结合切线长定理可得，因为，所以. 法一：所以双曲线C的方程为，将的坐标代入，得，得，故双曲线C的焦距为.故选D. 法二：易知轴，即为等腰直角三角形.由双曲线的定义可得，则，得，故双曲线C的焦距为.故选D. 4．答案：A 解析：依题意，，所以.又，所以，则，所以双曲线C的一条渐近线为，即，所以，所以双曲线C的方程为.又以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，所以，依题意可设直线OM的方程为，易求，则直线ON的方程为，联立消去y整理得，即，故，所以，同理可得，故，所以，所以，故选A. 5．答案：C 解析：如图，由是以R为顶点的等腰三角形，知.由对称性得，故R为线段的中点，所以.由，知为等腰直角三角形，所以.易知，所以，所以，即.又，故，解得（负值舍去）.易知圆O的切线的斜率，故切线方程为，即.由点到直线的距离公式，可得.故选C. 6．答案：BD 解析：由题意得圆的方程为.对于A，不妨设点P在第一象限，则.若，则为等边三角形，所以直线OP的斜率为，所以双曲线C的渐近线方程为，故A错误.对于B，方法一：不妨设点P在第一象限，点Q的坐标为，，则.因为点P在圆上，所以，所以.又，所以，所以（负值已舍去），则点Q为双曲线C的右顶点.又点Q为线段的三等分点，所以，即，所以双曲线C的离心率，故B正确.方法二：不妨设点P在第一象限，则点Q在x轴的正半轴上.因为点Q为线段的三等分点，所以，所以，即点Q的横坐标为，则点P的坐标为.因为点P在圆上，所以.又，所以.整理，得，即，所以双曲线C的离心率，故B正确.对于C，由选项B可知，则，，所以，所以双曲线C的标准方程为，故C错误.对于D，不妨设点P在第一象限.联立得所以点P的坐标为.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，则双曲线C的焦距长的最小值为4，故D正确.选BD. 7．答案：AC 解析：选项A，B：由题意得双曲线的一条渐近线的斜率为，又焦距为，所以，得， 因此双曲线的方程为，离心率，故选项A正确，选项B错误； 选项C：设，易知双曲线的渐近线的方程为，则由，解得，不妨取，同理可得，则，，（另解：，） 于是，由于点P在双曲线上，所以，因此，所以的面积，由于是定值，所以也为定值，故选项C正确； 选项D：易知，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选项D错误. 8．答案： 解析：如图，连接，因为，所以. 过点O作于点D，则.又，所以，又，所以OD为的中位线，所以.又，所以. 令双曲线的半焦距为c，在中，，即，得，所以E的离心率为. 9．答案： 解析：设，，，易知，则直线的方程为， 令，得， 所以， 因为， 所以， 即， 由题意知，所以， 因为点N在E的右支上，所以，故，又， 所以，即， 因为E的渐近线斜率， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 10．答案：（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析 解析：（Ⅰ）依题意，到渐近线的距离为，所以. 又，，所以， 所以双曲线C的方程为. （Ⅱ）证明：设直线AB的方程为，，， 联立消去y整理得. ，则，. 所以 ， 所以. 又因为，所以直线DE的方程为， 同理可得， 所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$