第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 21 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 14 日 2 / 21 目 录 【课内精选一】切拼问题其一 ................................................................................................ 3 【课内精选二】切拼问题其二 ................................................................................................ 4 【课内精选三】不规则立体图形的表面积 ............................................................................ 5 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 ........................................................ 7 【课内精选五】等积变形问题 ................................................................................................ 7 【课内精选六】折叠问题 ........................................................................................................ 8 【课内精选七】排水法求体积 .............................................................................................. 10 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 ...................................................................................... 11 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 ...................................................................................... 12 【奥数拓展三】体积的变化问题 .......................................................................................... 13 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 .............................................................................. 14 【奥数拓展五】等积变形问题拓展 ...................................................................................... 15 【奥数拓展六】折叠问题拓展 .............................................................................................. 16 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 .............................................................. 17 【奥数拓展八】排水法求体积拓展 ...................................................................................... 19 【奥数拓展九】表面积最值问题其一 .................................................................................. 20 【奥数拓展十】表面积最值问题其二 .................................................................................. 21 3 / 21 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】切拼问题其一。 把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了 32平方厘米，如图所 示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了 40平方厘米，那么，原 来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 2.如图，一个正方体棱长是 8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每 个长方体的表面积是多少? 4 / 21 3.如图所示，一个正方体木块的表面积是 192平方厘米，把它锯成体积相等的 8 个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少? 【课内精选二】切拼问题其二。 一个长方体木块的长、宽、高依次为 8分米、4分米和 2分米，现在把它锯成若 干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表 面积是多少? 【专项训练】 1.如图所示，大正方体的棱长为 4厘米，它由 8个小正方体组成，现在把小正方 体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 5 / 21 2.如图所示，大正方体的棱长为 6厘米，它由 8个小正方体组成.现在把小正方体 排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少? 3.把一个长 25厘米、宽 10厘米、高 4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为 1厘 米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘 米? 【课内精选三】不规则立体图形的表面积。 如图 1、图 2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为 1厘米的小正方 体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 6 / 21 【专项训练】 1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为 1厘米的小正方体，求这两 个立体图形的表面积(单位：厘米)。 2.如图所示，在一个长 6厘米、宽 5厘米、高 4厘米的长方体木块中挖去一个棱 长是 2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少? 3.如图所示，在一个长 5厘米、宽 4厘米、高 3厘米的长方体木块上搭上一个棱 长是 2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少? 7 / 21 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。 一段方钢，长是 2米，横截面是一个边长为 4厘米的正方形，已知 1立方厘米的 钢重 8.8克，那么，这段方钢重多少千克? 【专项训练】 1.用 500块同样的方砖砌成一堵长 10米、宽 10厘米、高 0.5米的墙，这堵墙的 体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米? 2.在一个练功房里，铺设了 2600块长 50厘米、宽 10厘米、厚 3厘米的木质地 板，这个练功房要铺设多少立方米的地板? 3.有一个花坛，高 0.5米，底面是边长为 1.4米的正方形，那么，花坛所占的空 间有多大? 【课内精选五】等积变形问题。 如图 1，有一个长方体容器，长 30厘米、宽 22厘米、高 14厘米，里面的水深 7 厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 8 / 21 【专项训练】 1.如图所示，有一个长方体容器，长 22厘米、宽 12厘米、高 11厘米，里面的 水深 7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘 米? 2.王师傅准备把三块棱长是 4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方 体的底面是一个边长为 4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米? 3.把一个长 5厘米、宽 3厘米、高 2厘米的长方体铁块和一个棱长是 3厘米的正 方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是 3平方厘米，那么， 它的高是多少厘米? 【课内精选六】折叠问题。 如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是 12厘米，在四个角上各剪去一个相同 的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图 1、图 2、图 3、图 4中，哪张厚 纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 9 / 21 【专项训练】 1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是 16厘米，在四个角上各剪去一 个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图 1、图 2、图 3、图 4中， 哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 2.一张边长为 30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小 正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸 盒的容积最大是多少? 3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为 4分米的正方形后，所剩 部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。 (1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米? (2)原来铁皮的面积是多少? 10 / 21 【课内精选七】排水法求体积。 在一个长 15分米、宽 12分米的长方体水箱中，有 10分米深的水，如果在水中 沉入一个棱长为 30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米? 【专项训练】 1.一个长方体容器，从里面量长 5分米、宽 4分米、高 6分米，水深 3分米，如 果把一块棱长为 2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米? 2.一个正方体容器，从里面量棱长为 2分米，向容器内倒入 5升水，再把一小块 石头完全浸入水中，这时容器中的水深 1.5分米，求石头的体积。 3.一只乌鸦站在一个长 8厘米，宽 6厘米，高 60厘米的长方体玻璃容器前想要 喝水，此时玻璃容器里有 25厘米高的水，当水位上升到 50厘米时，乌鸦就能喝 到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当 于棱长为 1厘米的小正方体的体积) 11 / 21 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。 小东摆弄三块长 7厘米、宽 6厘米、高 4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个 表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 【专项训练】 1.军军摆弄三块长 6厘米、宽 4厘米、高 3厘米的长方体积木，要把它们拼成一 个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是 11厘米，宽是 7 厘米，厚度是 15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重 叠的部分大约需要彩纸 80平方厘米)? 12 / 21 3.将 168个棱长为 1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达 到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。 一个正方体的高增加 4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正 方体的表面积增加了 80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 【专项训练】 1.一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积 比原来增加 48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 2.一个正方体的高增加 4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了 96 平方厘米，求原来正方体的体积。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是 原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是 2664平方厘米，当从这个长方体 的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少 144平方厘米，原来有 多少个小正方体? 13 / 21 【奥数拓展三】体积的变化问题。 一个长方体，如果长增加 2厘米，则体积增加 40立方厘米；如果宽增加 3厘米， 则体积增加 90立方厘米；如果高增加 4厘米，则体积增加 96立方厘米，求原长 方体的表面积。 【专项训练】 1.一个长方体，如果长减少 2厘米，则体积减少 48立方厘米；如果宽增加 5厘 米，则体积增加 65立方厘米；如果高增加 4厘米，则体积增加 96立方厘米，求 原长方体的表面积。 2.如图所示，一个体积是 160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是 20平 方厘米和 32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个 小长方体的表面积之和是 472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面 积之和是 632平方厘米，切完第三刀后得到的 8个小长方体的表面积之和是 752 平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 14 / 21 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。 把一堆砖按同一方向垒成长为 30块砖，宽为 20块砖，高为 10块砖的长方体形 状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 【专项训练】 1.用 3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长 56厘米、 宽 36厘米、高 43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 2.要砌一个 1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为 0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 15 / 21 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是 2448平方厘米，从一端锯下一个 最大的正方体，正方体表面积为 216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样 的正方体?(注：每锯一次会损耗长 2毫米的木料) 【奥数拓展五】等积变形问题拓展。 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为 30分米×20分米×10分米，高 为 10分米，里面水深 8分米；B储水器的尺寸为 20分米×10分米×10分米，高 为 10分米，里面水深 2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中， 使两个储水器中的水面一样高，求 B储水器中的水面将升高多少分米? 【专项训练】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高 50厘米，现在要把这块地 推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 2.有两个水池，甲水池长 8分米、宽 6分米、水深 3分米，乙水池空着，它长 6 分米、宽和高都是 4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中 水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 16 / 21 3.在下图①的容器内放水到 18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使 水面与 ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为 8厘米，如果再把该 容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为 7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉 多少毫升? 【奥数拓展六】折叠问题拓展。 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为 2.8分米的正方形，焊成一 个长方体铁皮盒，可以盛水 546升.已知这块长方形铁皮的长是 21.2分米，求长 方形铁皮的面积。 【专项训练】 1.有一块长 22 厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是 3 厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是 432 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 17 / 21 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长 32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个 边长为 4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子， 已知这个盒子的容积是 768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 3.如图所示，将长 16厘米、宽 12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长 为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分 别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。 如图所示，有一个棱长为 12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心 分别凿穿一个边长为 4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘 米? 18 / 21 【专项训练】 1.在一个棱长为 4分米的正方体零件的 6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长 2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 2.在一个棱长为 3分米的正方体模型的 6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长 1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 3.如图所示，有一个边长为 5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每 个面的中间各挖去一个边长为 1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方 体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 19 / 21 【奥数拓展八】排水法求体积拓展。 有一个长方体容器，从里面量长 6 分米、宽 5 分米、高 5 分米，给里面注入 2 分米深的水，如果把一块棱长是 3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一 面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 【专项训练】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为 60厘米的正方形，容器里直立着一个高 1 米、底面边长为 15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深 0.5米，如 果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 2.如图所示，在长、宽、高分别为 10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深 4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为 5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 3.在一个长 24分米、宽 9分米、高 8分米的水槽中，注入 4分米深的水，然后 放入一个棱长为 6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 20 / 21 【奥数拓展九】表面积最值问题其一。 棱长分别是 3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立 体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 【专项训练】 1.棱长分别是 4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种 方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 2.将一个长 30厘米、宽 20厘米、高 10厘米的长方体木块分割成四个完全相同 的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 3.如图，将 25块边长为 1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体 的表面积最小?最小的表面积是多少? 21 / 21 【奥数拓展十】表面积最值问题其二。 一种长方体物品长 17厘米、宽 7厘米、高 3厘米，现要把 12件这样的物品拼成 一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 【专项训练】 1.晓明用 10块长 7厘米、宽 5厘米、高 3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体， 这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 2.将 12件长 9分米、宽 7分米、高 5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体， 这个大长方体的表面积最小是多少? 3.一个集装箱，它的内尺寸是 18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是 1×4×9， 这只集装箱能装多少只货箱? 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 目 录 【课内精选一】切拼问题其一 3 【课内精选二】切拼问题其二 4 【课内精选三】不规则立体图形的表面积 5 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 7 【课内精选五】等积变形问题 7 【课内精选六】折叠问题 8 【课内精选七】排水法求体积 10 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 11 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 12 【奥数拓展三】体积的变化问题 13 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 14 【奥数拓展五】等积变形问题拓展 15 【奥数拓展六】折叠问题拓展 16 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 17 【奥数拓展八】排水法求体积拓展 19 【奥数拓展九】表面积最值问题其一 20 【奥数拓展十】表面积最值问题其二 21 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】切拼问题其一。 把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了32平方厘米，如图所示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了40平方厘米，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 2.如图，一个正方体棱长是8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每个长方体的表面积是多少? 3.如图所示，一个正方体木块的表面积是192平方厘米，把它锯成体积相等的8个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少? 【课内精选二】切拼问题其二。 一个长方体木块的长、宽、高依次为8分米、4分米和2分米，现在把它锯成若干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表面积是多少? 【专项训练】 1.如图所示，大正方体的棱长为4厘米，它由8个小正方体组成，现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 2.如图所示，大正方体的棱长为6厘米，它由8个小正方体组成.现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少? 3.把一个长25厘米、宽10厘米、高4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为1厘米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘米? 【课内精选三】不规则立体图形的表面积。 如图1、图2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 【专项训练】 1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 2.如图所示，在一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块中挖去一个棱长是2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少? 3.如图所示，在一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块上搭上一个棱长是2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少? 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。 一段方钢，长是2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形，已知1立方厘米的 钢重8.8克，那么，这段方钢重多少千克? 【专项训练】 1.用500块同样的方砖砌成一堵长10米、宽10厘米、高0.5米的墙，这堵墙的体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米? 2.在一个练功房里，铺设了2600块长50厘米、宽10厘米、厚3厘米的木质地板，这个练功房要铺设多少立方米的地板? 3.有一个花坛，高0.5米，底面是边长为1.4米的正方形，那么，花坛所占的空间有多大? 【课内精选五】等积变形问题。 如图1，有一个长方体容器，长30厘米、宽22厘米、高14厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 【专项训练】 1.如图所示，有一个长方体容器，长22厘米、宽12厘米、高11厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 2.王师傅准备把三块棱长是4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方体的底面是一个边长为4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米? 3.把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体铁块和一个棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是3平方厘米，那么，它的高是多少厘米? 【课内精选六】折叠问题。 如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是12厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 【专项训练】 1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是16厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 2.一张边长为30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积最大是多少? 3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为4分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。 (1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米? (2)原来铁皮的面积是多少? 【课内精选七】排水法求体积。 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中 沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米? 【专项训练】 1.一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，水深3分米，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米? 2.一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，向容器内倒入5升水，再把一小块石头完全浸入水中，这时容器中的水深1.5分米，求石头的体积。 3.一只乌鸦站在一个长8厘米，宽6厘米，高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有25厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当于棱长为1厘米的小正方体的体积) 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 【专项训练】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)? 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 【专项训练】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体? 【奥数拓展三】体积的变化问题。 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 【专项训练】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。 把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 【专项训练】 1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料) 【奥数拓展五】等积变形问题拓展。 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高 为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米? 【专项训练】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升? 【奥数拓展六】折叠问题拓展。 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。 【专项训练】 1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。 如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 【专项训练】 1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 【奥数拓展八】排水法求体积拓展。 有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 【专项训练】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 2.如图所示，在长、宽、高分别为10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 【奥数拓展九】表面积最值问题其一。 棱长分别是3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 【专项训练】 1.棱长分别是4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 2.将一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体木块分割成四个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 3.如图，将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少? 【奥数拓展十】表面积最值问题其二。 一种长方体物品长17厘米、宽7厘米、高3厘米，现要把12件这样的物品拼成一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 【专项训练】 1.晓明用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 2.将12件长9分米、宽7分米、高5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少? 3.一个集装箱，它的内尺寸是18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9，这只集装箱能装多少只货箱? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 27 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 14 日 2 / 27 目 录 【课内精选一】切拼问题其一 ................................................................................................ 3 【课内精选二】切拼问题其二 ................................................................................................ 4 【课内精选三】不规则立体图形的表面积 ............................................................................ 6 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 ........................................................ 7 【课内精选五】等积变形问题 ................................................................................................ 8 【课内精选六】折叠问题 ........................................................................................................ 9 【课内精选七】排水法求体积 .............................................................................................. 11 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 ...................................................................................... 13 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 ...................................................................................... 14 【奥数拓展三】体积的变化问题 .......................................................................................... 15 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 .............................................................................. 17 【奥数拓展五】等积变形问题拓展 ...................................................................................... 18 【奥数拓展六】折叠问题拓展 .............................................................................................. 19 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 .............................................................. 21 【奥数拓展八】排水法求体积拓展 ...................................................................................... 23 【奥数拓展九】表面积最值问题其一 .................................................................................. 24 【奥数拓展十】表面积最值问题其二 .................................................................................. 26 3 / 27 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】切拼问题其一。 把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了 32平方厘米，如图所 示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 解析： 32÷2=16(平方厘米) 16×10=160(平方厘米) 答：原来这个长方体的表面积是 160平方厘米。 【专项训练】 1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了 40平方厘米，那么，原 来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 解析： 40÷4×(3×4+2)=140(平方厘米) 所以，原来长方体的表面积是 140平方厘米。 2.如图，一个正方体棱长是 8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每 个长方体的表面积是多少? 4 / 27 解析： 8×8×2+8×4×4=256(平方厘米)或 8×8×4=256(平方厘米) 所以，每个长方体的表面积是 256平方厘米。 3.如图所示，一个正方体木块的表面积是 192平方厘米，把它锯成体积相等的 8 个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少? 解析： 192÷6=32(平方厘米) 32÷4×6=48(平方厘米) 所以，每个小木块的表面积是 48平方厘米。 【课内精选二】切拼问题其二。 一个长方体木块的长、宽、高依次为 8分米、4分米和 2分米，现在把它锯成若 干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表 面积是多少? 解析： 我们可以先求长方体的体积，得到所拼正方体的棱长，然后求出正方体的表面积。 8×4×2=64=4×4×4 5 / 27 4×4×6=96(平方分米) 答：这个大正方体的表面积是 96平方分米。 【专项训练】 1.如图所示，大正方体的棱长为 4厘米，它由 8个小正方体组成，现在把小正方 体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 解析： 4÷2=2(厘米),2×8=16(厘米) 16×2×4+2×2×2=128+8=136(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积是 136平方厘米。 2.如图所示，大正方体的棱长为 6厘米，它由 8个小正方体组成.现在把小正方体 排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少? 解析： 6÷2=3(厘米) 3×8=24(厘米) 24×3×4+3×3×2=288+18=306(平方厘米) 6×6×6=216(平方厘米) 306—216=90(平方厘米) 所以，比大正方体增加 90平方厘米。 3.把一个长 25厘米、宽 10厘米、高 4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为 1厘 米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘 米? 解析： 6 / 27 大正方体的体积等于原长方体的体积，其值为 25×10×4=1000(立方厘米)，又考 虑到 1000=10×10×10，于是，大正方体的棱长为 10厘米，因此，大正方体的表 面积为 10×10×6=600(平方厘米)。 【课内精选三】不规则立体图形的表面积。 如图 1、图 2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为 1厘米的小正方 体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 解析： 我们把这两个立体图形恢复成图 3，从图 3中挖去一个正方体变成图 1，挖去上 面、前面、右面三个 1×1=1(平方厘米)的面，同时又增加了下面、后面、左面三 个 1×1=1(平方厘米)的面，实际上表面积并没有增减，所以，图 1的表面积仍是 (6×5+5×4+6×4)×2=74×2=148(平方厘米)。 再看，从图 3中挖去一个正方体变成图 2，挖去上面、前面两个 1×1=1(平方厘米) 的面，同时又增加了下面、后面、左右面共四个 1×1=1(平方厘米)的面，因此， 表面积增加了两个面，所以，图 2的表面积是 (6×5+5×4+6×4)×2+1×1×2=74×2+2=150(平方厘米) 【专项训练】 1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为 1厘米的小正方体，求这两 个立体图形的表面积(单位：厘米)。 解析： (5.5×4+5.5×3+4×3)×2=101(平方厘米) (5.5×4+5.5×3+4×3)×2+1×1×2=103(平方厘米) 7 / 27 所以，这两个立体图形的表面积分别是 101平方厘米和 103平方厘米。 2.如图所示，在一个长 6厘米、宽 5厘米、高 4厘米的长方体木块中挖去一个棱 长是 2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少? 解析： (6×5+5×4+6×4)×2+2×2×4=164(平方厘米) 所以，现在的表面积是 164平方厘米。 3.如图所示，在一个长 5厘米、宽 4厘米、高 3厘米的长方体木块上搭上一个棱 长是 2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少? 解析： (5×4+5×3+4×3)×2+2×2×4=110(平方厘米) 所以，搭成的物体表面积是 110平方厘米。 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。 一段方钢，长是 2米，横截面是一个边长为 4厘米的正方形，已知 1立方厘米的 钢重 8.8克，那么，这段方钢重多少千克? 解析： 2米=200厘米 4×4×200=3200(立方厘米) 3200×8.8=28160(克)=28.16(千克) 8 / 27 答：这段方钢重 28.16千克。 【专项训练】 1.用 500块同样的方砖砌成一堵长 10米、宽 10厘米、高 0.5米的墙，这堵墙的 体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米? 解析： 10×0.1×0.5=0.5(立方米) 0.5立方米=500(立方分米) 500÷500=1(立方分米) 所以，这堵墙的体积是 0.5立方米，平均每块砖的体积是 1立方分米。 2.在一个练功房里，铺设了 2600块长 50厘米、宽 10厘米、厚 3厘米的木质地 板，这个练功房要铺设多少立方米的地板? 解析： 0.5×0.1×0.03×2600=3.9(立方米) 所以，这个练功房要铺设 3.9立方米的地板。 3.有一个花坛，高 0.5米，底面是边长为 1.4米的正方形，那么，花坛所占的空 间有多大? 解析： 1.4×1.4×0.5=0.98(立方米) 所以，花坛所占的空间有 0.98立方米。 【课内精选五】等积变形问题。 如图 1，有一个长方体容器，长 30厘米、宽 22厘米、高 14厘米，里面的水深 7 厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 解析： 因为长方体容器中水的形状也是一个长方体，水的体积是 30×22×7=4620(立方厘 9 / 27 米)，当把这个容器竖起来，如图 2,底面的面积是 22×14=308(平方厘米)，但水的 体积并没有变化，将体积除以底面积就可以求出水的深度。 30×22×7÷(22×14)=30×7÷14=15(厘米) 答：垂直竖起来后水深 15厘米。 【专项训练】 1.如图所示，有一个长方体容器，长 22厘米、宽 12厘米、高 11厘米，里面的 水深 7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘 米? 解析： 22×12×7÷(12×11)=14(厘米) 所以，垂直竖起来后水深 14厘米。 2.王师傅准备把三块棱长是 4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方 体的底面是一个边长为 4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米? 解析： 4×4×4×3÷(4×4)=12(厘米) 所以，它的高是 12厘米。 3.把一个长 5厘米、宽 3厘米、高 2厘米的长方体铁块和一个棱长是 3厘米的正 方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是 3平方厘米，那么， 它的高是多少厘米? 解析： (5×3×2+3×3×3)÷3=19(厘米) 所以，它的高是 19厘米。 【课内精选六】折叠问题。 如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是 12厘米，在四个角上各剪去一个相同 的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图 1、图 2、图 3、图 4中，哪张厚 10 / 27 纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 解析： 我们不能光凭猜测，不妨先计算一下，再比较就行了。 按图 1中的剪法，纸盒的长和宽分别是 12-4×2=4(厘米),高是 4厘米，那么，容 积是(12-4×2)²×4=64(立方厘米)； 按图 2中的剪法，容积是(12—3×2)²×3=108(立方厘米)； 按图 3中的剪法，容积是(12-2×2)²×2=128(立方厘米)； 按图 4中的剪法，容积是(12—1×2)²×1=100(立方厘米) 显然，按图 3的剪法容积最大，容积是 128立方厘米。 【专项训练】 1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是 16厘米，在四个角上各剪去一 个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图 1、图 2、图 3、图 4中， 哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 解析： 按图 1的剪法，容积是(16—4×2)²×4=256(立方厘米)； 按图 2的剪法，容积是(16—3×2)²×3=300(立方厘米)； 按图 3的剪法，容积是(16—2×2)²×2=288(立方厘米)； 按图 4的剪法，容积是(16—1×2)²×1=196(立方厘米) 显然，按图 2的剪法容积最大，为 300立方厘米。 2.一张边长为 30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小 11 / 27 正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸 盒的容积最大是多少? 解析： 尝试计算，假设剪去小正方形的边长分别为 1，2，3，4，5，6，7，…，当剪去 小正方形的边长为 5厘米时，这个纸盒的容积最大，为 (30—5×2)×(30—5×2)×5=2000(立方厘米) 3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为 4分米的正方形后，所剩 部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。 (1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米? (2)原来铁皮的面积是多少? 解析： (1)4×4×5=80(平方分米)，所以，这个铁皮盒用铁皮 80平方分米； (2)4×4×3×3=144(平方分米)，所以，原来铁皮的面积是 144平方分米。 【课内精选七】排水法求体积。 在一个长 15分米、宽 12分米的长方体水箱中，有 10分米深的水，如果在水中 沉入一个棱长为 30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米? 解析： 30厘米=3分米 (15×12×10+3×3×3)÷(15×12)=10.15(分米) 答：水箱中水深 10.15分米。 【专项训练】 1.一个长方体容器，从里面量长 5分米、宽 4分米、高 6分米，水深 3分米，如 果把一块棱长为 2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米? 解析： 2³÷(5×4)=0.4(分米) 所以，水面将上升 0.4分米。 2.一个正方体容器，从里面量棱长为 2分米，向容器内倒入 5升水，再把一小块 石头完全浸入水中，这时容器中的水深 1.5分米，求石头的体积。 解析： 12 / 27 先求出石头浸入水中后石块和水的体积和，再从中去掉水的体积，就得到石头的 体积，2×2×1.5-5=1(立方分米) 所以，石头的体积是 1立方分米。 3.一只乌鸦站在一个长 8厘米，宽 6厘米，高 60厘米的长方体玻璃容器前想要 喝水，此时玻璃容器里有 25厘米高的水，当水位上升到 50厘米时，乌鸦就能喝 到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当 于棱长为 1厘米的小正方体的体积) 解析： 先计算水面上升的这部分水的体积，再将水上升的体积除以每块石头的体积，就 可以得到多少块石头。 8×6×(50—25)÷1³=1200(块) 所以，乌鸦要往水里扔 1200块石头才能喝到水。 13 / 27 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。 小东摆弄三块长 7厘米、宽 6厘米、高 4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个 表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： 图 1：(7×3×6+7×3×4+6×4)×2=468(平方厘米) 图 2：(6×3×7+6×3×4+7×4)×2=452(平方厘米) 图 3：(4×3×7+4×3×6+7×6)×2=396(平方厘米) 所以，图 3所示拼法的表面积最小，为 396平方厘米。 【专项训练】 1.军军摆弄三块长 6厘米、宽 4厘米、高 3厘米的长方体积木，要把它们拼成一 个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： (3×3×6+3×3×4+6×4)×2=228(平方厘米) 所以，这个大长方体的表面积是 228平方厘米。 14 / 27 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是 11厘米，宽是 7 厘米，厚度是 15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重 叠的部分大约需要彩纸 80平方厘米)? 解析： 15×4=60(毫米)=6(厘米) (11×7+11×6+7×6)×2+80=450(平方厘米) 所以，包装这四盒磁带至少需要 450平方厘米的彩纸。 3.将 168个棱长为 1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达 到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 解析： 168=2³×3×7，因此，若将 168分解成三个最接近的因数的乘积，则这三个因数分 别为 4、6、7，这样再计算长方体的表面积：(4×6+4×7+6×7)×2=188(平方厘米) 所以，表面积最小是 188平方厘米。 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。 一个正方体的高增加 4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正 方体的表面积增加了 80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 解析： 80÷4÷4=5(分米) 5×5×5=125(立方分米) 答：原来正方体的体积是 125立方分米。 【专项训练】 1.一个长方体，如果高增加 3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积 比原来增加 48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 解析： 48÷3÷4=4(厘米) 4—3=1(厘米) (4×4+4×1+4×1)×2=48(平方厘米) 4×4×1=16(立方厘米) 所以，原来长方体的表面积是 48平方厘米，体积是 16立方厘米。 15 / 27 2.一个正方体的高增加 4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了 96 平方厘米，求原来正方体的体积。 解析： 96÷4÷4=6(厘米) 6×6×6=216(立方厘米) 所以，原来正方体的体积是 216立方厘米。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是 原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是 2664平方厘米，当从这个长方体 的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少 144平方厘米，原来有 多少个小正方体? 解析： 拿去一个正方体，少了 4个正方形的面，144÷4 =36(平方厘米)，36=6×6，因此， 小正方体的棱长是 6厘米，(2664—6×6×2)÷4÷36=18(个) 所以，原来有 18个小正方体。 【奥数拓展三】体积的变化问题。 一个长方体，如果长增加 2厘米，则体积增加 40立方厘米；如果宽增加 3厘米， 则体积增加 90立方厘米；如果高增加 4厘米，则体积增加 96立方厘米，求原长 方体的表面积。 解析： 由长增加 2厘米，体积增加 40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20(平方厘米)；由宽 增加 3厘米，体积增加 90立方厘米，可知长×高=90÷3=30(平方厘米)；由高增加 4厘米，体积增加 96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)，不难求出长方 体的表面积。 16 / 27 (20+30+24)×2=148(平方厘米) 答：原长方体的表面积是 148平方厘米。 【专项训练】 1.一个长方体，如果长减少 2厘米，则体积减少 48立方厘米；如果宽增加 5厘 米，则体积增加 65立方厘米；如果高增加 4厘米，则体积增加 96立方厘米，求 原长方体的表面积。 解析： (48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米) 所以，原长方体的表面积是 122平方厘米。 2.如图所示，一个体积是 160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是 20平 方厘米和 32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 解析： 高：160÷32 =5(厘米) 长：160÷20=8(厘米) 阴影面积=8×5=40(平方厘米) 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个 小长方体的表面积之和是 472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面 积之和是 632平方厘米，切完第三刀后得到的 8个小长方体的表面积之和是 752 平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 解析： 17 / 27 (632-472)÷2=80(平方厘米) (752—632)÷2=60(平方厘米) (472—80×2—60×2)÷4=48(平方厘米) 所以，原来长方体六个面中面积最小的是 48平方厘米。 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。 把一堆砖按同一方向垒成长为 30块砖，宽为 20块砖，高为 10块砖的长方体形 状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 解析： (30—2)×(20—2)×(10—1)=28×18×9=4536(块) 答：没有洒上石灰水的砖共有 4536块。 【专项训练】 1.用 3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长 56厘米、 宽 36厘米、高 43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 解析： (56-3×2)×(36—3×2)×(43-3)=60000(立方厘米)=0.06(立方米) 所以，这个木箱的容积是 0.06立方米。 2.要砌一个 1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为 0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 解析： (1-0.1)÷(0.1+0.05)+1=7(层) 2×4×7=56(块) 所以，砌好这个砖垛共需要 56块砖。 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是 2448平方厘米，从一端锯下一个 最大的正方体，正方体表面积为 216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样 的正方体?(注：每锯一次会损耗长 2毫米的木料) 18 / 27 解析： 首先，2毫米=0.2厘米，正方体的表面积为 216平方厘米，也就是正方体每个面 的面积是 216÷6=36(平方厘米)，因此正方体的棱长为 6厘米。然后，计算截面 是正方形的长方体木料的长为(2448-36×2)÷4÷6=99(厘米) 最后用到植树问题的相关知识，一共可以锯出(99+0.2)÷(6+0.2)=16(个)这样的正 方体。 【奥数拓展五】等积变形问题拓展。 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为 30分米×20分米×10分米，高 为 10分米，里面水深 8分米；B储水器的尺寸为 20分米×10分米×10分米，高 为 10分米，里面水深 2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中， 使两个储水器中的水面一样高，求 B储水器中的水面将升高多少分米? 解析： 我们要知道，将水从一个容器抽到另一个容器中，那么两个容器中水的体积和是 不变的，因此，不妨先算出水的体积和，现在是放在两个储水器的底面积上，也 就是说，已经有了水的体积和底面积，求水面的高度，这样，就不难知道水面升 高多少分米了。 30×20×8+20×10×2=5200(立方分米) 30×20+20×10=800(平方分米) 5200÷800=6.5(分米) 6.5—2=4.5(分米) 答：B储水器中的水面将升高 4.5分米。 【专项训练】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高 50厘米，现在要把这块地 推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 19 / 27 解析： 0.5-30×60×0.5÷(100×30)=0.2(米)=20(厘米) 所以，要从甲部分取下 20厘米厚的土填在乙部分上。 2.有两个水池，甲水池长 8分米、宽 6分米、水深 3分米，乙水池空着，它长 6 分米、宽和高都是 4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中 水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 解析： 设水面高 x分米，8×6×(3-x)=6×4×x，x=2 3.在下图①的容器内放水到 18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使 水面与 ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为 8厘米，如果再把该 容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为 7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉 多少毫升? 解析： 容器的总容积为 12×15×(18+8)=4680(立方厘米)，若将它按图 3那样横放，则水 的体积应是 4680÷(15÷7.5)=2340(立方厘米) 所以，倒掉的水应该是 12×15×18—2340=900(立方厘米)。 【奥数拓展六】折叠问题拓展。 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为 2.8分米的正方形，焊成一 个长方体铁皮盒，可以盛水 546升.已知这块长方形铁皮的长是 21.2分米，求长 方形铁皮的面积。 解析： 546升也就是 546立方分米，我们先计算长方体铁盒的宽，才能知道长方形铁皮 的宽，然后再计算长方形铁皮的面积。 546÷[(21.2-2.8×2)×2.8]=546÷43.68=12.5(分米) 20 / 27 21.2×(12.5+2.8×2)=383.72(平方分米) 答：长方形铁皮的面积为 383.72平方分米。 【专项训练】 1.有一块长 22 厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是 3 厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是 432 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 432÷3÷(22—3×2)=9(厘米) 22×(9+3×2)=330(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是 330平方厘米。 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长 32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个 边长为 4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子， 已知这个盒子的容积是 768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 768÷4÷(32-4×2)=8(厘米) 32×(8+4×2)=512(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是 512平方厘米。 3.如图所示，将长 16厘米、宽 12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长 为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分 别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 解析： 设四个角上去掉的小正方形的边长为 a厘米，则无盖盒的长为(16—2a)厘米，宽 为(12-2a)厘米，高为 a厘米 容积为 V=(16—2a)(12 -2a)a =4a(8—a)(6—a) 当 a=1时，V=140;当 a=2时，V=192； 21 / 27 当 a=3时，V=180;当 a=4时，V=128； 当 a=5时，V=60.所以，当 a=2，即长、宽、高依次为 12、8、2厘米时，容积最 大。 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。 如图所示，有一个棱长为 12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心 分别凿穿一个边长为 4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘 米? 解析： 12³-4²×12×3+4³×2 =4³×3³—4²×4×3×3+4³×2=4³×3³—4³×(9—2) =4³×(27—7)=1280(立方厘米) 答：穿孔后木块的体积是 1280立方厘米。 【专项训练】 1.在一个棱长为 4分米的正方体零件的 6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长 2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 解析： 4×4×4-(2×2×4×3-2×2×2×2)=64—32=32(立方分米) 22 / 27 所以，这个零件的体积是 32立方分米。 2.在一个棱长为 3分米的正方体模型的 6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长 1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 解析： 如图所示，剩下部分的表面积可分为两种情况： 一种是在棱中间的正方体 A，有 12个，表面积为 1×1×1×4×12=48(平方分米)； 另一种是在顶点处的正方体 B，有 8个，表面积为 1×1×3×8=24(平方分米) 48+24=72(平方分米)。 所以，这个模型剩下部分的表面积是 72平方分米。 3.如图所示，有一个边长为 5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每 个面的中间各挖去一个边长为 1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方 体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 解析： 挖在角上，表面积无增减；挖在棱上，每次增加两个正方形的面积；挖在面上， 每次增加四个正方形的面积.5×5×6+1×1×2×12+1×1×4×6=198(平方厘米)，所以， 23 / 27 余下部分的表面积是 198平方厘米。 【奥数拓展八】排水法求体积拓展。 有一个长方体容器，从里面量长 6 分米、宽 5 分米、高 5 分米，给里面注入 2 分米深的水，如果把一块棱长是 3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一 面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 解析： 解决这类问题，关键是要先判断铁块是否完全浸没在水中，假设铁块完全浸没在 水中，这时，水面的高度是 (6×5×2+3×3×3)÷(6×5)=87÷30=2.9(分米)。 而铁块的棱长只有 3分米，3>2.9，因此，铁块没有完全浸没在水中，这也就是 说，容器中的水被放入的铁块排开在周围，由于“正方体铁块的一面与容器底面 紧贴”，此时水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差，可以先求出此时水面 的高度，再看上升了多少分米。 (6×5×2)÷(6×5—3×3)=60÷21≈2.86(分米) 2.86—2=0.86(分米) 答：水面大约上升 0.86分米。 【专项训练】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为 60厘米的正方形，容器里直立着一个高 1 米、底面边长为 15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深 0.5米，如 果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 解析： 0.5米=50厘米，容器里水深(60×60—15×15)×50÷(60×60)=46.875(厘米) 2.如图所示，在长、宽、高分别为 10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深 4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为 5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 24 / 27 解析： 先判断铁块是否完全浸没在水中，(10×10×4+5×5×5)÷(10×10)=5.25(cm) 5.25>5，说明此时水面的高度大于铁块的高度，完全浸没的 所以，水深变为 5.25 cm。 3.在一个长 24分米、宽 9分米、高 8分米的水槽中，注入 4分米深的水，然后 放入一个棱长为 6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 解析： 假设铁块完全浸没。 (24×9×4+6×6×6)÷(24×9)=1080÷216=5(分米) 5<6，说明没有完全浸没。 (24×9×4)÷(24×9—6×6)=864÷180=4.8(分米) 4.8—4=0.8(分米) 所以，水位上升 0.8分米。 【奥数拓展九】表面积最值问题其一。 棱长分别是 3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立 体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 解析： 我们知道，当几个正方体粘在一起的面最多时，表面积最小。 现在有 3个正方体，当它们两两粘合时，粘在一起的面最多，如图所示，因此， 三个正方体的表面积之和为(8×8+5×5+3×3)×6=588(平方厘米)，粘合后，5×5的 面减少 2 个，3×3的面减少 4 个，表面积最小为 588—5×5×2—3×3×4=502(平方 厘米)。 【专项训练】 1.棱长分别是 4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种 方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 25 / 27 解析： 三个正方体的表面积和为(4×4+7×7+10×10)×6=990(平方厘米)，减去 4个 4×4的 面，990-4×4×4=926(平方厘米) 所以，表面积最大的那个立体的表面积是 926平方厘米。 2.将一个长 30厘米、宽 20厘米、高 10厘米的长方体木块分割成四个完全相同 的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 解析： 30×20×(3×2)=3600(平方厘米) 所以，表面积最多增加 3600平方厘米。 3.如图，将 25块边长为 1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体 的表面积最小?最小的表面积是多少? 解析： 25块棱长为 1的正方体积木堆放成一个几何体，当小积木互相重合的面最多时 表面积最小，设想 27块棱长为 1 的正方体积木，其表面积为 54(如图 1)，现在 要去掉 2块小积木成为 25块，其总表面积不会增加，要使得总表面积最小，发 现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(如图 2)，或在两个角上各去掉一块 小积木时(如图 3)，总表面积不变，与边长为 3 的立方体的表面积相等，为 3×3×6=54 所以，堆放 25块小积木的最小表面积是 54。 26 / 27 【奥数拓展十】表面积最值问题其二。 一种长方体物品长 17厘米、宽 7厘米、高 3厘米，现要把 12件这样的物品拼成 一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 解析： 要想使拼成的大长方体表面积最小，就要把小长方体中较大的面相互重叠，把这 12个长方体拼成一个大长方体的拼法有很多种，如图所示拼装成的长方体，表 面积最小，此时，长为 17厘米，宽为 7×2=14(厘米),高为 3×6=18(厘米)，最小表 面积是(17×14+17×18+14×18)×2=796×2=1592(平方厘米)。 注：例题的实质就是将 12分成三个数的乘积，看如何组合使大长方体包装物的 长、宽、高最接近，此时表面积最小；当 12=1×2×6时，长、宽、高为 17、14、 18；当 12=1×3×4 时，长、宽、高为 17、21、12；当 12=1×1×12时，长、宽、 高为 17、7、36；当 12=2×2×3时，长、宽、高为 34、14、 所以，当长、宽、高为 17、14、18时最接近。 【专项训练】 1.晓明用 10块长 7厘米、宽 5厘米、高 3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体， 这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 解析： 我们知道，当长、宽、高越接近时，长方体的表面积越小，现在长、宽、高分别 为 7厘米、5厘米、3厘米，又因为 10=1×2×5，因此，拼成的长方体的长、宽、 高分别为 7×1=7(厘米)、5×2=10(厘米)、3×5=15(厘米)时表面积最小，如图所示， 即(7×10+7×15+10×15)×2=325×2=650(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积最小是 650平方厘米。 27 / 27 2.将 12件长 9分米、宽 7分米、高 5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体， 这个大长方体的表面积最小是多少? 解析： 如图所示，(7×2×9×2+5×3×9×2+7×2×5×3)×2=1464(平方分米) 所以，这个大长方体的表面积最小是 1464平方分米。 3.一个集装箱，它的内尺寸是 18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是 1×4×9， 这只集装箱能装多少只货箱? 解析： 因为集装箱的内尺寸 18不是货箱外尺寸 4的倍数，所以，只能在 18×16×18的 空间放货箱，可以放 18×16×18÷(1×4×9)=144(只)，如图 1所示：这时还有 18×2×18 的空间，但只能在 18×2×16 的空间放货箱，可以放 18×2×16÷(9×1×4)=16(只)， 如图 2所示：最后，剩下 18×2×2的空间无法再放货箱， 所以，能装 18×16×18÷(1×4×9)+18×2×16÷(9×1×4)=160(只)货箱。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 目 录 【课内精选一】切拼问题其一 3 【课内精选二】切拼问题其二 4 【课内精选三】不规则立体图形的表面积 6 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 7 【课内精选五】等积变形问题 8 【课内精选六】折叠问题 9 【课内精选七】排水法求体积 11 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 13 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 14 【奥数拓展三】体积的变化问题 15 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 17 【奥数拓展五】等积变形问题拓展 18 【奥数拓展六】折叠问题拓展 19 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 21 【奥数拓展八】排水法求体积拓展 23 【奥数拓展九】表面积最值问题其一 24 【奥数拓展十】表面积最值问题其二 26 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】切拼问题其一。 把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了32平方厘米，如图所示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 解析： 32÷2=16(平方厘米) 16×10=160(平方厘米) 答：原来这个长方体的表面积是160平方厘米。 【专项训练】 1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了40平方厘米，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 解析： 40÷4×(3×4+2)=140(平方厘米) 所以，原来长方体的表面积是140平方厘米。 2.如图，一个正方体棱长是8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每个长方体的表面积是多少? 解析： 8×8×2+8×4×4=256(平方厘米)或8×8×4=256(平方厘米) 所以，每个长方体的表面积是256平方厘米。 3.如图所示，一个正方体木块的表面积是192平方厘米，把它锯成体积相等的8个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少? 解析： 192÷6=32(平方厘米) 32÷4×6=48(平方厘米) 所以，每个小木块的表面积是48平方厘米。 【课内精选二】切拼问题其二。 一个长方体木块的长、宽、高依次为8分米、4分米和2分米，现在把它锯成若干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表面积是多少? 解析： 我们可以先求长方体的体积，得到所拼正方体的棱长，然后求出正方体的表面积。 8×4×2=64=4×4×4 4×4×6=96(平方分米) 答：这个大正方体的表面积是96平方分米。 【专项训练】 1.如图所示，大正方体的棱长为4厘米，它由8个小正方体组成，现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 解析： 4÷2=2(厘米),2×8=16(厘米) 16×2×4+2×2×2=128+8=136(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积是136平方厘米。 2.如图所示，大正方体的棱长为6厘米，它由8个小正方体组成.现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少? 解析： 6÷2=3(厘米) 3×8=24(厘米) 24×3×4+3×3×2=288+18=306(平方厘米) 6×6×6=216(平方厘米) 306—216=90(平方厘米) 所以，比大正方体增加90平方厘米。 3.把一个长25厘米、宽10厘米、高4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为1厘米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘米? 解析： 大正方体的体积等于原长方体的体积，其值为25×10×4=1000(立方厘米)，又考虑到1000=10×10×10，于是，大正方体的棱长为10厘米，因此，大正方体的表面积为10×10×6=600(平方厘米)。 【课内精选三】不规则立体图形的表面积。 如图1、图2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 解析： 我们把这两个立体图形恢复成图3，从图3中挖去一个正方体变成图1，挖去上面、前面、右面三个1×1=1(平方厘米)的面，同时又增加了下面、后面、左面三个1×1=1(平方厘米)的面，实际上表面积并没有增减，所以，图1的表面积仍是(6×5+5×4+6×4)×2=74×2=148(平方厘米)。 再看，从图3中挖去一个正方体变成图2，挖去上面、前面两个1×1=1(平方厘米)的面，同时又增加了下面、后面、左右面共四个1×1=1(平方厘米)的面，因此，表面积增加了两个面，所以，图2的表面积是 (6×5+5×4+6×4)×2+1×1×2=74×2+2=150(平方厘米) 【专项训练】 1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。 解析： (5.5×4+5.5×3+4×3)×2=101(平方厘米) (5.5×4+5.5×3+4×3)×2+1×1×2=103(平方厘米) 所以，这两个立体图形的表面积分别是101平方厘米和103平方厘米。 2.如图所示，在一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块中挖去一个棱长是2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少? 解析： (6×5+5×4+6×4)×2+2×2×4=164(平方厘米) 所以，现在的表面积是164平方厘米。 3.如图所示，在一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块上搭上一个棱长是2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少? 解析： (5×4+5×3+4×3)×2+2×2×4=110(平方厘米) 所以，搭成的物体表面积是110平方厘米。 【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。 一段方钢，长是2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形，已知1立方厘米的 钢重8.8克，那么，这段方钢重多少千克? 解析： 2米=200厘米 4×4×200=3200(立方厘米) 3200×8.8=28160(克)=28.16(千克) 答：这段方钢重28.16千克。 【专项训练】 1.用500块同样的方砖砌成一堵长10米、宽10厘米、高0.5米的墙，这堵墙的体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米? 解析： 10×0.1×0.5=0.5(立方米) 0.5立方米=500(立方分米) 500÷500=1(立方分米) 所以，这堵墙的体积是0.5立方米，平均每块砖的体积是1立方分米。 2.在一个练功房里，铺设了2600块长50厘米、宽10厘米、厚3厘米的木质地板，这个练功房要铺设多少立方米的地板? 解析： 0.5×0.1×0.03×2600=3.9(立方米) 所以，这个练功房要铺设3.9立方米的地板。 3.有一个花坛，高0.5米，底面是边长为1.4米的正方形，那么，花坛所占的空间有多大? 解析： 1.4×1.4×0.5=0.98(立方米) 所以，花坛所占的空间有0.98立方米。 【课内精选五】等积变形问题。 如图1，有一个长方体容器，长30厘米、宽22厘米、高14厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 解析： 因为长方体容器中水的形状也是一个长方体，水的体积是30×22×7=4620(立方厘米)，当把这个容器竖起来，如图2,底面的面积是22×14=308(平方厘米)，但水的体积并没有变化，将体积除以底面积就可以求出水的深度。 30×22×7÷(22×14)=30×7÷14=15(厘米) 答：垂直竖起来后水深15厘米。 【专项训练】 1.如图所示，有一个长方体容器，长22厘米、宽12厘米、高11厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米? 解析： 22×12×7÷(12×11)=14(厘米) 所以，垂直竖起来后水深14厘米。 2.王师傅准备把三块棱长是4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方体的底面是一个边长为4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米? 解析： 4×4×4×3÷(4×4)=12(厘米) 所以，它的高是12厘米。 3.把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体铁块和一个棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是3平方厘米，那么，它的高是多少厘米? 解析： (5×3×2+3×3×3)÷3=19(厘米) 所以，它的高是19厘米。 【课内精选六】折叠问题。 如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是12厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 解析： 我们不能光凭猜测，不妨先计算一下，再比较就行了。 按图1中的剪法，纸盒的长和宽分别是12-4×2=4(厘米),高是4厘米，那么，容积是(12-4×2)²×4=64(立方厘米)； 按图2中的剪法，容积是(12—3×2)²×3=108(立方厘米)； 按图3中的剪法，容积是(12-2×2)²×2=128(立方厘米)； 按图4中的剪法，容积是(12—1×2)²×1=100(立方厘米) 显然，按图3的剪法容积最大，容积是128立方厘米。 【专项训练】 1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是16厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少? 解析： 按图1的剪法，容积是(16—4×2)²×4=256(立方厘米)； 按图2的剪法，容积是(16—3×2)²×3=300(立方厘米)； 按图3的剪法，容积是(16—2×2)²×2=288(立方厘米)； 按图4的剪法，容积是(16—1×2)²×1=196(立方厘米) 显然，按图2的剪法容积最大，为300立方厘米。 2.一张边长为30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积最大是多少? 解析： 尝试计算，假设剪去小正方形的边长分别为1，2，3，4，5，6，7，…，当剪去小正方形的边长为5厘米时，这个纸盒的容积最大，为 (30—5×2)×(30—5×2)×5=2000(立方厘米) 3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为4分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。 (1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米? (2)原来铁皮的面积是多少? 解析： (1)4×4×5=80(平方分米)，所以，这个铁皮盒用铁皮80平方分米； (2)4×4×3×3=144(平方分米)，所以，原来铁皮的面积是144平方分米。 【课内精选七】排水法求体积。 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中 沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米? 解析： 30厘米=3分米 (15×12×10+3×3×3)÷(15×12)=10.15(分米) 答：水箱中水深10.15分米。 【专项训练】 1.一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，水深3分米，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米? 解析： 2³÷(5×4)=0.4(分米) 所以，水面将上升0.4分米。 2.一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，向容器内倒入5升水，再把一小块石头完全浸入水中，这时容器中的水深1.5分米，求石头的体积。 解析： 先求出石头浸入水中后石块和水的体积和，再从中去掉水的体积，就得到石头的体积，2×2×1.5-5=1(立方分米) 所以，石头的体积是1立方分米。 3.一只乌鸦站在一个长8厘米，宽6厘米，高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有25厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当于棱长为1厘米的小正方体的体积) 解析： 先计算水面上升的这部分水的体积，再将水上升的体积除以每块石头的体积，就可以得到多少块石头。 8×6×(50—25)÷1³=1200(块) 所以，乌鸦要往水里扔1200块石头才能喝到水。 【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。 小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： 图1：(7×3×6+7×3×4+6×4)×2=468(平方厘米) 图2：(6×3×7+6×3×4+7×4)×2=452(平方厘米) 图3：(4×3×7+4×3×6+7×6)×2=396(平方厘米) 所以，图3所示拼法的表面积最小，为396平方厘米。 【专项训练】 1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少? 解析： (3×3×6+3×3×4+6×4)×2=228(平方厘米) 所以，这个大长方体的表面积是228平方厘米。 2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)? 解析： 15×4=60(毫米)=6(厘米) (11×7+11×6+7×6)×2+80=450(平方厘米) 所以，包装这四盒磁带至少需要450平方厘米的彩纸。 3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米? 解析： 168=2³×3×7，因此，若将168分解成三个最接近的因数的乘积，则这三个因数分别为4、6、7，这样再计算长方体的表面积：(4×6+4×7+6×7)×2=188(平方厘米)所以，表面积最小是188平方厘米。 【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。 一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米? 解析： 80÷4÷4=5(分米) 5×5×5=125(立方分米) 答：原来正方体的体积是125立方分米。 【专项训练】 1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少? 解析： 48÷3÷4=4(厘米) 4—3=1(厘米) (4×4+4×1+4×1)×2=48(平方厘米) 4×4×1=16(立方厘米) 所以，原来长方体的表面积是48平方厘米，体积是16立方厘米。 2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。 解析： 96÷4÷4=6(厘米) 6×6×6=216(立方厘米) 所以，原来正方体的体积是216立方厘米。 3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体? 解析： 拿去一个正方体，少了4个正方形的面，144÷4 =36(平方厘米)，36=6×6，因此，小正方体的棱长是6厘米，(2664—6×6×2)÷4÷36=18(个) 所以，原来有18个小正方体。 【奥数拓展三】体积的变化问题。 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析： 由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20(平方厘米)；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30(平方厘米)；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)，不难求出长方体的表面积。 (20+30+24)×2=148(平方厘米) 答：原长方体的表面积是148平方厘米。 【专项训练】 1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。 解析： (48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米) 所以，原长方体的表面积是122平方厘米。 2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。 解析： 高：160÷32 =5(厘米) 长：160÷20=8(厘米) 阴影面积=8×5=40(平方厘米) 3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米? 解析： (632-472)÷2=80(平方厘米) (752—632)÷2=60(平方厘米) (472—80×2—60×2)÷4=48(平方厘米) 所以，原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。 把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块? 解析： (30—2)×(20—2)×(10—1)=28×18×9=4536(块) 答：没有洒上石灰水的砖共有4536块。 【专项训练】 1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米? 解析： (56-3×2)×(36—3×2)×(43-3)=60000(立方厘米)=0.06(立方米) 所以，这个木箱的容积是0.06立方米。 2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是 0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖? 解析： (1-0.1)÷(0.1+0.05)+1=7(层) 2×4×7=56(块) 所以，砌好这个砖垛共需要56块砖。 3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料) 解析： 首先，2毫米=0.2厘米，正方体的表面积为216平方厘米，也就是正方体每个面的面积是216÷6=36(平方厘米)，因此正方体的棱长为6厘米。然后，计算截面是正方形的长方体木料的长为(2448-36×2)÷4÷6=99(厘米) 最后用到植树问题的相关知识，一共可以锯出(99+0.2)÷(6+0.2)=16(个)这样的正方体。 【奥数拓展五】等积变形问题拓展。 有 A、 B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高 为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从 A储水器中抽一部分水到 B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米? 解析： 我们要知道，将水从一个容器抽到另一个容器中，那么两个容器中水的体积和是不变的，因此，不妨先算出水的体积和，现在是放在两个储水器的底面积上，也就是说，已经有了水的体积和底面积，求水面的高度，这样，就不难知道水面升高多少分米了。 30×20×8+20×10×2=5200(立方分米) 30×20+20×10=800(平方分米) 5200÷800=6.5(分米) 6.5—2=4.5(分米) 答：B储水器中的水面将升高4.5分米。 【专项训练】 1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上? 解析： 0.5-30×60×0.5÷(100×30)=0.2(米)=20(厘米) 所以，要从甲部分取下20厘米厚的土填在乙部分上。 2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少? 解析： 设水面高x分米，8×6×(3-x)=6×4×x，x=2 3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升? 解析： 容器的总容积为12×15×(18+8)=4680(立方厘米)，若将它按图3那样横放，则水的体积应是4680÷(15÷7.5)=2340(立方厘米) 所以，倒掉的水应该是12×15×18—2340=900(立方厘米)。 【奥数拓展六】折叠问题拓展。 一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。 解析： 546升也就是546立方分米，我们先计算长方体铁盒的宽，才能知道长方形铁皮的宽，然后再计算长方形铁皮的面积。 546÷[(21.2-2.8×2)×2.8]=546÷43.68=12.5(分米) 21.2×(12.5+2.8×2)=383.72(平方分米) 答：长方形铁皮的面积为383.72平方分米。 【专项训练】 1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 432÷3÷(22—3×2)=9(厘米) 22×(9+3×2)=330(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是330平方厘米。 2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 解析： 768÷4÷(32-4×2)=8(厘米) 32×(8+4×2)=512(平方厘米) 所以，原来长方形铁皮的面积是512平方厘米。 3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大? 解析： 设四个角上去掉的小正方形的边长为a厘米，则无盖盒的长为(16—2a)厘米，宽为(12-2a)厘米，高为a厘米 容积为V=(16—2a)(12 -2a)a =4a(8—a)(6—a) 当a=1时，V=140;当a=2时，V=192； 当a=3时，V=180;当a=4时，V=128； 当a=5时，V=60.所以，当a=2，即长、宽、高依次为12、8、2厘米时，容积最大。 【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。 如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 解析： 12³-4²×12×3+4³×2 =4³×3³—4²×4×3×3+4³×2=4³×3³—4³×(9—2) =4³×(27—7)=1280(立方厘米) 答：穿孔后木块的体积是1280立方厘米。 【专项训练】 1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少? 解析： 4×4×4-(2×2×4×3-2×2×2×2)=64—32=32(立方分米) 所以，这个零件的体积是32立方分米。 2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少? 解析： 如图所示，剩下部分的表面积可分为两种情况： 一种是在棱中间的正方体A，有12个，表面积为1×1×1×4×12=48(平方分米)； 另一种是在顶点处的正方体B，有8个，表面积为1×1×3×8=24(平方分米) 48+24=72(平方分米)。 所以，这个模型剩下部分的表面积是72平方分米。 3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米? 解析： 挖在角上，表面积无增减；挖在棱上，每次增加两个正方形的面积；挖在面上，每次增加四个正方形的面积.5×5×6+1×1×2×12+1×1×4×6=198(平方厘米)，所以，余下部分的表面积是198平方厘米。 【奥数拓展八】排水法求体积拓展。 有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米? 解析： 解决这类问题，关键是要先判断铁块是否完全浸没在水中，假设铁块完全浸没在水中，这时，水面的高度是 (6×5×2+3×3×3)÷(6×5)=87÷30=2.9(分米)。 而铁块的棱长只有3分米，3>2.9，因此，铁块没有完全浸没在水中，这也就是说，容器中的水被放入的铁块排开在周围，由于“正方体铁块的一面与容器底面紧贴”，此时水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差，可以先求出此时水面的高度，再看上升了多少分米。 (6×5×2)÷(6×5—3×3)=60÷21≈2.86(分米) 2.86—2=0.86(分米) 答：水面大约上升0.86分米。 【专项训练】 1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 解析： 0.5米=50厘米，容器里水深(60×60—15×15)×50÷(60×60)=46.875(厘米) 2.如图所示，在长、宽、高分别为10 cm、10 cm、6 cm的长方体容器中盛有深4 cm的水，若向容器中放入一个棱长为5 cm的正方体铁块，那么，水深变为多少? 解析： 先判断铁块是否完全浸没在水中，(10×10×4+5×5×5)÷(10×10)=5.25(cm) 5.25>5，说明此时水面的高度大于铁块的高度，完全浸没的 所以，水深变为5.25 cm。 3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米? 解析： 假设铁块完全浸没。 (24×9×4+6×6×6)÷(24×9)=1080÷216=5(分米) 5<6，说明没有完全浸没。 (24×9×4)÷(24×9—6×6)=864÷180=4.8(分米) 4.8—4=0.8(分米) 所以，水位上升0.8分米。 【奥数拓展九】表面积最值问题其一。 棱长分别是3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米) 解析： 我们知道，当几个正方体粘在一起的面最多时，表面积最小。 现在有3个正方体，当它们两两粘合时，粘在一起的面最多，如图所示，因此，三个正方体的表面积之和为(8×8+5×5+3×3)×6=588(平方厘米)，粘合后，5×5的面减少2个，3×3的面减少4个，表面积最小为588—5×5×2—3×3×4=502(平方厘米)。 【专项训练】 1.棱长分别是4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少? 解析： 三个正方体的表面积和为(4×4+7×7+10×10)×6=990(平方厘米)，减去4个4×4的面，990-4×4×4=926(平方厘米) 所以，表面积最大的那个立体的表面积是926平方厘米。 2.将一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体木块分割成四个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米? 解析： 30×20×(3×2)=3600(平方厘米) 所以，表面积最多增加3600平方厘米。 3.如图，将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少? 解析： 25块棱长为1的正方体积木堆放成一个几何体，当小积木互相重合的面最多时表面积最小，设想27块棱长为1的正方体积木，其表面积为54(如图1)，现在要去掉2块小积木成为25块，其总表面积不会增加，要使得总表面积最小，发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(如图2)，或在两个角上各去掉一块 小积木时(如图3)，总表面积不变，与边长为3的立方体的表面积相等，为3×3×6=54 所以，堆放25块小积木的最小表面积是54。 【奥数拓展十】表面积最值问题其二。 一种长方体物品长17厘米、宽7厘米、高3厘米，现要把12件这样的物品拼成一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少? 解析： 要想使拼成的大长方体表面积最小，就要把小长方体中较大的面相互重叠，把这12个长方体拼成一个大长方体的拼法有很多种，如图所示拼装成的长方体，表面积最小，此时，长为17厘米，宽为7×2=14(厘米),高为3×6=18(厘米)，最小表面积是(17×14+17×18+14×18)×2=796×2=1592(平方厘米)。 注：例题的实质就是将12分成三个数的乘积，看如何组合使大长方体包装物的长、宽、高最接近，此时表面积最小；当12=1×2×6时，长、宽、高为17、14、18；当12=1×3×4时，长、宽、高为17、21、12；当12=1×1×12时，长、宽、高为17、7、36；当12=2×2×3时，长、宽、高为34、14、 所以，当长、宽、高为17、14、18时最接近。 【专项训练】 1.晓明用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米? 解析： 我们知道，当长、宽、高越接近时，长方体的表面积越小，现在长、宽、高分别为7厘米、5厘米、3厘米，又因为10=1×2×5，因此，拼成的长方体的长、宽、高分别为7×1=7(厘米)、5×2=10(厘米)、3×5=15(厘米)时表面积最小，如图所示，即(7×10+7×15+10×15)×2=325×2=650(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积最小是650平方厘米。 2.将12件长9分米、宽7分米、高5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少? 解析： 如图所示，(7×2×9×2+5×3×9×2+7×2×5×3)×2=1464(平方分米) 所以，这个大长方体的表面积最小是1464平方分米。 3.一个集装箱，它的内尺寸是18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9，这只集装箱能装多少只货箱? 解析： 因为集装箱的内尺寸18不是货箱外尺寸4的倍数，所以，只能在18×16×18的空间放货箱，可以放18×16×18÷(1×4×9)=144(只)，如图1所示：这时还有18×2×18的空间，但只能在18×2×16的空间放货箱，可以放18×2×16÷(9×1×4)=16(只)，如图2所示：最后，剩下18×2×2的空间无法再放货箱， 所以，能装18×16×18÷(1×4×9)+18×2×16÷(9×1×4)=160(只)货箱。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$