随机变量及其分布——2025届高考数学一轮复习例题训练集【配套新教材】

（34）随机变量及其分布——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．设随机变量，，若，则( ) A. B. C. D. 2．某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( ) A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.2 3．已知随机变量，若，则( ) A. B. C. D. 4．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有危机意识.某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分X（满分：100分）服从正态分布，则 （附：若随机变量服从正态分布，则，）( ) A.0.34135 B.0.47725 C.0.6827 D.0.8186 5．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数.素数对称为孪生素数对.从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则( ) A. B. C. D.3 二、多项选择题 6．下列结论正确的是( ) A.若随机变量X服从两点分布，，则 B.若随机变量服从二项分布，则 C.若随机变量服从二项分布，则 D.若随机变量Y的方差，则 7．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p.记小李在星期一到星期五这5天内每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则( ) A. B. C.小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D.当时， 三、填空题 8．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________. 9．已知随机变量X的概率分布如表所示： X -2 0 1 2 P n m 若，则_________. 四、解答题 10．在某校篮球投篮比赛中，规定每人投篮3次，指定的3分区投中一次得3分，2分区投中一次得2分，没有命中一律得0分，按总分高低确定比赛名次.现有两种方案供参赛选手任意选择，方案一：在3分区连续投篮3次；方案二：第一次在3分区投篮，以后按如下规则投篮，若本次在3分区投篮命中，则下一次继续在3分区投篮，若没有命中，则下一次转到2分区投篮，若本次在2分区投篮命中，则下一次转到3分区投篮，若没有命中，则下一次继续在2分区投篮，现某同学在指定3分区投篮命中的概率为，在指定2分区投篮命中的概率为. （1）求该同学采用方案一投篮，得分不低于6分的概率； （2）试问：该同学选择何种方案参加比赛更合理？并说明理由. 参考答案 1．答案：B 解析：因为随机变量，所以，解得，所以， 则.故选B. 2．答案：C 解析：做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72.设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则，.某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率.故选C. 3．答案：B 解析：因为，故，故，因为，解得.故，故，故选B. 4．答案：D 解析：因为随机变量X服从，所以，，所以，，所以，，所以.故选D. 5．答案：C 解析：解法一：由题知8个数对中的孪生素数对为，，，，共4个孪生素数对，所以X的可能取值为0，1，2，3， 则，，，，所以，故选C. 解法二：由题知8个数对中的孪生素数对为，，，，共4个孪生素数对，则X服从超几何分布，故. 6．答案：BC 解析：若随机变量X服从两点分布，，则，故A错误；若随机变量服从二项分布，则，故B正确；若随机变量服从二项分布，则，故C正确；若随机变量Y的方差，则，故D错误.故选BC. 7．答案：BC 解析：由题意可得，则，，故A错误，B正确； 对于C，设小李一天上班路上至少遇到一次红灯的概率为t，则，故， 小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 设，，则，令，得，解得（舍去）或或（舍去），当时，，当时，，故，即小李在星期一到星期五这5天内的上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，故C正确； 对于D，当时，小李一天上班路上遇不到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误.故选BC. 8．答案： 解析：设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得， 故. 故答案为：. 9．答案：21 解析：由概率分布的性质和期望的公式，可得，，解得，， 所以， 所以. 10．答案：（1） （2）该同学选择方案二参加比赛更合理 解析：（1）因为在3分区投中得3分，投不中得0分， 所以该同学采用方案一投篮，得分不低于6分的情况有： 两次投中一次不中或三次全部投中， 所以所求概率. （2）设该同学采用方案一投篮的得分为X，则X的可能取值为0，3，6，9， 则，， ，， 所以X的概率分布为 X 0 3 6 9 P 所以. 设该同学采用方案二投篮的得分为Y，则Y的可能取值为0，2，3，5，6，9， 则， ， ， ， ， ， 所以Y的概率分布为 Y 0 2 3 5 6 9 P 所以， 因为，所以该同学选择方案二参加比赛更合理. 学科网（北京）股份有限公司 $$