辽宁省锦州市第五高级中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题

锦州市第五高级中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合，则集合的子集的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 ，有2个元素，则集合的子集的个数是. 故选：C. 2.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，时，取得所有奇数， ，时，取得整数因此．故选：B． 3.已知，求函数的最小值是 （ ) A．4 B．3 C．2 D．1 由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】，故正确； ，故正确； ，，故不正确； ，故正确． 故选：C． 5.设集合，，则“”是“”的（ ) A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 【答案】A 【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 6.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0） C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0） 【答案】C 【解析】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝ （x≠0），故D错误. 故选：C 7.设，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由诱导公式，可得 .故选：B. 8.关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 方程有两个实数根，△，， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴所以，可得，或，，故选：． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。） 9.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案. 【详解】A：为增函数， 若存在“3倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“3倍值区间”，A错误； B：为减函数， 若存在“3倍值区间”，则有，得，又，， 所以可取，， 所以存在“3倍值区间”，B正确； C：为增函数， 若存在“3倍值区间”，则，得， 所以存在“3倍值区间”，C正确； D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增， 若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意， 所以不存在“3倍值区间”，D错误． 故选：BC 10.函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项. 【详解】由于， ，，，， 即函数的定义域为 当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确； 当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确； 即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误； 故选：ACD 11.已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D．令，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以错误； 将的图象向下平移两个单位得到， 再向左平移一个单位得到， 此时，所以图象关于点对称， 所以的图象关于对称，所以B正确； 将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数， 所以函数关于点对称， 所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值， 则，所以C正确； 由，可得， 由， 设，， 可得，所以为减函数， 可得函数为减函数， 所以函数为单调递减函数， 又由为减函数，所以为减函数， 因为关于点对称， 所以，即， 即，解得，所以D正确. 故选：BCD. 12.对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（       ） A． B． C．＞0 D． 【答案】BC 【解析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D． 【详解】对于A，，即，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在定义域中单调递增，，故C正确； 对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误； 故选：BC 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.函数的定义域是________. 【答案】 【解析】由得， 作出的图象和直线， 由图象可知的解集为， 故答案为：. 14.已知，则_______________． 【答案】 【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解. 【详解】解：因为，， 所以，， 即，， 两式相加得，所以． 故答案为： 15.已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由于可知，再根据极值点的概念和正弦函数图象的性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】函数，由于， 所以， 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值， 所以且，所以． 故的取值范围是. 故答案为：. 16.已知定义在上的函数满足，则___________. 【答案】 【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解. 【详解】因为在R上的函数满足，且， 令，有， 又， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以. 故答案为：． 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17.已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【详解】 解：（1）若中只有一个元素， 则当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程为二元一次方程，，即， 故当或时，原方程只有一个解； （2）中至少有一个元素， 即中有一个或两个元素， 由得综合（1）当时中至少有一个元素； （3）中至多有一个元素， 即中有一个或没有元素 当， 即时原方程无实数解， 结合（1）知当或时中至多有一个元素. 18.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明：(1)若a∈A，则∈A. 又因为2∈A，所以＝－1∈A. 因为－1∈A，所以＝∈A. 因为∈A，所以＝2∈A. 所以A中另外两个元素为－1，. (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． 19.设. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解； （2）不等式转化为，对a进行分类讨论求解即可. （1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为. （2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 20.若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若，求的值． 【答案】(1)，(2)2 【分析】（1）由三角函数的图象变换得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，得出，即可求得的值. （1）解：由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得， 由，可得， 故图象的对称中心为． （2）解：由，， 因为， 可得， 所以． 21.已知二次函数满足，满足，且． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最小值（用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再代入到，化简可求出，从而可求出的解析式. （2）求出抛物线的对称轴，然后分和三种情况求解函数的最小值. 【详解】（1）因为二次函数，且满足，，所以，，所以 ，得. 所以. （2）是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数. 当时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，则； 当，即时，； 综上所述. 22.已知函数为奇函数． (1)求常数k的值； (2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明； (3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值； （2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可. （3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围. (1) 由，即， 所以，故，则， 当时，显然不成立，经验证：符合题意； 所以； (2) 单调递增，证明如下： 由（1）知：，若， 则， 而，即， 所以，故单调递增. (3) 由，令， 所以，由（2）知：在上递增，而在上递减， 所以在上递减，则. 又在区间上无解，故 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锦州市第五高级中学2023-2024学年度上学期高一月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合，则集合的子集的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，求函数的最小值是 （ ) A．4 B．3 C．2 D．1 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 5.设集合，，则“”是“”的（ ) A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 6.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0） C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0） 7.设，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 8.关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。） 9.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（       ） A． B． C． D． 10.函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（       ） A． B． C． D． 11.已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D．令，若，则实数的取值范围是 12.对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（       ） A． B． C．＞0 D． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.函数的定义域是________. 14.已知，则_______________． 15.已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________. 16.已知定义在上的函数满足，则___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17.已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 18.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 19.设. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 20.若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若，求的值． 21.已知二次函数满足，满足，且． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最小值（用表示）． 22.已知函数为奇函数． (1)求常数k的值； (2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明； (3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$