湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

数学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={x2≤x<4),B={xx2-5x十6>0}，则集合A∩B= A.(2,4) B.(3,4) C.(2,3) D.[2,3) 2.已知i是虚数单位，则复数x=3i十2在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设x∈R,则“|x一1<1”是“x2<x”的 长 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设x,y∈R,且x<y<0,则 A.义+E>2 x y B.y>zy c D安>网 lnx,0<x≤1， 5.已知函数f(x)= 3f(x-1D,x>1, 则9》 A.-9In 3 B.9In 3 C.-27ln3 D.27n3 6.设a,6c均为正数，且2=loga(号)广=l0gb.(号)r=lgac,则a,bc 的大小顺序为 A.a<c< B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 7,在四面体S-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=√2，△SAC为等边三角形， 二面角S-AC-B的余弦值为- ,则四面体S-ABC的外接球的表 面积为 A4π B.6x c 0数 8.已知一对不共线的向量a,b的夹角为0，定义aXb为一个向量，其模长 为a×b1=la·blsin,其方向同时与向量a,b垂直（如图1所示）. 在平行六面体OACB-O'A'CB'中（如图2所示），下列结论错误的是 图1 图2 A.Ss-号Oi×Oi B当∠AOB∈(0，)时，OA×Oi=OA.Oan∠AOB C若1OA1=1O1=2,OA.0=2,则10A×OB1=3 D.平行六面体OACB-OA'C'B'的体积V=Od·(OAXO) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分， 有选错的得0分. 9.在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6， 连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为 “第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事 件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是 A.事件A与事件B是相互独立事件 B.事件A与事件C是互斥事件 C.P(ABC)- D.P(A)P(B)P(C)- 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f(x十6) =f(x)十f(3)成立，当x1,∈[0,3]，且≠x时，都有 x)一fx>0,则下列说法正确的有 x1一x2 A.f(3)=0 B.直线x=一6是函数f(x)的一条对称轴 C.函数f(x)在区间[一9，一6]上为增函数 D.函数f(x)在区间[一9,9]上有4个零点 11.已知单位向量j,k两两所成的夹角均为(0<0<，且≠)，若空 间向量a满足a=d十y十冰(x,y,x∈R),则有序实数组(x,y,x)称 为向量α在“仿射”坐标系O-xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记 作a=(x,y,),则下列命题正确的有 A.已知a=(2,0,-1)4,b=(1,0,2)4,则a·b=0 B.已知a=(x边，)4，b=(x,,),则a一b=(x1一x,为一h, 名1一4)0 C.已知OA=(1,0,0)4,O=(0,1,0)4,OC=(0,0,1),则三棱锥 0-ABC份体积V-号 D,已知a=(x,y,0),b=(0,0,z),其中xyz≠0，则当且仅当x=y 时，向量a,b的夹角取得最小值 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数y=|1og8x一cosx的零点个数为 13.二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计 划使用一款由(n∈N·)个黑白方块构成的nXn二维码门禁，现用一 款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成2“个不 重复的二维码，为确保一个n×n二维码在1分钟内被破译的概率不高 于，则元的最小值为 14.正多面体也称为柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都 只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家 已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八 面体、正十二面体、正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内 切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则 PM,PV的取值范围是 数学试题（一中版）第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.(本小题满分13分) 某校为了解高二年级学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了 100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时 长（单位：分钟），并将样本数据分成[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]六组，绘制如图所示的频率分布直方图. 餐 0.030 0.025 0.020 0.015 0.005 V405060708090100日平药数学学习时长份钟 (1)若该校高二年级有800名学生，估计该年级日平均数学学习时长不 低于80分钟的学生有多少名？ (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分 位数 数学试题（一中版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之 和，我们定义：将一个正整数n(>1)表示为是个正整数的和，叫做正 整数n的是拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数n的无序 拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：1,3}，(2,2}. (1)写出9的所有无序2拆分： (2)从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以 作为△ABC的三边长”的概率 数学试题（一中版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，AB=8,AC=5.A=号 (I)求sin∠ACB的值： (2)设D,E分别是边AB,AC上的点，记AD=x,DE=y,:=xy,若 △ADE的面积总保持是△ABC面积的一半，求：的最小值 数学试题（一中板）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱柱ABCD-A:B,CD,中，已知B,C⊥底面ABCD,AD∥ BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,BB,=5,E是线段B,D上的点. (I)求点C1到平面BCD的距离； (2)若E为B,D的中点，求异面直线DD,与AE所成角的余弦值： (3)在线段BD上是否存在点E,使得二面角C-AE-D的余弦值为 气？若存在，请确定点E的位置若不存在，试说明理由。 数学试题（一中板）第7页（共8页） 营0为国Iw,, 19.(本小题满分17分) 对于空间向量m=(a,b,c),定义11ml川=max{la,b,lc),其中 max{x,y,z}表示x,y,z这三个数的最大值 1)尼知a=(6,号，)，b=(x受-小 ①写出1lal,写出1b1(用含x的式子表示)： ②当0≤x≤4时，写出1la一b1|的最小值及此时x的值： (2)设a=(知Ma),b=(2),求证：la+十bl≤1lal1+lbll: (3)在空间直角坐标系0-xyz中，A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,6), 点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部 的动点，直接写出|PQ1|的最小值及相应的点P的坐标 数学试题（一中版）第8页（共8页） 数学参考答案 一、二、选择题 题号123 45 67 8 9 10 11 AD ABD BC 1.B【解析】：集合A={x2≤x<4),B=xx-5x十6>0)-{xz>3,或x<2,AnB=(3,4),故选B 2.D【解析】县为z=3+2=3一2i,所以复数x对应的点为(3，一2)， 所以复数：=3咖十2？所对应的点落在第回象限.故透D. 3.B【解析】由x一1<1得0<x<2,由2<x得0<x<1,所以“x-1川<1"是“<2"的必要不元分票件，数选B 4A【隔折0心>0李>0，+>2径子-2且华号无法取得等号， 别+号>2经号-2，技A运 当x=-2y=-1时，x<y<0,y-1,y=2,y<xy,故B错误： <<0>}世C错溪 <<0生<0，而V网>0，则安<西，tD错混载选入 5.C【解折】由题意，(9)=3（号-）-3)=3×3号-)=9告)=9x3停-1)-27). 故f9)=27得)-27n青-273故选C 6.D【解折a>0,log4a=2>2=1=log420<a<2 6>0,0<(2)广<()”-1.0g41=16g42心2<<1 >0,0<c-(侵)<号)”-1-lg21<r<2 棕上可知：a<b<故选D 2.B【解折J知图，记AC的中点为0，易如二雨角S-AC-B的平面角为∠S0B,记△SAC的外接国国心为O,又 △ABC的外接国国心为0，分到过0,0作牛面ABC,手面SAC的◆线，两会线文于点0，时0为四面体S-ABC 的外接球球心， 由AB=BC-区有AC-2,周为△SMC为等边三角形，所以S0-,00-写。 又由二面角S-AC-B的余使为-9有000-9t0-号， 周比四面体S一AC的外热球的半径0C受，所以外共球的未西机为配此达且 数学考答金（一中数）一】 &C【解桥】时于A,5m=之1Oi1 sin,∠A0B,而1O×O=1@i1Oisn∠A0B, 载5aw=号1OixO1,正猜， 对于B,Oi.Oi-1Oi11Ocos∠AOB,查∠A0B∈(0，受）时，nn∠A0B有意义 则Oi.Oian∠AOB-OAI1O血∠AOB-Oi×Ol,正： 对于C,因为O-1O-2,ai,0丽-2，所以m∠A08-mA0B-号，所以a×0=2,每， 对于D,Oi×O苑的模长即为平行六面体底西OACB的面机，且方向备直于意面，由数量和的几何意义可知， 0司，(@i×O)战是0司在垂直于点面OACB的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）来以底面的西 积，即为平行六面体的体机，正璃.故选C 9.AD【解析】连块抛掷质地均匀的粒子两次，有1,1)，1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2. 40,(2,5),(2,6),(31D(3,2).(3,3).3,4),(3,5),(3,6),41),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2), (5,3),(5,40,(5,5),(5,6),(61),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种等可能的不同站果， 所以P0-是-，PB-是-，PO-8-含，PCAB=品- P(A)·P(B)=P(AB),故事件A,B相互独立，A正确； 事件A与率件C可能网时发生，故B情溪：PABG一器-子，此C错误 P(A)PB)P(C=言，故D正确.截选AD 10.ABD【解析】对于A,在fx十6)=fx)+f3)中，个x=-3可得f3)=f八-3)+f(3),即f(-3)=0, 又由画数f()是定义在R上的偏品数，则f(3)-0,故A正精： 对于B,由A可得f3)=0,则由fx十6)=fx)+f八3)，有fx十6)=f八x),即fx)是以6为周有的周期画数， 又由函数f八x)是定义在R上的偶画数，即f八x)的一条对称轴为y轴，即x一0，国此直线x=一6也是品数∫x)的 一条对称轴，故B正确： 对于C,当两∈[0,3]，且玉*时，都有二>0，可得)在区阅[0,3]止为增通数，又由高数 是定义在R上的偶西数，则fx)在[一3,0]上为减高盘，又由f八x)是以6为周期的周期画戴，期画数f)在区间 [一9，一6]上为减通数，故C错误： 对于D,由A可得f3)=-3)=0,又由fz)是以6为周痢的周期画处，则f(-9)=-3)=0,f9)=f(3)= 0,即画数f)在区间[一9,9]上有4个本点，D正确.故选ABD 11.BC【解析】时于A,a-21-k,b-+2k,a·b-(2i-k)·(计2)-3cos0, 时经，∴ab0,此A格 对于B,a-b=(红-)1+（一身/什（名一k,…a一b=a-%一为两一），故B对 对于C,由是名，三技株0-AC是桃长为1销正回面体V-×号X1×号×写-得世C冲 对于Dab=(d+)·(=+,a-√2+y+西，=2， x十y (a+ye) =x>0, .cos(a,b》= √2+y+D·E 2++0 当x=y时，con(a,b) a与b的夹角不一定取得最小值，故D情 故选BC 数学泰考多金（一中或）一2